Gọi x là số trang của quyển sách. Tìm x để số chữ số trong dãy 1;2;3;..; x gấp 3 lần x

- Từ 1 đến 9 có 9 chữ số nên mỗi số bù thêm 2 chữ số nữa thì số chữ số sẽ gấp 3 lần số số hạng => bù thêm 18 chữ số 

- Từ 10 đến 99 có 90 số có 2 chữ số nên bù thêm 1 chữ số vào mỗi số thì số chữ số sẽ gấp 3 lần số số hạng => bù thêm 90 chữ số

- từ 100 đến 999 có số chữ số gấp 3 lần số số hạng 

- Từ số 1000 trở đi, mỗi số thừa  1 chữ số nên cần bớt đi ở mỗi số 1 chữ số

Để số chữ số của dãy gấp 3 lần số số hạng thì số chữ số bù thêm = số chữ số bớt đi

Số chữ số bù thêm là : 18 + 90 = 108 = số chữ số bớt

=> x = 1107 

Vậy quyển sách có 1107 trang

quyen sach co 1107 trang

Đặt \(\frac{5-\sqrt{21}}{2}=a;\frac{5+\sqrt{21}}{2}=b>0\) thì \(ab=1\)

*Chứng minh a_n là số tự nhiên.

Với n = 0, 1 nó đúng. Giả sử nó đúng đến n = k tức là ta có:

\(\hept{\begin{cases}a^{k-1}+b^{k-1}\inℤ\\a^k+b^k\inℤ\end{cases}}\). Ta cần chưng minh nó đúng với n =  k + 1 hay:

\(a^k.a+b^k.b=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-ab\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\)

\(=\left(a^k+b^k\right)\left(a+b\right)-\left(b^{k-1}+a^{k-1}\right)\inℤ\) (em tắt tí nhá, dựa vào giả thiết quy nạp thôi)

Vậy ta có đpcm. 

Còn lại em chưa nghĩ ra

Cái bài ban nãy sửa a, b thành x và y nha! Không thôi nó trùng với đề bài. Tại quen tay nên em đánh luôn a, b

Không mất tính tổng quát.

g/s : \(x\ge y\ge z\)\(\ge1\)

Theo bài ra ta có: \(\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)⋮xyz\)

=> \(\left(xy^2z+yz+xy+1\right)\left(zx+1\right)⋮xyz\)

=> tồn tại số nguyên dương k sao cho:  \(xy+yz+zx+1=k.xyz\)

=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=k\)

=> \(k\le1+1+1+1=4\)(1)

TH1: k = 4  khi đó dấu "=" của bất đẳng thức (1) xảy ra khi và chỉ khi x=y=z=1 (  tm)

TH2: k=3

=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=3\)

=>\(3\le\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z^3}\)

=> \(3\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1 

=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=2\)

=> \(2\le\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}=\frac{2}{y}+\frac{1}{y^2}\)=> y=1

Với z=1; y=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=1\Rightarrow x=2\)

Vậy x=2, y=z=1 ( thử vào thỏa mãn)

TH3: k=2

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{zyx}=2\)

=> \(2\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1

=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=1\)

=> \(1\le\frac{2}{y}+\frac{1}{y^2}\)=> y=2 hoặc y=1

Với y=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=0\left(loai\right)\)

Với y=2 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}=\frac{1}{2}\Rightarrow x=3\)

Vậy x=3; y=2; z=1 ( thử vào thỏa mãn)

TH4: K=1

=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xyz}=1\)

=> \(1\le\frac{3}{z}+\frac{1}{z^3}\)=> z=1 hoặc z=2 hoặc z=3

Với z=1 => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{xy}=0\)loại

Với \(z=2\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{2xy}=\frac{1}{2}\)

=> \(\frac{1}{2}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{2y^2}\)=> y=1 (loại), y=2 (loại ); y=3 => x=7 ; y=4 => x= 9/2(loại); y>5 loại

Với z =3   => \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3xy}=1\)=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{3xy}=\frac{2}{3}\)

=> \(\frac{2}{3}\le\frac{2}{y}+\frac{1}{3y^2}\)=> y=1 ( loại ), y=2 => x=7 (tm) , y=3 => x=10/3 (loại); y>4 ( loại)

