Cuối cùng cũng giải được câu này.

Ta có:

\(\hept{\begin{cases}x+2y=8y^2+\sqrt{1+x^2}\left(1\right)\\\sqrt{x^2-2x+4y+11}=1+\sqrt{x-4y+2}\left(2\right)\end{cases}}\)

Từ PT (1) ta có điều kiện là:

\(\hept{\begin{cases}1-x^2\ge0\\x+2y-8y^2\ge0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-1\le x\le1\\8y^2-2y\le x\le1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-1\le x\le1\\-\frac{1}{4}\le y\le\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Từ đây ta có: 

\(\hept{\begin{cases}1+\sqrt{x-4y+2}\le1+\sqrt{1+1+2}=3\\\sqrt{x^2-2x+4y+11}=\sqrt{\left(x-1\right)^2+4y+10}\ge\sqrt{0-1+10}=3\end{cases}}\)

Từ đây ta có ở PT thứ 2 thì \(\hept{\begin{cases}VT\ge3\\VP\le3\end{cases}}\)

Dấu = xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

Kiểm tra lại ta thấy nghiệm này thỏa mãn hệ

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là: \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=-\frac{1}{4}\end{cases}}\)

saos mas khos thes?

B C O A D d M K E N I H F P d'

1) Xét nửa đường tròn (O) đường kính BC có điểm N thuộc (O) => ^CNB = 90⁰

=> ^CNE = 180⁰ - ^CNB = 90⁰. Xét tứ giác CDNE có:

^CDE = ^CNE = 90⁰ => Tứ giác CDNE nội tiếp đường tròn (đpcm).

2) Ta có điểm M thuộc nửa đường tròn (O) đường kính BC => ^CMB = 90⁰

=> BM vuông góc CE. Xét \(\Delta\)BEC:

BM vuông góc CE; ED vuông góc BC; BM giao ED tại K => K là trực tâm \(\Delta\)BEC

=> CK vuông góc BE. Mà CN vuông góc BE (Do ^CNB = 90⁰) => 3 điểm C;K;N thẳng hàng (đpcm).

3) Gọi giao điểm của MN với DE là H. Lấy F là trung điểm của EH. BH cắt CF tại điểm P.

Xét tứ giác CMHD: ^CMH = ^CDH = 90⁰ => CMKD nội tiếp đường tròn => ^MCK = ^MDK (1)

Tương tự: ^NBK = ^NDK     (2)

Từ (1) & (2) => ^MDK = ^NDK hay ^MDH = ^FDN

Tương tự: ^DMB = ^NMB => ^DMH = 2.^DMB (3)

Dễ thấy tứ giác BDME nội tiếp đường tròn => ^DMB = ^BED (2 góc nt chắn cung BD)

Hay ^DMB = ^NEF. Xét \(\Delta\)ENH vuông tại N: H là trung điểm EH

=> \(\Delta\)NEF cân tại F. Do ^DFN là góc ngoài \(\Delta\)NEF => ^DFN = 2.^NEF

Mà ^DMB = ^NEF (cmt) => ^DFN = 2.^DMB (4)

Từ (3) & (4) => ^DMH = ^DFN. Xét \(\Delta\)DMH và \(\Delta\)DFN:

^DMH = ^DFN ; ^MDH = ^FDN (cmt) => \(\Delta\)DMH ~ \(\Delta\)DFN (g.g)

=> \(\frac{DM}{DF}=\frac{DH}{DN}\)=> \(DH.DF=DM.DN\)(5)

Dễ chứng minh \(\Delta\)CMD ~ \(\Delta\)NBD => \(\frac{DM}{DB}=\frac{DC}{DN}\Rightarrow DM.DN=DB.DC\)(6)

Từ (5) & (6) => \(DH.DF=DB.DC\)\(\Rightarrow\frac{DH}{DB}=\frac{DC}{DF}\)

\(\Rightarrow\Delta\)CDH ~ \(\Delta\)FDB (c.g.c) => ^DHC = ^DBF. Mà ^DHC + ^DCH = 90⁰

=> ^DBF + ^DCH = 90⁰ => CH vuông góc BF.

