Áp dụng dãy tí số bằng nhau ta có: 

\(\frac{x}{y+z+1}=\frac{y}{z+x+1}=\frac{z}{x+y-z}=\frac{x+y+z}{2x+2y+z+2}\)

=> \(\frac{x+y+z}{2x+2y+z+2}=x+y+z\)

=> \(2x+2y+z+2=1\)(1)

=> \(\hept{\begin{cases}y+z+1=-y-2x\\x+z+1=-x-2y\end{cases}}\)

=> \(\frac{x}{-y-2x}=\frac{y}{-x-2y}=\frac{x+y}{-3x-3y}=-\frac{1}{3}\)

=> \(3x=y+2x\Rightarrow x=y\)

Thế vào (1) => \(z=-1-4x\)

KHi đó ta có:

\(x+y+z=2x+z=-\frac{1}{3}\)

=> \(2x-1-4x=-\frac{1}{3}\)=> \(x=-\frac{1}{3}\)=> y = -1/3 => z =-1-4.(-1/3) =1/3

30 A C B D F E F' E'

Từ D Hạ đường cao DF' , DE' lần lượt lên AB; AC

=> Có: \(DE'\le DE;DF'\le DF\) với mọi vị trí D, E, F

=> \(S_{DEF}\le S_{DE'F'}\)

"=" xảy ra <=> E trùng E'; F trùng F'

AE'F'D là hình chữ nhật ( tự chứng minh )

Đặt: AF' = x; AE'=y

Có: \(AB=a;BC=2a=2.AB\)=> \(\Delta\)ABC vuông tại A có: \(\widehat{ACB}=30^o\)=> \(AC=a\sqrt{3}\)

=> \(BF'=a-x\); \(CE'=a\sqrt{3}-y\)

Dễ thấy:  \(\Delta BF'D\approx\Delta DE'C\approx\Delta BAC\)

=> \(BD=2.\left(a-x\right)\); \(DC=\frac{\left(a\sqrt{3}-y\right)}{\sqrt{3}}.2\)

mà BD +DC =BC =2a

=> \(2\left(a-x\right)+\left(a-\frac{y}{\sqrt{3}}\right).2=2a\)

=> \(x+\frac{y}{\sqrt{3}}=a\)

Có diện tích DEF nhỏ nhất <=> D'E'F' nhỏ nhất <=> E'F' nhỏ nhất

=> \(E'F'^2=x^2+y^2=\frac{3}{4}\left(1^2+\frac{1}{3}\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\frac{3}{4}\left(x+\frac{y}{\sqrt{3}}\right)^2=\frac{3}{4}.a^2=\frac{3}{4}a^2\)

=> \(E'F'\ge\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x=y\sqrt{3}\\x+\frac{y}{\sqrt{3}}=a\end{cases}}\)<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{4}a\\y=\frac{\sqrt{3}}{4}a\end{cases}}\)

=> Vậy vị trí : E cách A khoảng \(\frac{\sqrt{3}}{4}a\); F cách A khoảng \(\frac{3}{4}a\); D cách B khoảng \(2\left(a-\frac{3}{4}a\right)=\frac{a}{2}\)

=> \(S_{\Delta DEF}=\frac{1}{2}DE.DF=\frac{1}{2}AE.AF=\frac{1}{2}x.y=\frac{1}{2}.\frac{3a}{4}.\frac{\sqrt{3}a}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{32}a^2\)

kết bạn

Có: \(\Delta=p^2+4>0\), mọi p 

=> phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt .

Áp dụng định lí Viet ta có:

\(x_1+x_2=-p\)

\(x_1.x_2=-1\)

Ta cần chứng minh với  n là số tự nhiên:  \(S_{n+2}=-pS_{n+1}+S_n\)  (1)

+)  Với  \(S_0=x_1^o+x_2^o=2\);\(S_1=-p\)

 \(S_2=x_1^2+x_2^2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=p^2+2=-pS_1+S_2\)

=>(1)  đúng với  n = 0.

+) G/s : (1) đúng với  n

+) Chứng minh (1) đúng  (1) đúng với n +1

Ta có: \(S_{n+1}=x_1^{n+1}+x_2^{n+1}=\left(x_1^n+x_2^n\right)\left(x_1+x_2\right)-x_1x_2\left(x_1^{n-1}+x_1^{n-2}\right)\)

\(=-pS_n+S_{n-1}\)

=> (1) đúng với n +1

Vậy với mọi số tự nhiên n: \(S_{n+2}=-pS_{n+1}+S_n\)(1)

G/s: \(\left(S_n;S_{n+1}\right)=d\)

=> \(\hept{\begin{cases}S_{n+1}=-pS_n+S_{n-1}⋮d\\S_n⋮d\end{cases}}\Rightarrow S_{n-1}⋮d\)

=> \(\hept{\begin{cases}S_n=-pS_{n-1}+S_{n-2}⋮d\\S_{n-1}⋮d\end{cases}}\Rightarrow S_{n-2}⋮d\)

.....