TH này x=7; y=2; z=1 ( thử vào ko thỏa mãn) hoặc x=7; y=3 ; z=1 ( thử vào ko thỏa mãn)

Vậy: (x; y; z)  là bộ ba số (1; 1; 1), (3; 2; 1); (2; 1;1 ) và các hoán vị của chúng

Ps: Cầu một cách ngắn gọn hơn! Thanks

+abc có 3 chữ số nên a,b,c < 7 (7! > 1000)
+a,b,c phải có ít nhất 1 số lớn hơn 4 ( vì 4! + 4! + 4! < 100)
=> 1 trong 3 số a, b, c = 5 hoặc 6.
+Nếu số đó bằng 6; 6! = 720 => a > 7 => loại.
=>Do đó chắc chắn có 1 số bằng 5.

(Do 5! + 5! + 5! < 500 nên a không phải là 5; 5 là b hoặc c.)

Giờ còn ít trường hợp hơn ban đầu nên ta có thể dùng cách thay số để tìm ra kết quả.

Tìm x;y  5! + x! + y! = số có 5;x;y (x;y) = (5;5); (5;4); (5;3); (5;2); (5;1) ; (4;4); (4;3); (4;2) (4;1) (3;3) (3;2) (3;1) (2;2) (2;1)

Ta tìm được 1! + 4! + 5! = 145

Vậy a = 1; b = 4; c = 5.

+abc có 3 chữ số nên a,b,c < 7 (7! > 1000)
+a,b,c phải có ít nhất 1 số lớn hơn 4 ( vì 4! + 4! + 4! < 100)
=> 1 trong 3 số a, b, c = 5 hoặc 6.
+Nếu số đó bằng 6; 6! = 720 => a > 7 => loại.
=>Do đó chắc chắn có 1 số bằng 5.

(Do 5! + 5! + 5! < 500 nên a không phải là 5; 5 là b hoặc c.)

Giờ còn ít trường hợp hơn ban đầu nên ta có thể dùng cách thay số để tìm ra kết quả.

Tìm x;y  5! + x! + y! = số có 5;x;y (x;y) = (5;5); (5;4); (5;3); (5;2); (5;1) ; (4;4); (4;3); (4;2) (4;1) (3;3) (3;2) (3;1) (2;2) (2;1)

Ta tìm được 1! + 4! + 5! = 145

Vậy a = 1; b = 4; c = 5

A B C I N M J P Q R K

Gọi AJ là đường trung tuyến của \(\Delta\)ABC. Đường thẳng qua N song song AB cắt BC tại P.

Đường thẳng qua C song song AB cắt đường thẳng qua M song song BC và AJ lần lượt tại Q,R.

Ta thấy \(\Delta\)MAN có đường cao AI đồng thời là đường phân giác nên \(\Delta\)MAN cân tại A

=> I cũng là trung điểm cạnh MN. Từ đó \(\Delta\)MBI = \(\Delta\)NPI (g.c.g) => NP = BM; ^INP = ^IMB

Mà NP // BM // CQ, BM = CQ nên NP // QC, NP = QC => Tứ giác NPQC là hình bình hành

Nếu ta gọi K là trung điểm PC thì N,K,Q thẳng hàng

Chú ý rằng \(\Delta\)NPC ~ \(\Delta\)ABC (g.g) với trung tuyến tương ứng NK,AJ => \(\Delta\)NPK ~ \(\Delta\)ABJ (c.g.c)

=> ^PNQ = ^PNK = ^BAJ. Kết hợp với ^INP = ^IMB (cmt) suy ra ^MNQ = ^INP + ^PNQ = ^BAJ + ^IMB (1)

Mặt khác: \(\Delta\)ABJ = \(\Delta\)RCJ (g.c.g) => AB = CR < AC => ^BAJ = ^CRJ > CAJ

Điều đó có nghĩa là ^BAJ > ^BAC/2 = ^BAI => ^BAJ + ^IMB > ^BAI + ^IMB = 90⁰  (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^MNQ > 90⁰ => MQ là cạnh lớn nhất trong \(\Delta\)QMN => MN < MQ = BC

Vậy MN < BC.

