TH1: n = 3k , k là số tự nhiên.

Có: \(A=a^{6k}+a^{3k}+1=\left(a^{6k}-1\right)+\left(a^{3k}-1\right)+3\)

\(=\left(a^{3k}-1\right)\left(a^{3k}+1\right)+\left(a^{3k}-1\right)+3=\left(a^{3k}-1\right)\left(a^{3k}+2\right)+3\)

lại có:  \(a^{3k}-1=\left(a^3\right)^k-1⋮a^3-1\) và \(a^3-1⋮a^2+a+1\)

=> \(a^{3k}-1⋮a^2+a+1\)

=> \(\left(a^{3k}-1\right)\left(a^{3k}+2\right)⋮a^2+a+1\)

 => \(A:a^2+a+1\) dư 3, với mọi a khác -2; -1; 0; 1.

TH2: n = 3k + 1, k là số tự nhiên.

Có: \(A=a^{6k+2}+a^{3k+1}+1=a^2\left(a^{6k}-1\right)+a\left(a^{3k}-1\right)+\left(a^2+a+1\right)\)

\(=a^2\left(a^{3k}-1\right)\left(a^{3k}+1\right)+a\left(a^{3k}-1\right)+\left(a^2+a+1\right)\)

\(=\left(a^{3k}-1\right)\left[a^2\left(a^{3k}+1\right)+a\right]+\left(a^2+a+1\right)⋮a^2+a+1\)

Vì \(a^{3k}-1⋮a^2+a+1;a^2+a+1⋮a^2+a+1\)

=> \(A⋮a^2+a+1\)

hay \(A:a^2+a+1\) dư 0

TH3: n = 3k +2, k là số tự nhiên

Có: \(A=a^{6k+4}+a^{3k+2}+1=a^4\left(a^{6k}-1\right)+a^2\left(a^{3k}-1\right)+\left(a^4+a^2+1\right)\)

\(=a^4\left(a^{3k}+1\right)\left(a^{3k}-1\right)+a^2\left(a^{3k}-1\right)+\left(a^4+2a^2+1\right)-a^2\)

\(=\left(a^{3k}-1\right)\left[a^4\left(a^{3k}+1\right)+a^2\right]+\left(a^2-a+1\right)\left(a^2+a+1\right)⋮a^2+a+1\)

=> \(A:a^2+a+1\) dư 0.

Kêt luận:  Với n là số tự nhiên  chia hết cho 3, a là số nguyên khác -2; -1 ; 0; 1  thì A chia cho a^2 +a +1 dư 3

                      n là số tự nhiên không chia hết cho 3, a là số nguyên bất kì thì A chia cho a^2 +a +a dư 0.

.

.

Xét \(\Delta MEP\)và \(\Delta INC\)có

\(\hept{\begin{cases}\widehat{EMP}=\widehat{NIC}\\\widehat{MEP}=\widehat{INC}=90^o\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\Delta MEP\approx\Delta NIC\)

\(\Rightarrow\frac{ME}{IN}=\frac{EP}{NC}\)

\(\Rightarrow ME.NC=IN.EP\left(1\right)\)

Tương tự ta có:

\(\Delta NEP\approx\Delta IMP\)

\(\Rightarrow\frac{NE}{IM}=\frac{EP}{MB}\)

\(\Rightarrow NE.MB=IM.EP=IN.EP\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(ME.NC=NE.MB\)

\(\Rightarrow\frac{ME}{NE}=\frac{MB}{NC}\)

Mà ta có: \(\widehat{BME}=\widehat{CNE}\)

\(\Rightarrow\Delta BME\approx\Delta CNE\)

\(\Rightarrow\widehat{MEB}=\widehat{NEC}\)

\(\Rightarrow\widehat{BEP}=\widehat{CEP}\)

\(\Rightarrow EP\)là phân giác \(\widehat{BEC}\)

Bạn alibaba nguyễn nhầm phần tam giác đồng dạng rồi, tam giac NEP đồng dạng IMB mới đúng chứ

Sửa đề:

\(\hept{\begin{cases}3x+10\sqrt{xy}-y=12\left(1\right)\\4x+\frac{24\left(x^3+y^3\right)}{x^2+xy+y^2}-4\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge12\left(2\right)\end{cases}}\)

Điều kiện: \(xy\ge0\)

Xét \(x,y\le0\)

\(4x+\frac{24\left(x^3+y^3\right)}{x^2+xy+y^2}-4\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge0\)(loại)

Xét \(x,y\ge0\)

\(\left(2\right)-\left(1\right)\Leftrightarrow\left(x+y\right)+\frac{24\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)}{x^2+xy+y^2}-4\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}-10\sqrt{xy}\ge0\)

Ta có: 

\(VT\le\left(x+y\right)+8\left(x+y\right)-4\left(x+y\right)-5\left(x+y\right)=0\)

\(\Rightarrow x=y\)

