Ta có: \(x^2-y^2=100.110^{2n}\)

<=> \(\left(x-y\right)\left(x+y\right)=\left(10\right)^2.11^{2n}.10^{2n}\)là số chẵn

=> x - y; x + y cùng chẵn

Đặt: 2a = x - y; 2b = x + y (b>a >0) 

Khi đó: \(2a.2b=5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n+2}\)

<=> \(ab=5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n}\)

=> a là ước nguyên dương của \(5^{2n+2}.11^{2n}.2^{2n}\)

=> a có dạng \(a=5^s.11^t.2^r\) với: \(0\le s\le2n+2;0\le t\le2n;0\le r\le2n\)

Ta có:  s có 2n + 3 cách chọn;  t có 2n +1 cách chọn; r có 2n + 1 cách chọn 

Vì s, t, r độc lập nên a có: (2n + 3)(2n + 1)( 2n +1 ) cách chọn.

Với mỗi cách chọn a có một cách chọn b => có: \(\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2\) ngiệm (a;b) 

Tuy nhiên chú ý: b > a> 0 và trong các cặp nghiệm (a; b ) trên có một cặp nghiệm thỏa mãn a = b.

Nên số nghiệm (a;b) thỏa mãn  b> a> 0 là \(\frac{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2-1}{2}\)

Và với mỗi nghiệm (a;b) thỏa mãn đk : b > a> 0 thì  có 1 cặp nghiệm (x;y)

=> Số nghiệm nguyên của phương trình ban đầu là: \(\frac{\left(2n+3\right)\left(2n+1\right)^2-1}{2}=\frac{\left(2n+2\right)\left(2n+1\right)^2+\left(2n+1\right)^2-1}{2}\)

\(=\left(n+1\right)\left(2n+1\right)^2+2n\left(n+1\right)=\left(n+1\right)\left(4n^2+6n+1\right)\)(1) ( với n nguyên dương )

Nhận xét: \(\left(4n^2+6n+1;n+1\right)=1\)(2)

Chứng minh: Thật vậy: Đặt: \(\left(4n^2+6n+1;n+1\right)=d\)

Khi đó: \(4n^2+6n+1-4\left(n+1\right)^2⋮d\)

=> \(-2n-3⋮d\)

=> \(\left(-2n-3\right)+2\left(n+1\right)⋮d\)

=> \(-1⋮d\)

=> d = 1

Từ (1); (2)  số nghiệm nguyên (x; y) là số chính phương  <=> \(4n^2+6n+1\)và n +1 đồng thời là hai số chính phương với mọi n nguyên dương 

Mà: 

\(4n^2+4n+1< 4n^2+6n+1< 4n^2+8n+4\)với mọi số nguyên dương n

=> \(\left(2n+1\right)^2< 4n^2+6n+1< \left(2n+2\right)^2\)

=>   \(4n^2+6n+1\)không là số chính phương

Vậy nên số ngiệm phương trình không phải là số chính phương.

1) Ta có : \(\frac{2016a+b+c+d}{a}=\frac{a+2016b+c+d}{b}=\frac{a+b+2016c+d}{c}=\frac{a+b+c+2016d}{d}\)

Trừ 4 vế với 2015 ta được : \(\frac{a+b+c+d}{a}=\frac{a+b+c+d}{b}=\frac{a+b+c+d}{c}=\frac{a+b+c+d}{d}\)

Nếu a + b + c + d = 0

=> a + b = -(c + d)

=> b + c = (-a + d) 

=> c + d = -(a + b)

=> d + a = (-b + c)

Khi đó M = (-1) + (-1) + (-1) + (-1) = - 4

Nếu a + b + c + d\(\ne0\Rightarrow\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}=\frac{1}{d}\Rightarrow a=b=c=d\)

Khi đó M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

2) a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}\left|x+2013\right|\ge0\forall x\\\left(3x-7\right)^{2004}\ge0\forall y\end{cases}\Rightarrow\left|x+2013\right|+\left(3x-7\right)^{2014}\ge0}\)