\(P=\frac{\left(2n^3+n^2\right)+\left(2n^2+n\right)-\left(2n+1\right)}{\left(2n^3+n^2\right)+\left(2n^2+n\right)+\left(2n+1\right)}\)

\(P=\frac{n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)-\left(2n+1\right)}{n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)+\left(2n+1\right)}\)

\(P=\frac{n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)-\left(2n+1\right)}{n^2\left(2n+1\right)+n\left(2n+1\right)+\left(2n+1\right)}\)

P không là tối giản vì cả tử và mẫu đều chia hết cho (2n +1)

ban thieu DKXD:N=/\(\frac{-1}{2}\)

TH1: M nằm giữa A và B

A B C D E F H M K P Q R N   

kẻ MQ_|_ DC tại Q

FN_|_DC tại N

EH_|_DC tại H

ta có E là trung điểm của BD; F là trung điểm của AC

=> EF là đuờng trung bình ứng với cạnh DC

=> EF//DC

ta có MQ_|_DC tại Q mà EF//DC

=> MQ_|_EF tại R

ta có: EH_|_DC

FN_|_DC 

MQ_|_DC

MK_|_DC

=> EH//FN//MQ//MK

ta có góc MFE= góc FKD(MK chung và EF//NK)

 xét 2 tam giác vuông MFR và FKN có:

FM=FK(gt)

 góc MFE= góc FKD(cmt)

=> tam giác FMR=tam giác FKN(CH-GN)

=> RF=NK(1)

ta có góc MEF=góc EHC( do MH chung và EF//DC)

xét 2 tam giác vuông MER và EHP có:

góc MEF= góc EHC(cmt)

ME=EH(gt)

=> tam giác MER= tamgiác EHP(CH-GN)

=> ER=HP(2)

ta có: EF//PN

EH//FN

=> EF=HN(3)

từ (1)(2)(3) =>

EF=HN

RF=NK

ER=HP

ta có : HK=HP+PN+NK=ER+RF+EF=EF+EF

=>HK=2EF

 TH2:M trùng A=> AC trùng MK=> C trùng K

M trùng A nên ME cũng trùng MH

A B C D E F H K M P

kẻ FP//EH ( P thuộc DC)

xét tam giác EAB và tam giác EHD có':

góc AEB= góc DEH(2 góc đối đỉnh)

ED=EB(gt)

góc  BAE= góc EHD( AB//CD)

=> tam giác EAB= tam giác EHD(g.c.g)

=> AE=EH=1/2AH

ta có: E là trung điểm của AH; F là trung điểm của AC

=> EF là đường trung bình của tam giác AHC

=> EF//DC

EH//FP

=>tứ giác EFPH là hình bình hành

=> EH=FP

xét tam giác AEF và tam giác FCPcó:

AF=FC(gt)

góc AFE= góc FCP(EF//DC)

EH=FP(cmt)

=> tam giác AEF= tam giác FCP(c.g.c)

=>EF=PC

mà EF=HP( do tứ giác EFPH là hình bình hành)

=> EF=HP=PK

ta có: HK=HP+PK=EF+EF=2EF

TH3:M trùng B=>BD trùng MH và BF trùng MK

A B C D E F M K H P

kẻ EP // FK

xét tam giác FBA và tam giác FKC có:

FA=FC(gt)

góc AFB= góc KFC( 2 góc đối đỉnh)

góc BAF= góc KCF( AB//CD)

=> tam giác FBA= tam giác FKC(g.c.g)

=> FB=FK

ta có E là trung điểm của BD ; F là trung điểm của BK

=> EF là đường trung bình của tam giác BDK

=> EF//PK

mà EP//FK

=> EF=PK và EP=FK

ta có: EF//DP

BF//EP

=> góc EBF= góc DEP

xét tam giác BEF và tam giác EDP có:

ED=EB(gt)

góc BEF= góc EDP(EF//DC)

góc DEP= góc EBF(cmt)

=> tam giác BEF= tam giác EDP(g.c.g)

=> DP=EF và bằng PK

ta có: HK=(hay DP)HP+PK=EF+EF

=> HK=2EF

từ 3 trường hợp nêu trên =>  nếu M nằm giữa AB, M trùng A hoặc M trùng B thì độ dài của HK vẫn không đổi và luôn bằng 2EF

vậy độ dài của HK không đổi và luôn bằng 2EF khi M di động trên AB

vì HK luôn bằng 2EF nên độ dài k đổi khi M di động trên AB

ĐK: x>= -1/3

Ta có: \(pt\Leftrightarrow2x\sqrt{x^2-x+1}+4\sqrt{3x+1}=2x^2+2x+6\)