Làm tiếp

Câu trên sai rồi nha đọc cái này nè.
\(\hept{\begin{cases}3x+10\sqrt{xy}-y=12\left(1\right)\\x+\frac{6\left(x^3+y^3\right)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\le3\left(2\right)\end{cases}}\)

Điều kiện: \(xy\ge0\)

Xét \(x,y\le0\)

\(x+\frac{6\left(x^3+y^3\right)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\le3\)(đúng)

Xét \(x,y\ge0\)

Ta có:

\(x+\frac{6\left(x^3+y^3\right)}{x^2+xy+y^2}-\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+\frac{4\left(x^3+y^3\right)}{x^2+y^2}-\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\)

\(\ge x+2\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}-\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=x+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}\ge x+x+y=2x+y\)

\(\Rightarrow3\ge2x+y\left(3\right)\)

Ta có:

\(3x+10\sqrt{xy}-y=12\)

\(VT\le3x+5\left(x+y\right)-y=8x+4y\)

\(\Rightarrow12\le8x+4y\)

\(\Leftrightarrow3\le2x+y\left(4\right)\)
Từ (3) và (4) \(\Rightarrow x=y\)

Làm nốt

VÁO KÊTF BẠN ĐI

😁 😀 😀 😀

Trả lời : 

Coi tổng độ dài 2 cạnh là 5 phần thì hiệu độ dài là 1 phần như thế .

Chiều dài hình chữ nhật đó bằng :

                                     (  5 + 1 ) : 2 = 3 ( phần )

Chiều rộng hình chữ nhật đó bằng :

                                    5 - 3 = 2 ( phần )

Diện tích hình chữ nhật đó bằng ;

                                      3 x 2 = 6 ( phần )

Gi sử ta chia hình chữ nhật thành 6 hinh vuông .

Diện tích mỗi hình là :

                       600 : 6 = 100 ( m²⁾

Vì 100 = 10 x 10 nên cạnh hình vuông bằng 10 m.

Chiều dài hình chữ nhật là :

                   10 x 3 = 30 ( m )

Chiều rộng hình chữ nhật là :

             10 x 2 = 20 ( m )

Chu vi hình chữ nhật đó là :

              ( 30 + 20 ) x 2 = 100 ( m² )

           Đ/S: Chu vi : 100 m ²

Chu vi=100m

Chúc bạn học tốt !!

Trả lời : 

Sau khi ba bạn cho lẫn nhau thì mỗi bạn có : 

           24 : 3 = 8 ( quyển )

Sau khi Bình cho Kiên số vở bằng số vở Kiên hiện có là 8 quyển , như vậy Bình đã cho Kiên : 

           8 : 2  = 4 ( quyển )

Số vở của Kiên còn lại sau khi cho Hòa là :

            8 : 2   = 4 ( quyển )

Số vở của Bình sau khi nhận của Hòa  là : 

              8 + 4 = 12 ( quyển )

Sau khi Hòa cho Bình số vở Hòa hiện có thì Bình có 12 quyển như vậy Hòa đã cho Bình : 

              12 : 2  = 6 ( quyển )

Số vở của Hòa sau khi nhận từ Kiên là : 

               8 + 6   = 14 ( quyển )

Sau khi Kiên cho Hòa số vở hiện có là 14 như vậy Kiên đã cho Hòa : 

                14 : 2  = 7 

Số vở của Kiên lúc đầu là : 

                 4 + 7   =  11 ( quyển )

Số vở của  Hòa lúc đầu là : 

            14  - 7     =  7 ( quyển )

Số vở của  Bình lúc đầu là : 

               12   -   6   =  6 ( quyển )

Như vậy : Số vở lúc đầu của Kiên là : 11 quyển 

                 Số vở lúc đầu của Hòa là :  7 quyển 

                 Số vở lúc đầu của Bình là : 6 quyển 

Tk mk nha ####

Gọi số đội viên của liên đội đó là a \(\left(a\inℕ^∗\right)\)

Theo bài ra ta có 

a : 10 dư 6

a : 14 dư 6          \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-6⋮10\\a-6⋮14\\a-6⋮15\end{cases}\Rightarrow}a-6\in BC\left(10;14;15\right)\)

a : 15 dư 6

Ta có : 10 = 2.5

            14 = 2.7

             15 = 3.5

=> BCNN(10 ; 15 ; 14) = 2.3.5.7 = 210 

mà BC(10;15;14) = B(210) = {0 ; 210 ; 420 ; ....}

mà 193 < a < 345

=> 187 < a - 6 < 339

=> a - 6 = 210

=> a = 216

Vậy  số đội viên của liên đội đó là 216 em

Gọi số đội viên của liên đội là a(a  N*)

Ta có: a : 10 dư 6

=> a-6:10 (1)

a : 14 dư 6

=> a-6:14 (2)

a : 15 dư 6

=> a-6:15 (3)

Từ (1),(2),(3) =>a-6  BC(10,14,15) và 193 ≤ a  ≤ 345

10=2.5

14=2.7

15=3.5

BCNN(10,14,15)=2.3.5.7=210

=> BCNN(10,14,15)=B(210)={0;210;420;...} 

Mà 193  ≤ a  ≤ 345 nên a = 210.

