\(VP=\frac{1}{2}\Sigma\sqrt{4\left(a^2b+a^2c\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma\left(4+a^2b+a^2c\right)\)

\(=3+\frac{1}{4}\Sigma ab\left(a+b\right)\le3+\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a^3+b^3+c^3+3abc\right)\le a^3+b^3+c^3\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\)

mình nghĩ là khi a=b

Ta có:

a₁+a₂+...+a₂₀₀₂+a₂₀₀₃=(a₁+a₂)+...+(a₂₀₀₁+a₂₀₀₂)+a₂₀₀₃=0

=1 + 1+...+ 1+a₂₀₀₃(có 1001 số 1)=0

=1001+a₂₀₀₃=0

=>a₂₀₀₃=0-1001

=>a₂₀₀₃= -1001

Ta có:

a₂₀₀₃+a₁=1

=>-1001+a₁=1

=>a₁=1-(-1001)

=>a₁=1002

(nếu thấy hay thì like cho mình nhé)

1002 nha bạn

Chúc các bạn học giỏi 

Nha

) f(0) = c; f(0) nguyên => c nguyên     (*)
f(1) = a+ b + c ; f(1) nguyên => a+ b + c nguyên     (**)
f(2) = 4a + 2b + c ; f(2) nguyên => 4a + 2b + c nguyên    (***)
Từ (*)(**)(***) => a + b và 4a + 2b nguyên
4a + 2b = 2a + 2.(a + b) có giá trị  nguyên  mà 2(a+ b) nguyên do a+ b nguyên
nên 2a nguyên => 4a có giá trị nguyên mà 4a + 2b nguyên do đó 2b có giá trị nguyên

:3

Có \(f\left(0\right);f\left(1\right);f\left(2\right)\)\(\in Z\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(0\right)=c\in Z\\f\left(1\right)=a+b+c\in z\\f\left(2\right)=4a+2b+c\in z\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b\in z\\4a+2b\in z\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2a+2b\in z\\4a+2b\in z\end{cases}}\Rightarrow2a\in z;}2b\in z\)

\(\RightarrowĐPCM\)

A B C H E D

Có thể thấy rằng DC + DE = EC < BC mà BC < AB + AC (bất đẳng thức tam giác) nên AB + AC > DC + DE.

Đề sai rồi bạn.

mả thằng cha mi t

\(\frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}=\frac{x+2y+z}{9a}\)(1)

\(\frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}=\frac{2x+y-z}{9b}\)(2)

\(\frac{x}{a+2b+c}=\frac{y}{2a+b-c}=\frac{z}{4a-4b+c}=\frac{4x-4y+z}{9c}\)(3)

Từ (1), (2), (3) => \(\frac{x+2y+z}{9a}=\frac{2x+y-z}{9b}=\frac{4x-4y+z}{9c}\)hay \(\frac{a}{x+2y+z}=\frac{b}{2z+y-z}=\frac{c}{4x-4y+z}\)(vì cùng = 9)

cảm ơn bn nhiều

\(A=\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{60}=\left(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40}\right)+\left(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50}\right)+\left(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60}\right)\)

Ta có: \(\frac{1}{31}+\frac{1}{32}+...+\frac{1}{40}< \frac{1}{30}+\frac{1}{30}+...+\frac{1}{30}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}\)

\(\frac{1}{41}+\frac{1}{42}+...+\frac{1}{50}< \frac{1}{40}+\frac{1}{40}+...+\frac{1}{40}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{51}+\frac{1}{52}+...+\frac{1}{60}< \frac{1}{50}+\frac{1}{50}+...+\frac{1}{50}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}\)

Do đó \(A< \frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{47}{60}< \frac{48}{60}=\frac{4}{5}\)

Vậy \(A< \frac{4}{5}\)

Một cách giải khác:

A B C D E H I F

Dựng tam giác đều EHF sao cho F nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A.

Khi đó:  ^CEH = ^AEF (=60⁰ - ^AEH). Kết hợp với EC=EA, EH=EF suy ra \(\Delta\)HEC = \(\Delta\)FEA (c.g.c)

=> CH = AF (2 cạnh tương ứng) hay BH = AF (Do BH=CH)

Ta có: ^IAF = 360⁰ - ^EAF - ^EAC - ^BAC - IAB = 360⁰ - 60⁰ - 30⁰ - ^ECH - ^BAC (^EAF=^ECH vì \(\Delta\)HEC = \(\Delta\)FEA)

= 270⁰ - 60⁰ - ^BAC - ^ACB = 30⁰ + ^ABC = ^IBA + ^ABC = ^IBH

Xét \(\Delta\)BIH và \(\Delta\)AIF có: IB = IA, BH = AF (cmt), ^IBH = ^IAF (cmt) => \(\Delta\)BIH = \(\Delta\)AIF (c.g.c)

Suy ra IH = IF (2 cạnh tương ứng). Mà EH = EF nên IE trung trực của HF.