Cứ tiếp tự như vậy 

=> \(S_0⋮d;S_1⋮d\)

=> \(\hept{\begin{cases}2⋮d\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm2\right\}\\-p⋮d\Rightarrow d\in\left\{\pm1;\pm p\right\}\end{cases}}\)

Mà p là số lẻ 

=> d =1

=> \(S_n;S_{n-1}\)là hai số nguyên tố cùng nhau.

có ˆAME=ˆEHBAME^=EHB^ ( do MEHB nội tiếp)

ˆEHB=ˆENCEHB^=ENC^ ( HENC nội tiếp)

⇒ˆAME=ˆENC⇒AME^=ENC^

Vậy AMEN nội tiếp

Ta có M, N là trung điểm AB, AC nên MN song song BC nên

ˆNMH=ˆMHBNMH^=MHB^  ( MN song song BC)

ˆMHB=ˆMBHMHB^=MBH^ ( tam giác BMH cân ở M)

nênˆMBHˆNMHMBH^NMH^

mà ˆMBHMBH^ bằng nữa số đo cung MH nên $\widehat{NMH} bằng nữa số đo cung MH

vậy $\widehat{NMH} là góc tạo bởi tiếp tuyến bởi dây cung. suy ra MN là tiếp tuyến của (MBH)

Tương tự MN là tiếp tuyến của (NHC)

Gọi K là giao điểm của EH và MN

Ta có MK2=KE.KHMK2=KE.KH

NK2=KE.KHNK2=KE.KH

suy ra MK=KN. có nghĩa là HE đi qua trung điểm MN

chịu ????????????????

Số tự nhiên là A, ta có: 
A = 7m + 5 
A = 13n + 4 
=> 
A + 9 = 7m + 14 = 7(m + 2) 
A + 9 = 13n + 13 = 13(n+1) 
vậy A + 9 là bội số chung của 7 và 13 => A + 9 = k.7.13 = 91k 
=> A = 91k - 9 = 91(k-1) + 82 
vậy A chia cho 91 dư -9 (hoặc 82)

so do co dang:7a+5=13b+4⁽¹⁾<=>7a=13b-1=7b+6b-1=>6b-1 chia het cho 7=>6b-1+7 chia het cho 7

=>6b+6 chia het cho 7=>6.(b+1) chia het cho 7 ma UCLN(6;7)=1=>b+1 chia het cho 7=>b=7k+6

Thay b vao (1),ta duoc:13.(7k+6)+4=91k+78=>so do chia 91 du 78

LƯU Ý

Các bạn học sinh KHÔNG ĐƯỢC đăng các câu hỏi không liên quan đến Toán, hoặc các bài toán linh tinh gây nhiễu diễn đàn. Online Math có thể áp dụng các biện pháp như trừ điểm, thậm chí khóa vĩnh viễn tài khoản của bạn nếu vi phạm nội quy nhiều lần.

Chuyên mục Giúp tôi giải toán dành cho những bạn gặp bài toán khó hoặc có bài toán hay muốn chia sẻ. Bởi vậy các bạn học sinh chú ý không nên gửi bài linh tinh, không được có các hành vi nhằm gian lận điểm hỏi đáp như tạo câu hỏi và tự trả lời rồi chọn đúng.

Mỗi thành viên được gửi tối đa 5 câu hỏi trong 1 ngày

Các câu hỏi không liên quan đến toán lớp 1 - 9 các bạn có thể gửi lên trang web h.vn để được giải đáp tốt hơn.

PHải là k chứ

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\sqrt{2}+1\\y=\sqrt{2}-1\end{cases}}\)

=> \(\hept{\begin{cases}xy=1\\x+y=2\sqrt{2}\end{cases}}\)

Ta có \(S_{2009}.S_{2010}=\left(x^{2009}+y^{2009}\right)\left(x^{2010}+y^{2010}\right)=\left(x^{4019}+y^{4019}\right)+\left(xy\right)^{2009}\left(x+y\right)\)

\(=S_{4019}+2\sqrt{2}\)

=> \(S_{2009}.S_{2010}-S_{4019}=2\sqrt{2}\)(dpcm)

Ta có ababab = 10101 x ab mà 10101 chia hết cho 1443 (10101=1443x70) nên 1443 là ước của số có dạng ababab.

Vì abba là bội của 11 nên abba chia hết cho 11
Theo công thức:(a+b)-(b+a)=0
Mà 0 chia hết cho 11
Vậy...
học tốt

Đặt \(\sqrt{x^2+1}=t-x\)

\(\Leftrightarrow x^2+1=t^2-2tx+x^2\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{t^2-1}{2t}\)

\(\Rightarrow\left(2\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)+1\right)t+\frac{16\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)+153}{16\left(\frac{t^2-1}{2t}\right)-45}=0\)

\(\Leftrightarrow8t^4-37t^3-53t^2+190t=0\)

\(\Leftrightarrow t\left(t-2\right)\left(8t+19\right)\left(t-5\right)=0\)

Làm nốt

SORRY BÀI NÀY KO VIẾT ĐC RÕ THÔNG CẢM VÌ MÁY KO VIẾT ĐC

Việc nhận thấy  3/4 và 12/5 là nghiệm của phương trình sẽ giúp ta tìm ra nhân tử (4x−3)(5x−12)(4x−3)(5x−12). 

