Trong một hình vuông được tạo bởi \(2024\times2024\) ô vuông có chứa những con bọ, trong một ô vuông có nhiều nhất 1 con bọ. Vào một thời điểm nào đó, những con bọ này bay lên rồi lại đậu xuống lại vào các ô vuông, mỗi ô vuông cũng có nhiều nhất một con bọ. Đối với mỗi con bọ, có thể xem đoạn thẳng có hướng nối tâm của ô vuông lúc đầu và tâm của ô vuông lúc sau mà nó đậu lên tạo thành một vector. Với mỗi số lượng bọ ban đầu, xét tất cả những trường hợp có thể xảy ra với các vị trí đầu tiên và cuối cùng của những con bọ, hãy tìm độ dài lớn nhất của tổng các vector.

 Người ta xây dựng \(k\) nguồn phát sóng \(S_1,S_2...,S_k\) nằm trên một đoạn thẳng có độ dài là \(d\). Ta định nghĩa "vùng phủ sóng" là vùng hình tròn có tâm là một trong các nguồn phát sóng đó với bán kính cố định cho trước ("vùng phủ sóng" của các nguồn phát sóng khác nhau không nhất thiết bằng nhau). Các vùng phủ sóng phủ lên mặt đất tạo thành một vùng phủ sóng lớn nhất gọi là "accessed region". Biết rằng vùng phủ sóng của tất cả các nguồn phát sóng trên đều có bán kính không quá \(10km\). Chứng minh rằng chu vi của "accessed region" nhỏ hơn \(40\left(d+2\right)\) km.

Cho \(n\ge2\), \(x_i\inℝ\), \(i=\overline{1,n}\) thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}\sum\limits^n_{i=1}x_i=0\\\sum\limits^n_{i=1}x_i^2=1\end{matrix}\right.\)

Với mỗi tập A khác rỗng, \(A\subset\left\{1,2,...,n\right\}\), ta định nghĩa \(S_A=\sum\limits^{ }_{i\in A}x_i\).

Chứng minh rằng, với mỗi số \(\lambda>0\), số tập A thỏa mãn \(S_A\ge\lambda\) không quá \(\dfrac{2^{n-3}}{\lambda^2}\)

KHÔNG NÊN LẠM DỤNG VÀO ĐIỆN THOẠI QUÁ NHIỀU NHÉ BẠN ...!

Hiện nay, điện thoại di động đã trở thành một phần không thể thiếu trong cuộc sống hàng ngày của con người. Tuy nhiên, việc lạm dụng điện thoại di động đang trở thành một vấn đề đáng lo ngại. Ngày nay, chúng ta đã trở nên quá phụ thuộc vào điện thoại di động, sử dụng nó không chỉ để liên lạc mà còn để giải trí, làm việc và thậm chí là để thỏa mãn nhu cầu xã hội.

Một trong những vấn đề chính của việc lạm dụng điện thoại di động là ảnh hưởng tiêu cực đến sức khỏe. Sử dụng điện thoại di động quá nhiều có thể gây ra các vấn đề về thị lực, gây căng thẳng cho mắt và gây ra các vấn đề về cột sống. Ngoài ra, việc sử dụng điện thoại di động quá nhiều cũng có thể gây ra các vấn đề về tâm lý như lo lắng, căng thẳng và cảm giác cô đơn.

Lạm dụng điện thoại di động cũng ảnh hưởng tiêu cực đến mối quan hệ giữa con người. Thay vì tương tác trực tiếp với nhau, chúng ta thường dành nhiều thời gian cho việc sử dụng điện thoại di động. Điều này có thể làm giảm sự kết nối và giao tiếp thực tế giữa con người, gây ra sự cô đơn và cảm giác xa lạ trong xã hội. Ngoài ra, việc lạm dụng điện thoại di động cũng có thể gây ra sự phân tâm và làm giảm hiệu suất làm việc và học tập.

