825, quá chuẩn ! 

Trong Violympic= 825m. Cần cách làm ko???

Ta có : 

\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\)

\(S=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)

\(S=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

Vì từ \(2\) đến \(n\) có \(n-2+1=n-1\) số \(1\) nên : 
\(S=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\) \(\left(1\right)\)

Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) ta lại có : 

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow\)\(S=n-1-A>n-1-1=n-2\) 

\(\Rightarrow\)\(S>n-2\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : 

\(n-2< S< n-1\)

Vì \(n>3\) nên \(S\) không là số tự nhiên 

Vậy \(S\) không là số tự nhiên 

Chúc bạn học tốt ~ 

Ta có \(\Delta=m^4-8m-8\)

Để pT có nghiệm nguyên

=> \(\Delta\)là số chính phương, \(\Delta\ge0\)

+ \(m=1\)=> \(\Delta=-15\)loại

+ \(m=2\)=> \(\Delta=-8\)loại

+ \(m=3\)=> \(\Delta=49\)

=> \(x=8;x=1\)nhận

+ m=4 => \(\Delta=216\)loại

+ \(m\ge5\)

=> \(2m^2-8m-9>0\)

=> \(\left(m^2-1\right)^2< m^4-8m-8\)

Mà \(-8m-8< 0\)với \(m\inℤ^+\)

=> \(\left(m^2-1\right)^2< m^4-8m-8< \left(m^2\right)^2\)

Lại có \(m^4-8m-8\)là số chính phương

=> không có giá trị nào của m thỏa mãn

Vậy m=3

Với n = 0 thì n²⁰⁰⁵ + 2005ⁿ + 2005n = 0²⁰⁰⁵ + 2005⁰ + 2005.0 = 1 + 1 + 0 = 2 không chia hết cho 3, loại.

Với n = 1 thì n²⁰⁰⁵ + 2005ⁿ  + 2005n = 1²⁰⁰⁵ + 2005¹ + 2005.1 = 1 + 2005 + 2005 = 4011 chia hết cho 3.

Với n > 1 thì đều ra trường hợp không chia hết cho 3.

             Vậy n = 1

vi 2005 chia cho 3 du 1 nen 2005ⁿ=3k+1

ta chia 3TH:

TH₁:n=3k

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=(3k+1+3k+3k) chia cho 3 du 1(loại)

TH₂:n=3k+1

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=3k+1+3k+1+3k+1=3(3k+1)chia het cho 3

TH₃:n=3k+2

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=3k+1+3k+2+3k+2=3.3k+5chia cho 3 du 1(loai)

vậy n có dang 3k+1 thi 2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n chia het cho 3

Cần các cao nhân giải khác phương pháp SS

Không làm theo cách đánh giá 3(a²b+b²c+c²a)\(\le\)(a+b+c)(a²+b²+c²)=3(a²+b²+c²)

Ai làm được xin cảm ơn trước

#)Giải :

Ta có : \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+ca^2\)

Áp dụng BĐT Cauchy :

\(\hept{\begin{cases}a^3+ab^2\ge2a^2b\\b^3+bc^2\ge2b^2c\\c^3+ca^2\ge2c^2a\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow P\ge a^2+b^2+c^2+\frac{9-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}\)

Đặt \(t=a^2+b^2+c^2\Rightarrow t\ge3\)

\(\Rightarrow P\ge t+\frac{9-t}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{9}{2t}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\ge3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4\)

\(\Rightarrow P\ge4\Rightarrow P_{min}=4\)

Dấu ''='' xảy ra khi a = b = c = 1

Điều kiện \(x\ne0\)

\(A=\sqrt{\frac{\left(x^2-3\right)^2+12x^2}{x^2}}+\sqrt{\left(x+2\right)^2-8x}\)

\(=\sqrt{\frac{x^4+6x^2+9}{x^2}}+\sqrt{x^2-4x+4}\)

\(=\left|\frac{x^2+3}{x}\right|+\left|x-2\right|\)

\(=\left|x+\frac{3}{x}\right|+\left|x-2\right|\)

Để A nguyên thì x phải là ước nguyên của 3 hay \(x=-3;-1;1;3\)

xin chào bạn

A B C D O H K I O' d

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành. Từ O hạ đường cao OO' vuông góc với d tại O'.