Xét \(\Delta\)EHF đều có EI là trung trực của HF => EI là phân giác của ^HEF => ^IEH = ^HEF/2 = 30⁰

Kết luận: ^IEH = 30⁰.

A B C K E D 1 2 3 1 1 2 2 1 2 3 4 I H

Trên tia IH lấy điểm K sao cho HI=HK

Xét tam giác HIB và tam giác HKC có:

HI=HK (cách vẽ)

HB=HC ( H là trung điểm BC)

\(\widehat{H_1}=\widehat{H_2}\)( đối định )

=> \(\Delta HIB=\Delta HKC\)(c.g.c)

=> IB=CK mà IB=AI ( dễ tự chứng minh)

=> CK=AI (1)

\(\widehat{IAE}=\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}=30^o+\widehat{A_2}+60^o=90^o+\widehat{A_2}\)

\(\widehat{ECK}=\widehat{C_1}=360^o-\left(\widehat{C_2}+\widehat{C_3}+\widehat{C_4}\right)\)Vì \(\Delta HIB=\Delta HKC\)=> \(\widehat{C_2}=\widehat{HBI}\)=\(\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=30^o+\widehat{B_1}\)

và \(\widehat{C_4}=60^o\)

=> \(\widehat{ECK}=\widehat{C_1}=360^o-\left(90^o+\widehat{B_1}+\widehat{C_3}_{ }\right)=90^o+\widehat{A_2}\)

=> \(\widehat{IAE}=\widehat{ECK}\)(2)

và AE= EC ( tam giác AEC đều) (3)

Từ (1), (2), (3)

=> \(\Delta IAE=\Delta KCE\)

=> IE=KE => tam giác IEK cân  có EH là đường trung tuyến=> EH cũng là đường phân giác 

\(\widehat{AEI}=\widehat{CEK}\)=> \(\widehat{IEK}=\widehat{IEC}+\widehat{CEK}=\widehat{IEC}+\widehat{AEI}=\widehat{AEC}=60^o\)

=> \(\widehat{IEH}=60^o:2=30^o\)

  Ta có: \(A=1-\left[\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}\right]\)

=> Để  \(A\in N\)thì \(\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}\in Z\)

=> \(3-3^2+3^3-...-3^{2010}\)phải chia hết cho 4.

Ta có: 3 - 3² + 3³ - ... . 3²⁰¹⁰ = (3 - 3²) + (3³ - 3⁴) + ... + (3²⁰⁰⁹ - 3²⁰¹⁰) =

       = (3.1-3.3)+...+(3²⁰⁰⁹.1+3²⁰¹⁰.3) -> có 2010 / 2 = 1005 nhóm tất cả.

          (3.1-3.3)+...+(3²⁰⁰⁹.1+3²⁰¹⁰.3) = 3.(-2)+3³.(-2)+...+3²⁰⁰⁹.(-2) = (-2).(3+3³+...+3²⁰⁰⁹) không chia hết cho 4.

 Vậy \(A\notin Z\)

Vẽ sơ đồ đoạn thẳng:

A                               (1)               (2)                     B

 |-------X------|-------------|------X-------|-----X-----|------|

                 ---6+9---                               --6-

  -------------------------201--------------------------------

Khoảng cách giữa 2 xe [từ (1) đến (2)] là: [201 - 6 - (6+9)] : 3 = 60 km

Khoảng cách từ A đến người thứ nhất (1) là: 60 + (6+9) = 75 km

Khoảng cách từ B đến người thứ hai (2) là 60 +6 =66 km.

Thời gian 2 xe đi là:

        7h15 - 6h kém 15 = 1,5 giờ.

Vận tốc xe đi từ A là:

      75 : 1,5 = 50 km/h

Vận tốc xe đi từ B là:

      66 : 1,5 = 44 km/h

Xin lỗi, hình vẽ bị xộc xệch. Các bạn vẽ lại cho chuẩn xác hơn nhé.