\(A=\left(\frac{7}{9}+1\right)\left(\frac{7}{20}+1\right)\left(\frac{7}{33}+1\right)..........\left(\frac{7}{2900}+1\right)\)

 \(A=\frac{16}{9}.\frac{27}{20}.\frac{40}{33}.......\frac{2907}{2900}\)

 \(A=\frac{2.8}{1.9}.\frac{3.9}{2.10}.\frac{4.10}{3.11}......\frac{51.57}{50.58}\)

 \(A=\frac{2.3.4.....51}{1.2.3......50}.\frac{8.9.10.......57}{9.10.11........58}\)

 \(A=51.\frac{4}{29}\)

 \(A=\frac{204}{59}\)

Vậy \(A=\frac{204}{59}\)

K: \(m\ne0\)

Ta có: \(\frac{1}{m}+\frac{n}{6}=\frac{1}{2}\Rightarrow\frac{6+mn}{6m}=\frac{1}{2}\Rightarrow6+mn=3m\)

\(\Rightarrow6=m\left(3-n\right)\)

Vậy \(m\inƯ\left(6\right)=\left\{6;3;2;1;-1;-2;-3;-6\right\}\)

Ta có bảng:

Vậy ta có 8 cặp số thỏa mãn.

Có 2 trường hợp.

TH1:m=3;n=1

TH2:m=2;n=0

Bạn ơi bạn có đáp án bài 2 chưa ạ ? Mình đang không biết giải bài 2

ko biết

\(\frac{P}{m-1}=\frac{m+n}{p}\) dk tồn tại  \(VT>0\Rightarrow m>1\)

\(\Leftrightarrow p^2=\left(m+n\right)\left(m-1\right)\)(*)

VT là bp số nguyên tố VP xẩy ra các trường hợp

TH1: p=(m+n)=(m-1)=> n=-1 (loại n tự nhiên)

TH2:  Một trong hai số phải =1 có m>1=> m+n>1

=> m-1=1=> m=2

\(\Rightarrow P^2=\left(n+2\right)\left(2-1\right)=n+2\Rightarrow dpcm\)

VT là bp số nguyên tố vp xẩy ra các trường hợp

TH1: p={m+n}={m-1}=>n-1{loai n tu nhien}

TH2:mot trong 2 so phai =1 co m>1=>m+n>=>m-1=1=>m2

chúc bạn làm tốt

Ta chứng minh 

\(\sqrt{a+bc}\ge1a+\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a\ge a^2+2a\sqrt{bc}\)

\(\Leftrightarrow a\left(1-a-2\sqrt{bc}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(b+c-2\sqrt{bc}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow a\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\ge0\)(đúng)

Từ đây ta suy ra được

\(\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\ge a+b+c+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

Một cách chứng minh rất sáng tạo ko lệ thuộc vào cách truyền thống. Cho bn 1 k

mk mà đúng thì nhớ k cho mk nh bạn giải như vầy nè

Với x;y dương ta có:F=\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+d}+\frac{c}{d+a}+\frac{d}{a+b}=\left(\frac{a}{b+c}+\frac{c}{d+a}\right)+\left(\frac{b}{c+d}+\frac{d}{a+b}\right)\)

=\(\frac{a\left(a+d\right)+c\left(b+c\right)}{\left(a+d\right)\left(b+c\right)}\)+\(\frac{b\left(a+b\right)+d\left(d+c\right)}{\left(a+b\right)\left(d+c\right)}\)\(\ge\)\(\frac{a^2+c^2+ad+bc}{\frac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2}\)+\(\frac{b^2+d^2+ab+cd}{\frac{1}{4}\left(a+b+c+d\right)^2}\)

   =\(\frac{4\left(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+ad+bc+cd\right)}{^{\left(a+b+c+d\right)^2}}\)                                                        (áp dụng bđt xy\(\le\frac{1}{4}\left(x+y\right)^2\))mặt khác có 2(\(a^2 +b^2+c^2+d^2+ab+ac+bc+cd\))-\(\left(a+b+c+d\right)^2\)=\(a^2+b^2+c^2+d^2-2ac-2bd\)=\(\left(a-c\right)^2+\left(b-d\right)^2\ge0\)suy ra F\(\ge\)2, dấu ''=''xảy ra khi và chỉ khi a=c ;b=d

Aps dụng với a=2016;b=x;c=y;d=2015ta có\(\frac{2016}{x+y}+\frac{x}{y+2015}+\frac{y}{4031}+\frac{2015}{x+2016}=2\)

nên x; y cần tìm là 2015 và 2016

Bạn xem đề thử nguyên hay nguyên dương nhé. Nguyên dương thì còn thấy đường làm chứ nguyên thì bó tay.