Vậy số đội viên của liên đội là 210.

O B A M D N I

a) Ta thấy ngay \(\Delta MAO=\Delta DBO\)  (Cạnh góc vuông và góc nhọn kề)

\(\Rightarrow MO=DO\)

Xét tam giác MNP có NO là đường cao đồng thời trung tuyến nên tam giác MNP cân tại N.

b) Do tam giác MNP cân tại N nên NO cũng đồng thời là phân giác.

Vậy thì \(\Delta ION=\Delta BON\) (Cạnh huyền góc nhọn)

\(\Rightarrow OI=OB=R\)

Lại có \(OI\perp MN\Rightarrow\) MN vuông góc OI tại I hay MN là tiếp tuyến của (O)

c) Ta thấy ngay \(AM.BN=MI.IN\)

Xét tam giác vuông MON có OI là đường cao nên \(MI.IN=OI^2=R^2\)

\(\Rightarrow AM.BN=R^2\)

d) Do AM và BN cùng vuông góc với AB nên ANNB là hình thang vuông

 \(S_{AMNB}=\frac{\left(AM+NB\right).AB}{2}=\frac{\left(MI+IN\right).AB}{2}=\frac{MN.AB}{2}\)

Do AB không đổi nên diện tích hình thang vuông AMNB nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất.

MN là đường xiên nên nó nhỏ nhất khi là đường vuông góc, nói cách khác là tứ giác AMNB là hình chữ nhật.

Khi đó AM = OI = R.

Vậy khi M cách O một khoảng bằng R thì diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất.

Áp dụng dãy tí số bằng nhau ta có: 

\(\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{z+x+1}=\frac{z}{x+y-z}=\frac{x+y+z}{2x+2y+z+2}\)

=> \(\frac{x+y+z}{2x+2y+z+2}=x+y+z\)

=> \(2x+2y+z+2=1\)(1)

=> \(\hept{\begin{cases}y+z+1=-y-2x\\x+z+1=-x-2y\end{cases}}\)

=> \(\frac{x}{-y-2x}=\frac{y}{-x-2y}=\frac{x+y}{-3x-3y}=-\frac{1}{3}\)

=> \(3x=y+2x\Rightarrow x=y\)

Thế vào (1) => \(z=-1-4x\)

KHi đó ta có:

\(x+y+z=2x+z=-\frac{1}{3}\)

=> \(2x-1-4x=-\frac{1}{3}\)=> \(x=-\frac{1}{3}\)=> y = -1/3 => z =-1-4.(-1/3) =1/3

30 A C B D F E F' E'

Từ D Hạ đường cao DF' , DE' lần lượt lên AB; AC

=> Có: \(DE'\le DE;DF'\le DF\) với mọi vị trí D, E, F

=> \(S_{DEF}\le S_{DE'F'}\)

"=" xảy ra <=> E trùng E'; F trùng F'

AE'F'D là hình chữ nhật ( tự chứng minh )

Đặt: AF' = x; AE'=y

Có: \(AB=a;BC=2a=2.AB\)=> \(\Delta\)ABC vuông tại A có: \(\widehat{ACB}=30^o\)=> \(AC=a\sqrt{3}\)

=> \(BF'=a-x\); \(CE'=a\sqrt{3}-y\)

Dễ thấy:  \(\Delta BF'D\approx\Delta DE'C\approx\Delta BAC\)

=> \(BD=2.\left(a-x\right)\); \(DC=\frac{\left(a\sqrt{3}-y\right)}{\sqrt{3}}.2\)

mà BD +DC =BC =2a

=> \(2\left(a-x\right)+\left(a-\frac{y}{\sqrt{3}}\right).2=2a\)

=> \(x+\frac{y}{\sqrt{3}}=a\)

Có diện tích DEF nhỏ nhất <=> D'E'F' nhỏ nhất <=> E'F' nhỏ nhất

=> \(E'F'^2=x^2+y^2=\frac{3}{4}\left(1^2+\frac{1}{3}\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{3}{4}\left(x+\frac{y}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{3}{4}.a^2=\frac{3}{4}a^2\)

=> \(E'F'\ge\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=y\sqrt{3}\\x+\frac{y}{\sqrt{3}}=a\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}a\\y=\frac{\sqrt{3}}{4}a\end{cases}}\)

=> Vậy vị trí : E cách A khoảng \(\frac{\sqrt{3}}{4}a\); F cách A khoảng \(\frac{3}{4}a\); D cách B khoảng \(2\left(a-\frac{3}{4}a\right)=\frac{a}{2}\)

=> \(S_{\Delta DEF}=\frac{1}{2}DE.DF=\frac{1}{2}AE.AF=\frac{1}{2}x.y=\frac{1}{2}.\frac{3a}{4}.\frac{\sqrt{3}a}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{32}a^2\)

kết bạn