Phần C đề thiếu

\(D=\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow3D=1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow3D-D=(1+\frac{2}{3}+\frac{3}{3^2}+...+\frac{100}{3^{99}})-\)\((\frac{1}{3}+\frac{2}{3^2}+\frac{3}{3^3}+...+\frac{100}{3^{100}})\)

\(\Rightarrow2D=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{3^{99}}-\frac{100}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow6D=3+1+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3^{98}}-\frac{100}{3^{99}}\)

\(\Rightarrow6D-2D=3-\frac{101}{3^{99}}+\frac{100}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow4D=3-\frac{203}{3^{100}}\)

\(\Rightarrow D=\frac{3}{4}-\frac{\frac{203}{3^{100}}}{4}< \frac{3}{4}\left(đpcm\right)\)

sửa rồi nhá bn

Ta có

\(S_{ABD}=S_{ABC}\left(1\right)\)( chung đáy AB, chiều cao = chiều cao hình thang )

Lai có 

\(S_{ABC}=S_{ABG}+S_{BGC}\left(2\right)\)

\(S_{ABD}=S_{AGD}+S_{ABG}\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow S_{ABG}+S_{BGC}=S_{AGD}+S_{ABG}\)

\(\Rightarrow S_{BGC}=S_{AGD}=18cm^2\)

Vì \(\Delta GDC\) và  \(\Delta AGD\) có chung cạnh DG và có  \(S_{AGD}=18cm^2;S_{GCD}=25cm^2\)

\(\Rightarrow S_{AGD}=\frac{18}{25}\times S_{GCD}\)

=> Tỉ số đường cao  \(\Delta AGD\) và \(\Delta GDC\) là 18/25 (4)

Mà

- đường cao \(\Delta AGD\) = đường cao  \(\Delta ABG\) (5)

- đường cao  \(\Delta GDC\)= đường cao \(\Delta CBG\) (6)

Từ \(\left(4\right);\left(5\right);\left(6\right)\Rightarrow\) Tỉ số đường cao \(\Delta ABG\) và  \(\Delta CBG\) là 18/25

=> Tỉ số diện tích  \(\Delta ABG\) và  \(\Delta CBG\) là 18/25

Diện tích \(\Delta ABG\) là 

\(18\times\frac{18}{25}=12,96cm^2\)

Diện tích hình thang ABCD là

12,96 + 18 + 25 + 18 = 73,96 cm²

Hình bạn tự vẽ nha

HOK TỐT !!!!!!!!!!!!!!

vô thống kê hỏi đáp xem hình nha

Ta có x³ + y³

= (x + y)(x² - xy + y²)

= (x + y)(x² + 2xy + y²) - 3xy(x  + y)

= (x + y)³ - 6xy 

= 2³ - 6xy

= 8 - 6xy

Lại có x + y = 2

=> (x + y)² = 4

=> x² + y² + 2xy = 4

=> 2xy = -6

=> xy = -3

Khi đó x³ - y³ = 8 + 6.3 = 26

b) a + b = 7

=> a = 7 - b

Khi đó ab = 12

<=> (7 - b).b = 12

=> 7b - b² = 12

=> 7b - b² - 12 = 0

=> -(b² - 7b + 12) = 0

=> b² - 4b - 3b + 12 = 0

=> b(b - 4) - 3(b - 4) = 0

=> (b - 3)(b - 4) = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}b=3\\b=4\end{cases}}\)

Khi b = 3 => a = 4

Khi b = 4 => a = 3

+) b = 3 ; a = 4 => B = (3 - 4)²⁰⁰⁹ = -1

+) b = 4 ; a = 3 => B = (4 - 3)²⁰⁰⁹ = 1

c) Ta có a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

                         = (a - b)(a² - 2ab + b²) + 3ab(a - b)

                         = (a - b)³ + 3ab(a - b)

                          = 27 + 9ab

Lại có \(\hept{\begin{cases}a+b=9\\a-b=3\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=6\\b=3\end{cases}}\)

Khi đó C = 27 + 9.6.3 = 27 + 162 = 189

a) x(y - x)³ + y(x - y)² + xy(x - y)

= x(y - x).(y - x)² +  y(x - y)² + xy(x - y)

= x(y - x)(x - y)² + y(x - y)² + xy(x - y)

= (x - y)[x(y - x)(x - y) + y(x - y) + xy]

= (x - y)[x(y - x)(x - y) + y(x - y) + xy]

b) 3a²x - 3a²y + abx - aby

= 3a²(x - y) + ab(x - y)