Giả sử a,b,c,d khác nhau ta có

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}\) 

\(< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\)

\(< 1-\frac{1}{5}< 1\)(trái với giả thiết)

=> điều giả sử là sai => ĐPCM

Giả sử a,b,c,d khác nhau, thì ta sẽ có:

 \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}\)

\(< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\)

\(< 1-\frac{1}{5}< 1\) (trái với giả thiết)

= > điều giả sử sai = > ĐPCM

(x+1)+(x+2)+(x+3)+......+(x+100)=5750

X+. (1+2+3+...+100)                   = 5750

Suy ra: 1+2+3+...+100

có số các số hạng là:(100-1):1+1=100 số hạng

tổng trên là :(100+1).100:2=5050

như vậy ta có phép tính: X+5050=5750

                                       X     = 5750-5050

                                       X     = 700

Vậy x = 700

(x+1)+(x+2)+(x+3)+........+(x+100)=5750

(x+x+...+x)+(1+2+3+...+100)=5750

(x.100)+(1+100).100:2=5750

(x.100)+5050=5750

x.100=5750-5050

x.100=700

x       =700:100

x       = 7

Vậy x=7

\(A+5=x^2+4+y^2+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x+y}=4x+2y+...=\frac{x+y}{9}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x}+\frac{x}{4}+\frac{17}{9}\left(x+y\right)+\frac{7}{4}x\ge\frac{65}{6}=>A\ge\frac{35}{6}\\ .\)Bài bất :)

2/ \(\hept{\begin{cases}\frac{xy}{2}+\frac{5}{2x+y-xy}=5\\2x+y+\frac{10}{xy}=4+xy\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{xy}{2}=a\\2x+y-xy=b\end{cases}}\)

Thì ta có hệ:

\(\hept{\begin{cases}a+\frac{5}{b}=5\\b+\frac{5}{a}=4\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=5-\frac{5}{b}\left(1\right)\\b+\frac{5}{5-\frac{5}{b}}=4\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(2\right)\Leftrightarrow b^2-4b+4=0\)

\(\Leftrightarrow b=2\)

\(\Rightarrow a=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{xy}{2}=\frac{5}{2}\\2x+y-xy=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}xy=5\\2x+y=7\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\\y=5\end{cases}or\orbr{\begin{cases}x=\frac{5}{2}\\y=2\end{cases}}}\)

a, \(P\left(x\right)=5x^3-3x+7-x\)

               \(=5x^3-4x+7\)

\(Q\left(x\right)=-5x^3+2x-3+2x-x^2-2\)

             \(=-5x^3-x^2+4x-5\)

Ta có \(P\left(x\right)+Q\left(x\right)=-x^2+2\)

         \(P\left(x\right)-Q\left(x\right)=10x^3+x^2-8x+12\)

b, \(P\left(x\right)+Q\left(x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2+2=0\)

\(\Leftrightarrow-x^2=-2\)

\(\Leftrightarrow x^2=2=\left(\pm\sqrt{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}\)

Vậy \(x=\pm\sqrt{2}\)

P(x) = 5x³ - 3x + 7 - x

        = 5x³ - 4x + 7

Q(x) = -5x³ + 2x - 3 + 2x - x² - 2

        = -5x³ - x² + 4x - 5

P(x) + Q(x) = ( 5x³ - 4x + 7 ) + ( -5x³ - x² + 4x - 5 )

                   = 5x³ - 4x + 7 - 5x³ - x² + 4x - 5

                   = -x² + 2

P(x) - Q(x) = ( 5x³ - 4x + 7 ) - ( -5x³ - x² + 4x - 5 )

                  = 5x³ - 4x + 7 + 5x³ + x² - 4x + 5

                  = 10x³ + x² - 8x + 12

Đặt H(x) = P(x) + Q(x)

=> H(x) = -x² + 2

H(x) = 0 <=> -x² + 2 = 0

              <=> -x² = -2

              <=> x² = 2

              <=> x = \(\pm\sqrt{2}\)

Vậy nghiệm của đa thức là \(\pm\sqrt{2}\)