Vì \(\frac{a}{b}>\frac{c}{d}>\frac{e}{g}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ad>bc\\cg>ed\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ad-bc>0\\cg-ed>0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}ad-bc\ge1\\cg-ed\ge1\end{cases}}\)(Do a, b, c, d, g nguyên dương)

Ta có: \(d=d\left(ag-be\right)=adg-bed=\left(adg-bcg\right)+\left(bcg-bed\right)\)

\(=g\left(ad-bc\right)+b\left(cg-ed\right)\ge g.1+b.1=b+g\)

Ta có điều phải chứng minh

\(\sqrt{x+4\sqrt{x-1}+3}-\sqrt{4x+4\sqrt{x-1}-3}=1\)(đk:\(1\le x< 2\)) Lý do có điều kiện này là nhờ vào việc VT=1>0

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)+4\sqrt{x-1}+4}-\sqrt{4\left(x-1\right)+4\sqrt{x-1}+1}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+2\right)^2}-\sqrt{\left(2\sqrt{x-1}+1\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}+2\right)-\left(2\sqrt{x-1}+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\)(thõa mãn điều kiện)

Ta có : \(\sqrt{x+4\sqrt{x-1}+3}-\sqrt{4x+4\sqrt{x-1}-3}=1\) ( ĐK : \(x\ge1\) )

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x-1\right)+4\sqrt{x-1}+4}-\sqrt{4.\left(x-1\right)+4.\sqrt{x-1}+1}=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(\sqrt{x-1}+2\right)^2}-\sqrt{\left(2\sqrt{x-1}+1\right)^2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left|\sqrt{x-1}+2\right|-\left|2\sqrt{x-1}+1\right|=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}+2-2\sqrt{x-1}-1=1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-1}=0\)

\(\Leftrightarrow x-1=0\)

\(\Leftrightarrow x=1\) ( Thỏa mãn )

De chung minh M la tam duong tron bang tiep goc C cua tam giac ABC

\(\Rightarrow\widehat{MAI}=\widehat{MBI}=90^0\) => tu giac MAIN noi tiep

=> \(C'I.C'M=C'B.C'A\left(1\right)\)

Mat khac xet (O)  ta cung co \(C'B.C'A=C'N.C'E\left(2\right)\)

Tu (1) va (2) suy ra \(C'I.C'M=C'E.C'N\)

suy ra tu giac MEIN noi tiep (*)

chung minh tuong tu cung co tu giac EINK noi tiep (**)

tu (*) va(**) ta co dpcm

Khi viết một số có 4 chữ số vào bên phải số 400 ta sẽ được số \(\overline{400abcd}\) (với \(a,b,c,d\inℕ;0\le\left\{b,c,d\right\}\le9;1\le a\le9\) do \(\overline{abcd}\) là số có 4 chữ số)

Ta có: \(2000^2< \overline{400abcd}< 2003^2\)

\(\Rightarrow\overline{400abcd}\in\left\{2001^2,2002^2\right\}\)

\(2001^2=4004001\Rightarrow\overline{abcd}=4001\)

\(2002^2=4008004\Rightarrow\overline{abcd}=8004\)

Vậy các số có 4 chữ số cần tìm là: \(4001,8004\)

Đáp số: \(4001,8004\)

Đặt \(A=ab+bc+cd\le ab+ad+bc+cd=\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức \(xy\le\left(\frac{x+y}{2}\right)^2\) , ta có :

\(A\le\left(a+c\right)\left(b+d\right)\)

\(\Leftrightarrow A\le\left(\frac{a+b+c+d}{2}\right)^2=\left(\frac{63}{2}\right)^2=\frac{3969}{4}\)

Vậy Max  \(A=\frac{3969}{4}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+c=\frac{63}{2}\\b+d=\frac{63}{2}\\a,b,c,d>0\end{cases}}\)

a,b,c,d là các số nguyên dương mà bạn?

Ta có :\(x^2=2+\sqrt{2+\sqrt{3}}+6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\left(6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}\)

              \(=8-2\sqrt{2+\sqrt{3}}-2\sqrt{3\left(2+\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)\left(2-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)}\)

              \(=8-\frac{2}{\sqrt{2}}\sqrt{4+2\sqrt{3}}-2\sqrt{3\left(2^2-\sqrt{2+\sqrt{3}}^2\right)}\)       

              \(=8-\sqrt{2}\sqrt{\sqrt{3}^2+2\cdot1\sqrt{3}+1^2}-2\sqrt{3\left(4-2-\sqrt{3}\right)}\)

              \(=8-\sqrt{2}\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^2}-2\sqrt{3}\sqrt{2-\sqrt{3}}\)

               \(=8-\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+1\right)-\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\sqrt{4-2\sqrt{3}}\)

               \(=8-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)-\sqrt{6}\sqrt{\left(\sqrt{3}-1\right)^2}\)

               \(=8-\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{6}\left(\sqrt{3}-1\right)\)

               \(=8-\sqrt{6}-\sqrt{2}-\sqrt{18}+\sqrt{6}\)

               \(=8-\sqrt{2}-\sqrt{18}\)

               \(=8-\sqrt{2}\left(3+1\right)=8-4\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow x^4-16x^2=\left(8-4\sqrt{2}\right)^2-16\left(8-4\sqrt{2}\right)\)

                          \(=8^2+4^2\cdot\sqrt{2}^2-2\cdot8\cdot4\sqrt{2}-16\cdot8+16\cdot4\sqrt{2}\)

                          \(=64+32-64\sqrt{2}-128+64\sqrt{2}\)

                          \(=-32\)

         Vậy \(x^4-16x^2=-32\)

Tại hạ làm bừa có gì mong đạo hữu lượng thứ =))