Dấu "=" xảy ra \(\hept{\begin{cases}x+2013=0\\3y-7=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-2013\\y=\frac{7}{3}\end{cases}}}\)

b) 7^2x + 7^{2x + 3} = 344

=> 7^2x + 7^2x.7³ = 344

=> 7^2x.(1 + 7³) = 344

=> 7^2x  = 1

=> 7^2x = 7⁰

=> 2x = 0 => x = 0

c) Ta có :

 \(\frac{7}{2x+2}=\frac{3}{2y-4}=\frac{5}{x+4}\Leftrightarrow\frac{7}{2x+2}=\frac{3}{2y-4}=\frac{10}{2x+8}=\frac{7-10}{2x+2-2x-8}=\frac{1}{2}\)(dãy tỉ số bằng nhau)

=>  2x + 2 = 14 => x = 6 ; 

2y - 4 = 6 => y = 5 ; 

6 + 5 + z = 17 => z = 6 

Vậy x = 6 ; y = 5 ; z = 6

3) a) Ta có : \(\frac{a+b+c}{a+b-c}=\frac{a-b+c}{a-b-c}=\frac{a+b+c-a+b-c}{a+b-c-a+b+c}=\frac{2b}{2b}=1\)(dãy ti số bằng nhau) 

=> a + b + c = a + b - c => a + b + c - a - b + c = 0 => 2c = 0 => c = 0;  

Lại có : \(\frac{a+b+c}{a+b-c}-1=\frac{a-b+c}{a-b-c}-1\Leftrightarrow\frac{2c}{a+b-c}=\frac{2c}{a-b-c}\Rightarrow a+b-c=a-b-c\) => b = 0 

Vậy c = 0 hoặc b = 0

c) Ta có : \(\frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b+b+c+a+c}{c+a+b}=2\)(dãy tỉ số bằng nhau) 

=> \(\hept{\begin{cases}a+b=2c\\b+c=2a\\a+c=2b\end{cases}}\)

Khi đó P = \(\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{b}{a}\right)=\frac{b+c}{b}.\frac{c+a}{c}=\frac{a+b}{a}=\frac{2a.2b.2c}{abc}=8\)

Vậy P = 8

2. b) \(7^{2x}+7^{2x+3}=344\)

        \(7^{2x}\cdot\left(1+7^3\right)=344\)

        \(7^{2x}\cdot\left(1+343\right)=344\)

        \(7^{2x}\cdot344=344\)

               \(7^{2x}=1\)  

               \(7^{2x}=7^0\)

              \(2x=0\)

               \(x=0\)

Bài 1:

a)\(\frac{7}{29}+\frac{11}{47}-\frac{3}{5}+\frac{22}{29}-\frac{58}{47}\)

\(=\left(\frac{7}{29}+\frac{22}{29}\right)+\left(\frac{11}{47}-\frac{58}{47}\right)-\frac{3}{5}\)

\(=1+\left(-1\right)-\frac{3}{5}=\frac{-3}{5}\)

b) \(\left|-\frac{3}{7}\right|:\left(-3\right)^2-\sqrt{\frac{4}{49}}\)

\(=\frac{3}{7}:9-\frac{2}{7}\)

\(=\frac{1}{21}-\frac{2}{7}=\frac{1}{21}-\frac{6}{21}=\frac{-5}{21}\)

Bài 2: 

a) \(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}x=\frac{5}{6}\)

\(\frac{2}{3}x=\frac{5}{6}-\frac{1}{2}\)

\(\frac{2}{3}x=\frac{5}{6}-\frac{3}{6}\)

\(\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}\)

\(x=\frac{1}{3}.\frac{3}{2}\)

\(x=\frac{1}{2}\)

b) \(\left|x-1\right|=7x\)( cái này đề mk ko hiểu nên mình làm đề bài ntn nhá)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x-1=7x\\x-1=-7x\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-7x=1\\x+7x=1\end{cases}}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}-6x=1\\8x=1\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{-1}{6}\\x=\frac{1}{8}\end{cases}}}\)

\(A=\frac{n\left(n+1\right)}{2};B=2n+1\\ \)

gọi d là ước lớn nhất của A và B

ta có

\(8A-B^2=4n^2+4n-\left(4n^2+4n+1\right)=1\)

