mk hướng dẫn bạn nhé 

480 chia hết cho a 

600 chia hết cho a 

=> a thuộc ước chung ( 480;600 ) 

Vì a lớn nhất => a thuộc UCLN ( 480;600)

480=2^5.3.5

600=2^3.3.5^2

UCLN ( 480;600 ) = 120

=> a=120

a, \(n+9⋮n+2\Leftrightarrow n+2+7⋮n+2\Leftrightarrow7⋮n+2\)

\(\Leftrightarrow n+2\inƯ\left(7\right)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

Đt qua M(3;2) có dạng y=ax+2-3a 

khi x=1 thì y=2-2a. Để y nguyên dương thì có vô số giá trị a

KL: có vô số Đt thỏa mãn

Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)

Khi đó ta được: \(ab+bc+ca\ge ab;\frac{1}{\left(b-c\right)^2}\ge\frac{1}{b^2};\frac{1}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{1}{a^2}\)

Do đó ta cần chứng minh \(ab\left(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)\ge4\)hay \(\frac{ab}{\left(a-b\right)^2}+\frac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge2\)*đúng theo bất đẳng thức Cô - si*

Đẳng thức xảy ra khi \(a^2+b^2=3ab,c=0\)

Giả sử c = min(a,b,c), khi đó ab+bc+ca>=ab; 1/(b-c)^2>=1/b^2; 1/(c-a)^2>=1/a^2. Ta cần chứng minh: ab(1/(a-b)^2 +1/b^2 + 1/a^2 )>=4. Bằng cách biến đổi tương đương ta được: [ab/(a-b)^2 +a/b + b/a]>=4 <=> ab/(a-b)^2 +a/b+b/a-4>=0 <=>ab/(a-b)^2 + (a^2+b^2-4ab)/ab>=0 <=> ab/(a-b)^2 +[(a-b)^2-2ab]/ab>=0 <=> ab/(a-b)^2 +(a-b)^2/ab - 2 >=0 (1).

Đặt k = ab/(a-b)^2>=0 => (a-b)^2 = 1/k >0. 

Áp dụng BĐT Cosi cho k và 1/k => k+1/k >=2 căn(k.1/k)=2 => k+1/k-2>=0 => (1) đã được chứng minh.

Vậy (ab+bc+ca)[1/(a-b)^2 + 1/(b-c)^2 + 1/(c-a)^2]>=4. 

Dấu bằng xảy ra khi c = 0 và k=1/k => k^2=1 => a^2b^2=(a-b)^4 => (a-b)^2=ab => a^2+b^2-2ab=ab => a^2-3ab+b^2 = 0. Xem đây là PT bậc hai theo a với hệ số theo b. Lập Delta = 9b^2-4b^2 = 5b^2 => a = (3b+bcăn 5)/2 hoặc a = (3b-bcăn 5)/2.

Mik sửa đề xíu ạ:

a) \(\left(\frac{a+b}{a-b}+1\right)\left(\frac{b+c}{b-c}+1\right)\left(\frac{c+a}{c-a}+1\right)\)= \(\left(\frac{a+b}{a-b}-1\right)\left(\frac{b+c}{b-c}-1\right)\left(\frac{c+a}{c-a}-1\right)\)

Đặt \(\frac{a+b}{a-b}=x;\frac{b+c}{b-c}=y;\frac{c+a}{c-a}=z\)thì \(xy+yz+zx=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c-a\right)+\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a-b\right)+\left(c+a\right)\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=-1\)và ta cần chứng minh \(x^2+y^2+z^2\ge2\)

Thật vậy, ta có: \(\left(x+y+z\right)^2\ge0\forall x,y,z\Rightarrow x^2+y^2+x^2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)=2\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\frac{a+b}{a-b}+\frac{b+c}{b-c}+\frac{c+a}{c-a}=0\)

Chú ý: Bài này có thể biến thành bài toán sau:

Cho a,b,c là các số thực khác nhau từng đôi một. Chứng minh rằng: \(\frac{a^2+b^2}{\left(a-b\right)^2}+\frac{b^2+c^2}{\left(b-c\right)^2}+\frac{c^2+a^2}{\left(c-a\right)^2}\ge\frac{5}{2}\)