<=> \(x^2-2x\sqrt{x^2-x+1}+\left(x^2-x+1\right)+\left(3x+1\right)-2.\sqrt{3x+1}.2+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\sqrt{x^2-x+1}\right)^2+\left(\sqrt{3x+1}-2\right)^2=0\)

Mà : \(\left(x-\sqrt{x^2-x+1}\right)^2\ge0;\left(\sqrt{3x+1}-2\right)^2\ge0\)

Khi đó: \(\left(x-\sqrt{x^2-x+1}\right)^2+\left(\sqrt{3x+1}-2\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: 

\(\hept{\begin{cases}\left(x-\sqrt{x^2-x+1}\right)^2=0\\\left(\sqrt{3x+1}-2\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x^2=x^2-x+1,x\ge0\\3x+1=4\end{cases}}\Leftrightarrow x=1\)tm đk

Vậy x=1

Ta có thể dùng cô si chăng?

ĐK: \(x\ge-\frac{1}{3}\)

\(VT=\sqrt{x^2\left(x^2-x+1\right)}+\sqrt{4\left(3x+1\right)}\)

\(\le\frac{x^2+x^2-x+1}{2}+\frac{4+3x+1}{2}=\frac{2x^2+2x+6}{2}=x^2+x+3=VP\)

Để đẳng thức xảy ra, tức là xảy ra đẳng thức ở phương trình thì:

\(\hept{\begin{cases}x^2=x^2-x+1\\4=3x+1\end{cases}}\Leftrightarrow x=1\)

Vậy...

Is it true??

+) Xét số trang được đánh số từ 1 đến 9

     Số trang là: 9-1+1 = 9 trang

    Số chữ là: 9 x 1 =9  chữ số

 +) Xét số trang được đánh số từ 10 đến 99

     Số trang là: 99-10 +1 =90 trang

     Số chữ là: 90 x 2= 180 chữ số

 +) Xét số trang được đánh số từ 1 đến 99

    Số trang là: 90+9 =99 trang

    Số chữ là: 180 +9 =189 chữ số

+) Xét số trang được đánh số từ 100 đến a ( với a là số  được đánh cuối cùng của trang)

    Số trang là: a-100+1

    Số chữ là: 3 x (a-100+1)

+) Xét số trang được đánh số từ 1 đến a.

    Số trang là : 99+ a-100+1

    Số chữ là : 189 +3 x ( a-100+1)

Mà số chữ nhiều gấp hai lần rưỡi số trang nghĩa là:

189 +3 x (a-100+1) =2,5. (99+a-100+1)

189+ 3x (a-100+1)=2,5.99+2,5.(a-100+1)

3x (a-100+1)-2,5 (a-100+1)= 2,5.99-189

(a-100+1)(3-2,5)=58,5

 (a-100+1).0,5 =58,5

a-100+1=58,5:0,5=117

a-100=117-1=116

a=116+100

a=216

Vậy quyển sách đó có: 216-1+1=216 số trang

80 trang

Ta có: 

\(S=3.2^0-3^1+3.2^1-3^2+3.2^2+3.2^3-3^3+3.2^4-3^4+...-3^7+3.2^{10}+3.2^{11}-3^8+3.2^{12}\)

\(=3.\left(2^0+2^1+2^2+2^3+2^4+...+2^{10}+2^{11}+2^{12}\right)-\left(3^1+3^2+3^3+...+3^7+3^8\right)\)

Đặt: \(A=2^0+2^1+2^2+...+2^{11}+2^{12}\)

=> \(2.A=2^1+2^2+2^3+...+2^{12}+2^{13}\)

=> \(2.A-A=2^{13}-2^0\)

\(\Rightarrow A=2^{13}-1=8191\)

Đặt: \(B=3^1+3^2+3^3+...+3^8\)

 \(\Rightarrow3.B=3^2+3^3+3^4+...+3^9\)

=> \(3B-B=3^9-3^1=19680\)

=> \(2B=19680\Rightarrow B=9840\)

=> S=3.A-B=3.8191-9840=14733