Cho a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn \(\left(a,b,c\right)=1\)và \(ab=c\left(a-b\right)\)
Chứng minh rằng a - b là một số chính phương.
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
7 tháng 12 2018
\(f\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)Q\left(x\right)+ax+b\) (Q(x) là thương, ax + b là số dư)
f (x) chia cho x - 2 dư 3 tức f(2) = 3 \(\Rightarrow2a+b=3\) (1)
f(x) chia x - 3 dư 4 tức f(3) = 4 \(\Rightarrow3a+b=4\) (2)
Từ (1) và (2), ta được \(3a+b-\left(2a+b\right)=4-3=1\Rightarrow a=1\Rightarrow b=1\)
Vậy đa thức dư là ax + b = x + 1
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
14 tháng 9 2025
Olm chào em. Olm rất vui khí thấy em có động lực và cảm hứng trong học tập, nhất là khi em đã học tập hiệu quả trên nền tảng Olm. Đồng thời em cũng đạt rất nhiều thành tích trong học tập. Cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và có những giây phút giao lưu thú vị cùng cộng đồng Olm.
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
8 tháng 9 2025
Olm chào em, cảm ơn đánh giá của em về chất lượng bài giảng của Olm, cảm ơn em đã đồng hành cùng Olm trên hành trình tri thức. Chúc em học tập hiệu quả và vui vẻ cùng Olm em nhé!
12 tháng 6 2020
Với A là một tập con của tập hợp {1;2;...;2014} thỏa mãn yêu cầu đề bài toán, gọi a là phần tử nhỏ nhất của A
Xét \(b\in A,b\ne a\) ta có b>a và \(\frac{a^2}{b-a}\ge a\Rightarrow b\le2a\)(1)
Gọi c,d là phần tử lớn nhất trong A, c<d từ (1) ta có: \(d\le2a\le2c\left(2\right)\)
Theo giả thiết \(\frac{c^2}{d-c}\in A\). Mặt khác do (2) nên \(\frac{c^2}{d-c}\ge\frac{c^2}{2c-c}\ge c\Rightarrow\frac{c^2}{d-c}\in\left\{c;d\right\}\)
Xét các trường hợp sau:
- Trường hợp 1: \(\frac{c^2}{d-c}=d\)trong trường hợp này ta có: \(\frac{c}{d}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\) mâu thuẫn với \(c,d\inℤ^+\)
- Trường hợp 2: \(\frac{c^2}{d-c}=c\)trong trường hợp này ta có: d=2c. Kết hợp với (2) => c=d và d=2a
Do đó: A={a;2} với a=1;2;...;1007. Các tập hợp trên đều thỏa mãn yêu cầu đề bài
Vậy có tất cả 1007 tập hợp thỏa mãn
P
1
NL
Nguyễn Lê Phước Thịnh
CTVHS
27 tháng 8 2025
Sửa đề: \(A=\frac{1}{1\cdot1984}+\frac{1}{2\cdot1985}+\ldots+\frac{1}{29\cdot2012}\)
\(=\frac{1}{1983}\left(\frac{1983}{1\cdot1984}+\frac{1983}{2\cdot1985}+\cdots+\frac{1983}{29\cdot2012}\right)\)
\(=\frac{1}{1983}\left(1-\frac{1}{1984}+\frac12-\frac{1}{1985}+\cdots+\frac{1}{29}-\frac{1}{2012}_{}\right)\)
\(=\frac{1}{1983}\left(1+\frac12+\cdots+\frac{1}{29}-\frac{1}{1984}-\frac{1}{1985}-\cdots-\frac{1}{2012}\right)\)
Ta có: \(B=\frac{1}{1\cdot30}+\frac{1}{2\cdot31}+\cdots+\frac{1}{1983\cdot2012}\)
\(=\frac{1}{29}\left(\frac{29}{1\cdot30}+\frac{29}{2\cdot31}+\cdots+\frac{29}{1983\cdot2012}\right)\)
\(=\frac{1}{29}\left(1-\frac{1}{30}+\frac12-\frac{1}{31}+\cdots+\frac{1}{1983}-\frac{1}{2012}\right)\)
\(=\frac{1}{29}\left(1+\frac12+\cdots+\frac{1}{29}-\frac{1}{1984}-\frac{1}{1985}-\cdots-\frac{1}{2012}\right)\)
Do đó: \(\frac{A}{B}=\frac{1}{1983}:\frac{1}{29}=\frac{29}{1983}<1\)
=>A<B
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
22 tháng 8 2025
Hướng dẫn thực hiện video tham gia dự thi sự kiện:
Thử Thách Tin Học:
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
22 tháng 8 2025
Bài dự thi tham gia sự kiện: Thử Thách Tin Học:
Chèn biểu tượng ≡ vào câu trả lời trên Olm.
Em tên là:.....
Học sinh lớp:....
Trường:....
Đây là clip dự thi của em.
(quá trình này được ghi lại bằng video). nếu có lồng thêm nhạc thì càng có khả năng đạt giải.
Ta có: \(ab=c\left(a-b\right)\)
<=> \(c^2=ac-bc-ab+c^2\)
<=> \(c^2=a\left(c-b\right)+c\left(c-b\right)\)
<=> \(c^2=\left(c-b\right)\left(a+c\right)\)
Đặt: ( c - b ; a + c ) = d
=> \(c^2⋮d^2\)=> \(c⋮d\)(1)
và \(\hept{\begin{cases}c-b⋮d\\a+c⋮d\end{cases}}\)(2)
Từ (1); (2) => \(b;a⋮d\)(3)
Từ (1); (3) và (a; b ; c ) =1
=> d = 1 hay c - b; a + c nguyên tố cùng nhau
Mà \(\left(c-b\right)\left(a+c\right)=c^2\)là số chính phương
=> c - b ; a + c là 2 số chính phương
Khi đó tồn tại số nguyên dương u, v sao cho: \(c-b=u^2;a+c=v^2\)khi đó: \(c^2=u^2.v^2\)<=> c = uv ( vì c, u,, v nguyên dương )
Ta có: \(a-b=\left(a+c\right)+\left(c-b\right)-2c\)
\(=u^2+v^2-2uv=\left(u-v\right)^2\) là số chính phương.
a điên