\(x^2+\frac{x}{x+1}=\left(3-x\right)\sqrt{-x^2+x+2}\)

\(\Rightarrow x^2+\frac{x}{x+1}=\left(3-x\right)\sqrt{-\left(x-2\right)\left(x+1\right)}\)

\(\Rightarrow x^2+\frac{x}{x+1}=\left(3-x\right)\sqrt{x+1}\sqrt{-x+2}\)

\(\Rightarrow\frac{x^3+x^2+x}{x+1}=\left(3-x\right)\sqrt{x+1}\sqrt{-x+2}\)

\(\Rightarrow x^3+x^2+x=\left(3-x\right)\left(x+1\right)\sqrt{x+1}\sqrt{2-x}\)

Áp dụng bđt AM-GM ta có

\(x^2-xy+y^2\ge x^2+y^2-\frac{x^2+y^2}{2}=\frac{x^2+y^2}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{x+y}{x^2-xy+y^2}\le\frac{2\left(x+y\right)}{x^2+y^2}\le\frac{2\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{x^2+y^2}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=1

đặt \(p^{2m}+q^{2m}=a^2\)

Xét p,q cùng lẻ thì \(p^{2m}\)chia 4 dư 1 ; \(q^{2m}\)chia 4 dư 1

\(\Rightarrow p^{2m}+q^{2m}\)chia 4 dư 2

\(\Rightarrow a^2\)chia 4 dư 2 ( vô lí vì SCP chia 4 ko thể dư 2 hoặc 3 )

\(\Rightarrow\)ít nhất 1 trong 2 số p,q có 1 số bằng 2

giả sử p = 2

\(\Rightarrow4^m=a^2-q^{2n}=\left(a-q^n\right)\left(a+q^n\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-q^n=4^x\\a+q^n=4^y\end{cases}\Rightarrow2.q^n=4^y-4^x⋮4}\)

\(\Rightarrow q^n⋮2\)

\(\Rightarrow q⋮2\)

\(\Rightarrow q=2\)

Thay p = q = 2 vào, ta được :

\(4^m+4^n=a^2\)

giả sử \(m\ge n\)

Đặt \(m=n+z\)

Ta có : \(4^{n+z}+4^n=4^n\left(4^z+1\right)=a^2\)

vì \(4^n\)là số chính phương nên \(4^z+1\)là số chính phương

Dễ thấy \(4^z+1=\left(2^z\right)^2+1\)không là số chính phương nên suy ra phương trình vô nghiệm

Đáp số nè: m=2, n=1, p=2, q=3 và các hoán vị.

Nếu ai cần thì cứ nhắn tin vs mik nha.

(q+p) : 2 co ket qua la 1 so nam giua p va q

Ma p va q la 2 so nguyen to lien tiep nen (q+p):2 ko la so nguyen to(1)

2<p<q nen p va q la 2 so le nen (p+q) chia het cho 2(2)

tu (1) va (2) suy ra (p+q):2 la hop so

.q>p => p/2>p/2 => p/2+q/2>p/2+p/2 hay (q+p)/2>p (1)

.p<q => p/2<q/2 => p/2+q/2<q/2+q/2 hay (p+q)/2<q (2)

từ (1),(2) => p<(p+q)/2<q

do (p+q)/2 nằm giữa 2 SNT liên tiếp nên (p+q)/2 là hợp số

Chứng minh bằng phản chứng.

Giả sử c không phải cạnh nhỏ nhất, hay c lớn hơn hoặc bằng ít nhất một trong hai cạnh còn lại.

Giả sử cạnh đó là b. Ta có: \(b\le c\)

\(\Rightarrow a^2\ge5c^2-b^2\ge5c^2-c^2=4c^2\)

\(\Rightarrow a\ge2c\)

\(\Rightarrow b+c\le c+c=2c\le a\)

\(b+c\le a\) là một điều trái với bất đẳng thức tam giác \(b+c>a\)

Vậy điều giả sử sai.

Hay c là độ dài cạnh bé nhất,

ok tớ camon =))