= a(x - y)(3a + b)

a) x( y - x )³ - y( x - y )² + xy( x - y )

= -x( x - y )³ - y( x - y )² + xy( x - y )

= ( x - y )[ -x( x - y )² - y( x - y ) + xy ]

= ( x - y )[ -x( x² - 2xy + y² ) - yx + y² + xy ]

= ( x - y )( -x³ + 2x²y - xy² - yx + y² + xy )

= ( x - y )( -x³ + 2x²y - xy² + y² )

b) 3a²x - 3a²y + abx - aby

= 3a²( x - y ) + ab( x - y )

= ( x - y )( 3a² + ab )

= ( x - y )a( 3a + b )

Áp dụng cách đánh giá quen thuộc 

\(3\left(\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{b^2+c^2}{2}+\frac{c^2+a^2}{2}\right)\ge\left(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\right)^2\)

Hay \(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)

Ta cần chỉ ra được \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Ta đánh giá theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức, Cần chú ý đến \(a^2+b^2+c^2\). Ta được

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

Ta cần chứng minh được

\(\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\ge\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Hay \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Dễ thấy \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

Do đó \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki 

\(\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Do đó ta được \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^3\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)^2\)

Bài toán được chứng minh :3

\(M=\frac{2012}{2013}.\frac{2012^{2011}}{2013^{2011}}\)

\(N=\frac{2012}{2013}.\frac{2012^{2011}+1}{2013^{2011}+1}\)

Bạn tự so sánh tiếp nhé!

Đặt 2012²⁰¹² = x ; 2013²⁰¹³ = y

Giả sử M < N 

Ta có : \(\frac{x}{y}< \frac{x+2012}{y+2013}\)

\(\Leftrightarrow x\left(y+2013\right)< y\left(x+2012\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+2013x< xy+2012y\)

\(\Leftrightarrow2013x< 2012y\)

\(\Leftrightarrow2013.2012^{2012}< 2012.2013^{2013}\)

\(\Leftrightarrow2012^{2011}< 2013^{2012}\)( Đúng )

=> Điều giả sử trên là đúng

=> M < N

ĐK \(k\left(k-p\right)\ge0\)

Để \(\sqrt{k^2-pk}\)là số nguyên

=> \(k\left(k-p\right)\)là số chính phương

Gọi UCLN của k và k-p là d

=> \(\hept{\begin{cases}k⋮d\\k-p⋮d\end{cases}}\)

=> \(p⋮d\)

Mà p là số nguyên tố

=> \(\orbr{\begin{cases}p=d\\d=1\end{cases}}\)

+ \(p=d\)=> \(k⋮p\)=> \(k=xp\left(x\in Z\right)\)

=> \(xp\left(xp-p\right)=p^2x\left(x-1\right)\)là số chính phương

=> \(x\left(x-1\right)\)là số chính phương 

Mà \(x\left(x-1\right)\)là tích của 2 số nguyên liên tiếp

=> \(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}\Rightarrow}\orbr{\begin{cases}k=0\\k=p\end{cases}}\)

+\(d=1\)

=>\(\hept{\begin{cases}k=a^2\\k-p=b^2\end{cases}\left(a>b\right)}\)

=> \(p=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

=> \(\hept{\begin{cases}a+b=p\\a-b=1\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{p+1}{2}\\b=\frac{p-1}{2}\end{cases}}\)

=> \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\)với p lẻ

Vậy \(k=0\)hoặc k=p hoặc \(k=\frac{\left(p+1\right)^2}{4}\forall plẻ\)

\(\sqrt{k^2-pk}\) là số nguyên dương => \(k^2-pk>0\Rightarrow k>p\)

Khang chú ý là sẽ không xảy ra k=0 hoặc k=p  nhé!

109

198

\(\frac{7}{18}+\frac{5}{3}\times1\frac{3}{9}\div\frac{55}{4}=\)\(\frac{7}{18}+\frac{5}{3}\times\frac{12}{9}\div\frac{55}{4}=\)\(\frac{7}{18}+\frac{5}{3}\times\frac{12}{9}\times\frac{4}{55}=\)\(\frac{7}{18}+\frac{5\times12\times4}{3\times9\times55}=\)\(\frac{7}{18}+\frac{4\times4}{9\times11}=\)\(\frac{7}{18}+\frac{16}{99}=\)\(\frac{693}{1782}+\frac{288}{1782}=\)\(\frac{981}{1782}=\frac{109}{198}\)