Xét \(\Delta\)CFB: FD vuông góc BC; CH vuôn góc BF; H thuộc FD => H là trực tâm \(\Delta\)CFB

=> BH vuông góc CF (tại P). Ta có nửa đg trong (O) đg kính BC và có ^CPB = 90⁰

=> P thuộc nửa đường tròn (O) => Tứ giác CMPB nội tiếp (O)

=> ^BMP = ^BCP (2 góc nt chắn cung BP) Hay ^HMP = ^DCP

Xét tứ giác CPHD: ^CPH = ^CDH = 90⁰ => ^DCP + ^DHP = 180⁰

=> ^HMP + ^DHP = 180⁰ hay ^HMP + ^KHP = 180⁰ => Tứ giác MPHK nội tiếp đg tròn

=> ^KMH = ^KPH (2 góc nt chắn cung KH) hay ^KMN = ^KPB.

Lại có tứ giác EMKN nội tiếp đg tròn => ^KMN = ^KEN => ^KMN = ^KEB

=> ^KPB = ^KEB => Tứ giác BKPE nội tiếp đg tròn. Mà 3 điểm B;K;E cùng thuộc (I)

=> Điểm P cũng thuộc đg tròn (I) => IP=IB => I thuộc trung trực của BP

Mặt khác: OP=OB => O cũng thuộc trung trực của BP => OI là trung trực của BP

=> OI vuông góc BP. Mà CF vuông góc BP (cmt) => OI // CF (7)

I nằm trên trung trực của EK và F là trung điểm EK => IF vuông góc EK => IF vuông góc d

OC vuông góc d => OC // IF (8)

Từ (7) & (8) => Tứ giác COIF là hình bình hành => IF = OC = R (bk của (O))

=> Độ dài của IF không đổi. Mà IF là khoảng cách từ I đến d (Do IF vuông góc d)

=> I nằm trên đường thẳng d' // d và cách d một khoảng bằng bán kính của nửa đường tròn (O)

Vậy điểm I luôn nằm trên d' cố định song song với d và cách d 1 khoảng = bk nửa đg tròn (O) khi M thay đổi.

Bổ sung a,b,c > 0 nhé

Đầu tiên, ta cm bđt phụ sau: \(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\) (với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác)

Do mỗi thừa số bên vế trái đpcm đều > 0 nên áp dụng Cosi được

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\)

\(=\sqrt{\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)}.\sqrt{\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)}.\sqrt{\left(c+a-b\right)\left(a+b-c\right)}\)

\(\le\frac{a+b-c+b+c-a}{2}.\frac{b+c-a+c+a-b}{2}.\frac{c+a-b+a+b-c}{2}\)

\(=\frac{2b}{2}.\frac{2c}{2}.\frac{2a}{2}=abc\)

Dấu "=" <=> a = b = c

Áp dụng bđt trên ta được

\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le abc\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c-2c\right)\left(a+b+c-2a\right)\left(a+b+c-2b\right)\le abc\)

\(\Leftrightarrow\left(2-2a\right)\left(2-2b\right)\left(2-2c\right)\le abc\)

\(\Leftrightarrow[4-4\left(a+b\right)+4ab]\left(2-2c\right)\le abc\)

\(\Leftrightarrow8-8\left(a+b+c\right)+8c\left(a+b+c\right)+8ab-8abc\le abc\) (phá ra)

\(\Leftrightarrow8-8\left(a+b+c\right)+8\left(ab+bc+ca\right)-9abc\le0\)

\(\Leftrightarrow9abc+8\left(a+b+c\right)-8\left(ab+bc+ca\right)-8\ge0\)

\(\Leftrightarrow9abc+8.2-8\left(ab+bc+ca\right)-8\ge0\)

\(\Leftrightarrow9abc+8-8\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{8}abc+1-\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+3-3\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+4-3\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+\left(a+b+c\right)^2-3\left(ab+bc+ca\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{8}abc+a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{4}abc+2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge2\)(Nhân cả 2 vế với 2)

\(\Leftrightarrow\frac{27}{4}abc+\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ge2\)(1)

Đến đây , ta có hằng đẳng thức sau : 

\(a^3+b^3+c^2-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)(Hđt này bạn tự c/m nhé)

Sử dụng hđt này ta được : 

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\frac{27}{4}abc+a^3+b^3+c^3-3abc\ge2\)

        \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\frac{15}{4}abc\ge2\)

        \(\Leftrightarrow4a^3+4b^3+4c^3+15abc\ge8\)

Dấu "=" <=> a = b = c = ²/₃

Cảm ơn bạn Incursion_03 nhé!