Vậy \(d=+-1\) => A,B có ước lớn nhất là 1 =>dpcm 

mình k hiểu cho lắm dong thứ 2

do \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{1}{90}.\)

nên \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)=\)\(\left(a+b+c\right)\times\frac{1}{90}.\)(nhân cả 2 vế với a+b+c)

=> \(\frac{\left(a+b+c\right)}{a+b}+\frac{\left(a+b+c\right)}{b+c}+\frac{\left(a+b+c\right)}{c+a}\)= \(\frac{\left(a+b+c\right)}{90}\)

=> \(\frac{a+b}{a+b}+\frac{c}{a+c}+\frac{b+c}{b+c}+\frac{a}{b+c}\)\(+\frac{c+a}{c+a}+\frac{b}{c+a}=\frac{2007}{90}\)(do a+b+c=2007)

=> 3+\(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=\frac{2007}{90}\)

=> \(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=\frac{2007}{90}-3=\frac{193}{10}\)\(=19,3\)

Vậy S=19,3

cô tớ chữa cho đấy

chắc chắn 1000000000000%

chúc cậu học tốt

Ra bằng \(S=\frac{2007}{90}\)bạn Monkey( quỳnh chi ^_^)

Ta có \(5^x=y^4+4y+1\)

\(\Leftrightarrow5^x=\left(y+2\right)^2-3\)

\(\Leftrightarrow5^x-\left(y+2\right)^2=-3\)

Xét x=0

\(\Rightarrow\left(y+2\right)^2=1+3=4\)

\(\Rightarrow y+2=2\Rightarrow y=0\left(tm\right)\)

Xét x>0 

Vì 5^x và -3 là 2 số lẻ => (y+2)²là số chẵn

Đặt (y+2)²=4k²                (k>1)

=> (y+2)²=5^x+3

=> 5^x=4k²-3

Vì k>1 nên 4k²-3\(⋮̸\)5

Vậy x=0,y=0 

còn x=2 và y=2 nữa nha bn

ĐK : \(x\ge-2;y\ge-3\)

pt (1) <=> \(x^3+x=\left(y+1\right)^3+\left(y+1\right)\)

<=> \(\left(y+1\right)^3-x^3+\left(y+1\right)-x=0\)

<=> \(\left(y+1-x\right)\left(\left(y+1\right)^2+\left(y+1\right)x+x^2+1\right)=0\)

<=> \(y+1-x=0\) vì \(\left(y+1\right)^2+\left(y+1\right)x+x^2+1>0\)dễ chứng minh.

<=> \(x=y+1\)(1')

pt (2) <=> \(\sqrt{\left(\sqrt{x+2}-2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{y+3}-3\right)^2}=1\)

<=> \(\left|\sqrt{x+2}-2\right|+\left|\sqrt{y+3}-3\right|=1\)(2')

Thế (1') vào (2') ta có: \(\left|\sqrt{y+3}-2\right|+\left|\sqrt{y+3}-3\right|=1\)

Có: \(\left|\sqrt{y+3}-2\right|+\left|\sqrt{y+3}-3\right|=\left|\sqrt{y+3}-2\right|+\left|3-\sqrt{y+3}\right|\ge1\)

Do đó: \(\left|\sqrt{y+3}-2\right|+\left|\sqrt{y+3}-3\right|=1\)<=> \(\left(\sqrt{y+3}-2\right)\left(3-\sqrt{y+3}\right)\ge0\)

<=> \(2\le\sqrt{y+3}\le3\)

<=> \(4\le y+3\le9\)

<=> \(1\le y\le6\)(tm) 

Khi đó: x = y + 1 với mọi y thỏa mãn \(1\le y\le6\)

Vậy tập nghiệm  \(S=\left\{\left(y+1;y\right):1\le y\le6\right\}\)

\(2^x+12^2=y^2-3^2\)

<=> \(2^x+153=y^2\)

Với x < 0 => \(2^x\notin Z\)=> \(2^x+153\notin Z\)=> \(y^2\notin Z\)=> \(y\notin Z\)

Với x = 0 => 154 = y^2 ( loại )

Với x > 0

TH1: x = 2k + 1  ( k là số tự nhiên )

Ta có: \(2^{2k+1}+153=y^2\)

VT\(=4^k.2+153\): 3 dư 2

=> \(VP=y^2:3\) dư 2 vô lí vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1

TH2: x = 2k ( k là số tự nhien )

Ta có: \(2^{2k}+153=y^2\)

<=> \(\left(y-2^k\right)\left(y+2^k\right)=153\)

=> \(153⋮y+2^k\Rightarrow y+2^k\in\left\{\pm1;\pm153;\pm3;\pm51;\pm9;\pm17\right\}\)

Em tự làm tiếp nhé.

