2. The man is believed to have been killed by terrorists.

3. The company is thought to be planning a new advertising campaign.

4. The President was reported to have suffered a heart attack.

5. The man is alleged to have been driving at 110 miles an hour.

6. The expedition is known to have reached the South Pole in May.

7. There is said to be a secret tunnel between them.

8. She is considered to have been the best singer that Australia has ever produced.

9. The weather is expected to be good tomorrow.

10. The Prime Minister and his wife are believed to have separated.

(

hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhhhh

hhhhhhhhhhhhh

a, xét từ giác AMNC có 
$={90}^{\circ }$ (Ac là tiếp tuyến của (O) , $\stackrel{}{}$

${}^{}={90}^{\circ }$ (MN vuông góc với CD) => $\stackrel{}{}$\(\widehat{CAM}+\widehat{CNM}\)=180

=> AMNC nội tiếp

Xét tứ giác BMND có $\stackrel{ˆ}{}$=90 ( BD là tiếp tuyến của (O) , \(\widehat{CND}\)=90 ( MN vuông góc với CD)

=> \(\widehat{MND}+\widehat{NAC}\)=180

=> Tứ giác BDMN nội tiếp

b, Ta có \(\widehat{CMN}=\widehat{NAC}\) (cùng chắn CN)

=> ${\mathrm{\backslash (\backslash widehat\{CMN\}\backslash )}}^{}$=$\frac{1}{2}$ cung AN(1)

Ta cũng có\(\widehat{NMD}+\widehat{NMD}\) (cùng chắn cung ND)

\(\widehat{NMD}\)=$\frac{1}{2}$ cung NB(2)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{CMD}+\widehat{NMD}\)= $\frac{1}{2}$ (cung AN + cung NB) 

=> \(\widehat{CMD}\)= $\frac{1}{2}$ cung AB = $\frac{180}{2}$=90

=> tam giác CMD vuông tại M

Vì NMBD nội...

Add: Tr Ph Thảo (hpthaoo)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có \(\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\le2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(=abc\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Theo một bất đẳng thức quen thuộc ta có \(abc\left(a+b+c\right)\le\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\)

Từ đó ta được \(abc\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}\)\(\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca\right)^3}{3^4}=\frac{\left(a+b+c\right)^6}{3^4}\)

Do đó ta có \(\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^6}{3^4}\)hay \(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{3^2}\)(*)

Dễ dàng chứng minh được \(a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(a^3+b^3+c^3\ge a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt[3]{2}\)

Xét hiệu : \(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0,\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM :
\(a^3+b^3+2c^3\ge ab\left(a+b\right)+2c^3\ge2\sqrt{ab\left(a+b\right).2c^3}=2\sqrt{4c^2\left(a+b\right)}\)

\(=4c\sqrt{a+b}\)

Hoàn toàn tương tự

\(a^3+2b^3+c^3\ge4b\sqrt{a+c};2a^3+b^3+c^3\ge4a\sqrt{b+c}\)

Cộng thao vế bất đẳng thức vừa thu được

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt[3]{2}\)

Chúc bạn học tốt !!!