Phương trình được viết lại

(2x−1)(16x−45)+(16x+153)(√x2+1−x)=0.(2x−1)(16x−45)+(16x+153)(x2+1−x)=0.

Nhận xét:  ``Tuyến tính hóa'' √x2+1−xx2+1−x bằng hai điểm 3434 và 125125, ta thu được phương trình √x2+1−x=−2x+711x2+1−x=−2x+711 nhận 3434 và 125125 làm hai nghiệm. Từ các này, ta có phân tích sau:

Phương trình trên tương đương

[(2x−1)(16x−45)+(16x+153)(−2x+711)]+(16x+153)(√x2+1−x−−2x+711)=0.[(2x−1)(16x−45)+(16x+153)(−2x+711)]+(16x+153)(x2+1−x−−2x+711)=0.

⇔8(4x−3)(5x−12)11+(16x+153)((4x−3)(5x−12))11(11√x2+1+9x+7)=0.⇔8(4x−3)(5x−12)11+(16x+153)((4x−3)(5x−12))11(11x2+1+9x+7)=0.

⇔(4x−3)(5x−12)(8+16x+15311√x2+1+9x+7)=0.⇔(4x−3)(5x−12)(8+16x+15311x2+1+9x+7)=0.

Nhận xét: 

8+16x+15311√x2+1+9x+7=88√x2+1+88x+20911√x2+1+9x+7>0∀x∈R.8+16x+15311x2+1+9x+7=88x2+1+88x+20911x2+1+9x+7>0∀x∈R.

Do đó phương trình ban đầu chỉ có hai nghiệm là 3434 và 125125.

A = \(\sqrt{1+2014^2+\frac{2014^2}{2015^2}}\)+ 2014/2015

= \(\sqrt{\frac{2015^2+2014^2.2015^2+2014^2}{2015^2}}\)+ 2014/2015

=\(\frac{\sqrt{2015^2+2014^2.2015^2+2014^2}}{2015}\)+ 2014/2015

Xét 2015^2 + 2014^2.2015^2 + 2014^2

= 2014.2015 + 2015 + 2014^2.2015^2 + 2014.2015 - 2014

= 2014^2.2015^2 + 2.2014.2015 + 1 = (2014.2015 + 1)^2

=> A = \(\frac{2014.2015+1}{2015}\)+ 2014/2015 = \(\frac{2014.2015+2015+1}{2015}\)

 = \(\frac{2014.2016+1}{2015}\) = \(\frac{2015^2-1+1}{2015}\)= 2015 là số tự nhiên 

=> ĐPCM

\(A=\sqrt{\left(2014+1\right)^2-2.2014.1+\frac{2014^2}{2015^2}}+\frac{2014}{2015}\)

\(=\sqrt{2015^2-2.2015.\frac{2014}{2015}+\frac{2014^2}{2015^2}}+\frac{2014}{2015}\)

\(=\sqrt{\left(2015-\frac{2014}{2015}\right)^2}+\frac{2014}{2015}\)

\(=\left|2015-\frac{2014}{2015}\right|+\frac{2014}{2015}\)

\(=2015-\frac{2014}{2015}+\frac{2014}{2015}=2015\)

vậy A là số tự nhiên

Ta có \(x^4+x^2+1=\left(x^2+1\right)^2-x^2=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)\)

Số dư của phép chia đa thức f(x) cho x⁴ + x² + 1 là đa thức có bậc thấp hơn, tức là \(ax^3+bx^2+cx+d\)

Ta có \(f\left(x\right)=\left(x^4+x^2+1\right)g\left(x\right)+ax^3+bx^2+cx+d\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2-x+1\right)g\left(x\right)+\left(x^2+x+1\right)\left(ax+b-a\right)+\left(c-b\right)x+d+a-b\)

\(=\left(x^2+x+1\right)\left[\left(x^2-x+1\right)g\left(x\right)+ax+b-a\right]+\left(c-b\right)x+d+a-b\)

Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c-b=-1\\d+a-b=1\end{cases}}\)

Ta cũng có:

\(f\left(x\right)=\left(x^4+x^2+1\right)g\left(x\right)+ax^3+bx^2+cx+d\)

\(=\left(x^2-x+1\right)\left(x^2+x+1\right)g\left(x\right)+\left(x^2-x+1\right)\left(ax+b+a\right)+\left(c+b\right)x+d-a-b\)

Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c+b=3\\d-a-b=5\end{cases}}\)

Từ (1) và (2) ta có: \(\hept{\begin{cases}c-b=-1\\c+b=3\end{cases}}\)  và \(\hept{\begin{cases}d-b+a=1\\d-b-a=5\end{cases}}\)

Vậy nên \(\hept{\begin{cases}c=1\\b=2\end{cases}}\) và \(\hept{\begin{cases}d-b=3\\a=-2\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}d=5\\a=-2\end{cases}}}\)

Vậy thì đa thức dư cần tìm là -2x³ + 2x² + x + 5

Phần (c-b)x sai phải là (c-b+a-ax)x