A C B M N I

Qua I vẽ đường thẳng vuông góc với CI cắt AC. BC lần lượt tại M, N. Khi đó CM=CN, IM=IN.

Ta chứng minh được \(\widehat{AIB}=180-\widehat{BAI}-\widehat{ABI}=180-\frac{BAC}{2}-\frac{ABC}{2}=\frac{360-\left(ABC+BÃC\right)}{2}\)

\(=\frac{360-180+ACB}{2}=90+\frac{ACB}{2}\)

\(AMI=180-CMN=180-\frac{180-ACB}{2}=\frac{360-180+ACB}{2}=90+\frac{ACB}{2}\)

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(BNI=90+\frac{ACB}{2}\)

Từ đó suy ra: \(\Delta AIB\infty\Delta AMI\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AI}{AM}=\frac{AB}{AI}\Rightarrow AI^2=AB.AM\Rightarrow\frac{AI^2}{AB.AC}=\frac{AM}{AC}\) 

\(\Delta AIB\infty\Delta INB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{BI}{IN}=\frac{AB}{BN}\Rightarrow BI^2=AB.BN\Rightarrow\frac{BI^2}{AB.BC}=\frac{BN}{BC}\)

\(\Delta AMI\infty\Delta INB\Rightarrow\frac{AM}{IN}=\frac{IM}{BN}\Rightarrow AM.BN=IM.IN=IM^2\)

Áp dụng định lí Py- ta-go vào tam gác ICM ta có:

\(IM^2+CI^2=CM^2\Rightarrow BN.AM+CI^2=CM.CN\Rightarrow BN.AM+CN.AM+CI^2=CM.CN+CN.AM\)

\(\Rightarrow BC.AM+CI^2=CN.AC\Rightarrow BC.AM+CI^2+AC.BN=CN.AC+AC.BN\)

\(\Rightarrow BC.AM+BN.AC+CI^2=AC.BC\Rightarrow\frac{AM}{AC}+\frac{BN}{BC}+\frac{CI^2}{AC.BC}=1\)

\(\Rightarrow\frac{AI^2}{AB.AC}+\frac{BI^2}{BA.BC}+\frac{CI^2}{CA.CB}=1\)

\(\hept{\begin{cases}a^2+b^4+c^6+d^8=1\\a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}+d^{2019}=1\end{cases}}\)

=> \(0\le a^2;b^4;c^6;d^8\le1\)

=> \(-1\le a;b;c;d\le1\)

=> \(a^{2016}\le a^2\); \(b^{2017}\le b^4\); \(c^{2018}\le c^6\); \(d^8\le d^{2019}\)

=> \(a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}+d^{2019}\le a^2+b^4+c^6+d^8\)

Do đó: \(a^{2016}+b^{2017}+c^{2018}+d^{2019}=a^2+b^4+c^6+d^8=1\)

<=> \(a^{2016}=a^2;b^{2017}=b^4;c^{2018}=c^6;d^{2019}=d^8;a^2+b^4+c^6+d^8=1\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=0\\a=\pm1\end{cases}}\); ​\(\orbr{\begin{cases}b=0\\b=1\end{cases}}\); \(\orbr{\begin{cases}c=0\\c=\pm1\end{cases}}\); \(\orbr{\begin{cases}d=0\\d=1\end{cases}}\); \(a^2+b^4+c^6+d^8=1\)​

<=>  \(a=b=c=0;d=1\)hoặc \(a=b=d;c=\pm1\) hoặc \(a=c=d=0;b=1\)hoặc \(b=c=d=0;a=\pm1\).

Tại sao \(0\le a^2;b^4;c^6;d^8\le1\) Lại suy ra \(-1\le a;b;c;d\le1\)????????????????????????