ta có

\(199^{20}< 200^{20}=2^{20}.10^{40}\)

\(2003^{15}>2000^{15}=2^{15}.10^{45}=2^{15}.10^5.10^{40}>2^{20}.10^{40}>199^{20}\)

vì vậy \(2003^{15}>199^{20}\)

Mipan 

\(x+y+z=7\Rightarrow z=7-x-y\Rightarrow xy+z-6=xy+7-x-y-6=xy-x-y+1\)

\(=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)

Tương tự: \(yz+x-6=\left(y-1\right)\left(z-1\right);zx+y-6=\left(z-1\right)\left(x-1\right)\)

Viết lại: \(H=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}+\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}+\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)

\(=\frac{x-1+y-1+z-1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=\frac{x+y+z-3}{xyz-\left(xy+yz+zx\right)+x+y+z-1}\)

\(=\frac{7-3}{3-13+7-1}=-1\)(Từ gt tính được \(xy+yz+zx=13\))

Ta có :

\(xy+yz+zx\)= \(\frac{\left(x+y+z\right)^2-x^2-y^2-z^2}{2}\)= \(\frac{7^2-23}{2}\)= \(13\)

Ta lại có :

\(xy+z-6=xy+z+1-x-y-z\)= \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\)

\(\Rightarrow A=\)\(\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)\(+\)\(\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\)\(+\)\(\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)

\(=\)\(\frac{x+y+z-3}{xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1}\)

\(=-1\)

Sửa lại đề : A < 90*

a, Chứng minh 

\(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)

\(\RightarrowĐPCM\)

b, CM được :

\(\widehat{ADE}\)\(=\)\(\widehat{ACB}\)\(=\)\(\frac{180'-\widehat{BAC}}{2}\)

\(\Rightarrow DE//BC\)

c, CM được : \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

d, Gọi M là giao điểm của AI và BC ,

CM được AI là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}\), từ đó \(\widehat{AMB}\)\(=90'\)

\(\RightarrowĐPCM\)

A D E C M B I

HAHA

Từ gt => \(\Delta OAB\)  vuông tại B và \(\Delta OAC\) vuông tại C

\(\Rightarrow\widehat{OAB}+\widehat{AOB}=90^o,\widehat{OAC}+\widehat{AOC}=90^o\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{OAB}+\widehat{OAC}\right)+\left(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}\right)=180^O\)

Hay \(\widehat{BAC}+\widehat{BOC}=180^O\Rightarrow\widehat{BOC}=180^o-\alpha\)

\(\Rightarrow\) số đo \(\widebat{BmC}=180^o-\alpha\)  và số đo \(\widebat{BnC=180^o+\alpha}\)

A B C O

Xét tam giascOAC cân tại O nên ta có góc \(\widehat{CAO}=\widehat{ACO}\)

mà ta có \(sd \widebat{BC}=\widehat{BOC}=\widehat{OCA}+\widehat{CAO}=2\widehat{CAO}=2\widehat{CAB}\)

vajay ta cos dpcm

Vẽ đường kính AK

+) Dễ có: ^KBC = ^KAC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (1)

+) ^ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^ABK = 90⁰

 Có: ^KBC + ^CBA = ^ABK = 90⁰ (cmt)

       ^BAH + ^CBA = 90⁰ (∆ABH vuông tại H)

Từ đó suy ra ^KBC = ^BAH                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^BAH = ^KAC hay ^BAH = ^OAC (đpcm)

Kẻ đường kính AE của đường tròn ( O) . Ta thấy \(\widehat{ACE}=90^o\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{AEC}=90^o\) (1)

Theo gt, ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^O\) (2)

Lại có: \(\widehat{AEC}=\widehat{ABC}\) (3)

Từ (1), (2), (3) => đpcm

a) Xét 2 TH:

- TH \(P_x,P_y\) nằm về 2 phía của đường kính kẻ qua P ( TH còn lại tương tự)

Kẻ \(OI\perp P_x\) ta có: 

\(IP=IE,IA=IB\)

\(\Rightarrow PI-AI=EI-BI\) hay PA=BE ( đpcm)

b) Kẻ \(OK\perp P_y\)

Trong đường tròn \(\left(O;r\right)\), vì AB>CD => OI<OK

Khi đó trong đường tròn \(\Rightarrow PE>PF\)

Theo định lý về mối quan hệ giữa dây và cung , trong đường tròn \(\left(O;R\right)\)

ta có: cung PE > cung PF ( đpcm)

Giải :

a) kẻ OH vuông góc với PE bà AB

⇒ H là trđ PE, AB

hay HP = HE, HA = HB 

⇒ HP - HA = HE - HB

⇒ AP = BE.

b) kẻ OK vuông góc với PF

-Xét (O;r) có : AB > CD ( gt)

⇒ OH < OK ( mối liên hệ giữa dây và k/c từ tâm đến dây )

-Xét (O;R) có : OH < OK (cmt ) 

⇒ PE> PF.

Gọi R là độ dài bán kính của đường tròn (O)

Khi đó ta sẽ biểu diễn được: \(\hept{\begin{cases}OH=OC-HC=R-h\\OB=R\end{cases}}\)

Áp dụng định lý Pytago ta có: 

\(OH^2+HB^2=OB^2\)

\(\Leftrightarrow\left(R-h\right)^2+a^2=R^2\)

\(\Leftrightarrow R^2-2Rh+h^2+a^2=R^2\)

\(\Leftrightarrow2Rh=h^2+a^2\)

\(\Rightarrow R=\frac{h^2+a^2}{2h}\)

Vậy \(R=\frac{h^2+a^2}{2h}\)

Đặt bán kính đường tròn là x

Ta có: OB=x, OC=x, HC=h, HB=a

⇒OH=OC-HC=x-h

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHB:

OB² = OH² + HB²

⇔x²=(x - h)²  + a²

⇔2xh =a²  + h²⇔x =\(\dfrac{a^2\text{ +}h^2}{2h}\)

Số lớn nhất có bốn chữ số mà tổng các chữ số của nó đều bằng 3 là 3000

Số bé nhất có bốn chữ số mà tổng các chữ số của nó đều bằng 3 là 1002

Giải

  Số lớn nhất có bốn chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đều bằng 3 là : 3000

 Số số bé nhất có bốn chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đều bằng 3 là : 1002