Hơn nữa, lạm dụng điện thoại di động cũng có tác động tiêu cực đến cuộc sống cá nhân. Chúng ta thường dành nhiều thời gian cho việc lướt web, xem video và chơi game trên điện thoại di động thay vì tận hưởng thời gian với gia đình và bạn bè, hoặc thực hiện các hoạt động khác có ích như thể dục và đọc sách. Điện thoại di động cũng có thể làm giảm sự tập trung và sự sáng tạo của con người.

Để giảm lạm dụng điện thoại di động, chúng ta cần nhận thức về tác động tiêu cực của việc sử dụng quá nhiều điện thoại di động và thiết lập các giới hạn cho bản thân. Chúng ta cũng nên tìm cách thay thế việc sử dụng điện thoại di động bằng các hoạt động khác như đọc sách, tập thể dục và tương tác trực tiếp với người thân và bạn bè. Ngoài ra, việc tạo ra một môi trường không điện thoại di động trong gia đình và nơi làm việc cũng có thể giúp giảm lạm dụng điện thoại di động.

Tóm lại, lạm dụng điện thoại di động đang trở thành một vấn đề đáng lo ngại trong xã hội hiện đại. Việc nhận thức về tác động tiêu cực của việc sử dụng quá nhiều điện thoại di động và thiết lập các giới hạn cho bản thân là cần thiết để giảm lạm dụng điện thoại di động và tận hưởng cuộc sống thực tế hơn.

1. Cho bàn cờ 8x8 và 16 quân tốt (8 đen, 8 trắng) như trong hình. Hai người chơi, mỗi người cầm 1 loại quân (trắng/ đen). Quân trắng luôn đi trước, sau đó luân phiên. Biết rằng luật cờ vua được bảo toàn, tuy nhiên không được có sự ăn quân nào. Nếu bên nào đi 1 nước làm cho bên kia không thể thực hiện nước đi nào hợp lệ thì sẽ là người thắng cuộc. Hỏi có người chơi nào có chiến lược thắng hay không? Nếu có, hãy mô tả và giải thích chiến lược đó.

 2. Cho bàn cờ kích thước \(n\times n\). Hỏi 1 quân mã xuất phát từ 1 ô góc của bàn cờ đến góc đối diện thì cần ít nhất bao nhiêu nước đi? (Biết rằng quân mã đi như mã trong cờ vua)

 3. Tìm số quân tượng lớn nhất có thể đặt vào bàn cờ vua 8x8 sao cho không quân tượng nào tấn công quá 3 quân tượng khác (tượng tấn công như trong cờ vua, đi chéo vô hạn và không tấn công xuyên thấu, quan hệ tấn công là 2 chiều)

 4. Có bao nhiêu cách đặt 8 quân xe lên bàn cờ sao cho không có 2 quân xe nào ăn nhau và không có quân xe nào ở vị trí cấm được đánh dấu là vòng tròn màu xanh lục như hình vẽ: 

 Một hành lang có 100 cánh cửa được đánh số 1,2,...,100 và có một người đi qua hành lang đó. Ban đầu, tất cả 100 cánh cửa đều đóng. Ở lần đi thứ nhất, người đó thay đổi trạng thái đóng/mở của tất cả các cửa. Ở lần đi thứ hai, người đó thay đổi trạng thái đóng/mở của tất cả các cửa có số là bội của 2. Cứ như thế, ở lần đi thứ \(k\left(1\le k\le100\right)\), người đó thay đổi trạng thái đóng/mở của tất cả các cửa có số là bội của \(k\). Hỏi sau lần đi thứ 100, những cánh cửa có số mấy sẽ ở trạng thái mở?

 1. Tìm tất cả các đa thức \(P\left(x\right)\) khác đa thức 0 thỏa mãn \(P\left(2014\right)=2046\) và \(P\left(x\right)=\sqrt{P\left(x^2+1\right)-33}+32,\forall x\ge0\)

 2. Tìm tất cả các đa thức \(P\left(x\right)\inℤ\left[x\right]\) bậc \(n\) thỏa mãn điều kiện sau: \(\left[P\left(2x\right)\right]^2=16P\left(x^2\right),\forall x\inℝ\)