Ta có \(\hept{\begin{cases}OA=OC\\OO'\text{//}AH\end{cases}\Rightarrow}\) OO' là đường trung bình của tam giác AHC => AH = 2OO'                        (1)

Xét tứ giác BDKI có : \(\hept{\begin{cases}DK\text{//}OO'\text{//}BI\\OB=OD\end{cases}\Rightarrow}\) OO' là đường trung bình của hình thang BDKI

=> DK + BI = 2OO'                                                                                                                                (2)

Từ (1) và (2) suy ra AH = BI + DK.

Bạn sửa lại đề bài cho đúng nhé!

A B C D (d) H I K E F

Gọi F là giao điểm của AH và BC. Kẽ DF vuông góc với AH

Ta có \(\widehat{AEH}=\widehat{AHC}=\widehat{DKC}=90\)

\(\Rightarrow DEHK\)là hình chữ nhật

\(\Rightarrow HE=DK\left(1\right)\)

Ta có \(\widehat{DAF}=\widehat{AFB\:}\)(AD // BC)

\(\widehat{IBF}=\widehat{AFB\:}\)(BI // AH)

\(\Rightarrow\widehat{DAF}=\widehat{IBF}\)

\(\widehat{AFD}=\widehat{BIC}=90\)

AD = BC

\(\Rightarrow\Delta BIC=\Delta AED\)

\(\Rightarrow BI=AE\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => AE + HE = AH = BI + DK

PS: Phải là chứng minh AH = BI + DK mới đúng nha

Đặt abcd ta có ab-cd và k  N, 32 bé hơn hoặc bằng k < 100

Suy ra : 101cd = k² – 100 = (k – 10)(k + 10) =>k + 10chia hết 101 hoặc k – 10 chia hết101

Mà (k – 10; 101) = 1  => k + 10chia hết 101

Vì 32 bé hơn hoặc bằng k < 100 nên 42 bé hơn hoặc bằng k + 10 < 110 => k + 10 = 101 => k = 91

suy ra abcd= 91² = 8281

đặt k = gì ghi rõ ra đi

Ngoài http://olm.vn/hoi-dap/question/779981.html còn cách khác

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(9a^3+3a^2+c\right)\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow A\le\text{∑}\frac{a\left(\frac{1}{9a}+\frac{1}{3}+c\right)}{\left(a+b+c\right)^2}=\text{∑}\left(\frac{1}{9}+\frac{a}{3}+ac\right)\)

\(=\frac{1}{3}+\frac{a+b+c}{3}+\text{∑}ab\le\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)

a.b.c=1 thật hả. Rắc rối thế. Để nghĩ tiếp

A B C M N P O

Ta có : \(\frac{OM}{AM}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{ON}{BN}=\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}\) ; \(\frac{OP}{CP}=\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}=\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=1\)

Áp dụng bđt Bunhiacopxki, ta có : 

\(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}=\left(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\right).\left(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OP}{CP}\right)\ge\)

\(\ge\left(\sqrt{\frac{AM}{OM}.\frac{OM}{AM}}+\sqrt{\frac{BN}{ON}.\frac{ON}{BN}}+\sqrt{\frac{CP}{OP}.\frac{OP}{CP}}\right)^2=\left(1+1+1\right)^2=9\)

Vậy \(\frac{AM}{OM}+\frac{BN}{ON}+\frac{CP}{OP}\ge9\) (đpcm)

Neu đề bài trên kia là cho >_ 6 thì chứng minh thế nào