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=-\frac{a+b}{c\left(a+b+c\right)}\)

\(TH1:a+b=0\Rightarrow a=-b\)

Mà n lẻ nên \(a^n=-b^n\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{c^n}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{c^n}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)

\(TH2:a+b\ne0\Rightarrow ab=-c\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca+c^2=0\Rightarrow\left(a+c\right)\left(b+c\right)=0\)\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a=-c\\b=-c\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a^n=-c^n\\b^n=-c^n\end{cases}}\)(n lẻ)

\(\cdot a^n=-c^n\Rightarrow\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{b^n}\)    ;   \(\Rightarrow\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{b^n}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)

*\(b^n=-c^n\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n}\)    ;    \(\Rightarrow\frac{1}{a^n+b^n+c^n}=\frac{1}{a^n}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a^n}+\frac{1}{b^n}+\frac{1}{c^n}=\frac{1}{a^n+b^n+c^n}\)

Vậy suy ra đpcm

(mik ms lp 8 thôi nên nếu mà sai mong pn thông cảm)

Khôi Bùi chưa chắc đâu nha bạn, đầy người không biết ra...

Câu hỏi của saadaa - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo nhé!

Bài đó và bài này khác nhau mà cô Nguyễn Linh Chi ?

Ta có:

\(8x+8y+8z< 8x+9y+10z\)

\(\Rightarrow x+y+z< \frac{100}{8}< 13\)

\(\Rightarrow Gt\Leftrightarrow11< x+y+z< 13\)

Mà x+y+z nguyên dương \(\Rightarrow x+y+z=12\)

Ta có hệ: \(\hept{\begin{cases}x+y+z=12\left(1\right)\\8x+9y+10z=100\left(2\right)\end{cases}}\)

Nhân 2 vế của (1) với 8 ta đc:

\(\hept{\begin{cases}8x+8y+8z=96\left(3\right)\\8x+9y+10z=100\left(2\right)\end{cases}}\)

Trừ theo vế của (2) cho (3) ta đc:\(y+2z=4\left(4\right)\).

Từ \(\left(4\right)\Rightarrow z=1\)(vì nếu \(z\ge2\), thì do\(y\ge1\Rightarrow y+2z\ge4\),Mâu thuẫn)

Với \(z=1\Rightarrow y=2;x=9\)

Vậy...

Do các số x,y,zx,y,z nguyên dương nên
x+y+z>11 suy ra x+y+z≥12
Có
100=8(x+y+z)+(y+2z)≥96+(y+2z)
Suy ra 
4≥y+2z≥3
Tức là 
y+2z ∈ {3;4}
Theo đề bài thì 
8x+9y+10z=100
Số y là số chẵn .
Tức là y+2z cũng là số chẵn .
Suy ra 
y+2z=4 Hay y=2; z=1
Thế ngược lại vào 
8x+9y+10z=100 tìm được x=9
Vậy  (x,y,z)=(9,2,1)

Từ giả thiết : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow xy+yz+zx=xyz\)

Ta có : \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Vì hai vế luôn dương nên ta bình phương hai vế được : 

\(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\ge\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)

Xét \(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\)

\(=\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)\)

Xét \(\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)

\(=xyz+\left(x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

Suy ra : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\)

\(\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) (*)

Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : 

\(\sqrt{\left(x+yz\right)}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz.zx}=\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\) (1)

\(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\)(2)

\(\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)(3)

Cộng (1) , (2) và (3) theo vế ta được (*) đúng

Vậy bđt ban đầu được chứng minh.

chịu thua

ý c làm thế nào vậy bạn?

M O C B A E I H K D

a) Xét đường tròn (O) có tiếp tuyến MA, cát tuyến MBC => MA² = MB.MC (Hệ thức lượng đường tròn) (đpcm)

Xét \(\Delta\)MOA vuông tại A, đường cao AH => MA² = MH.MO (Hệ thức lượng tam giác vuông) (đpcm)

b) Từ câu a ta có: MB.MC = MH.MO (=AM²) => \(\Delta\)MBH ~ \(\Delta\)MOC (c.g.c) => ^MHB = ^MCO

=> Tứ giác BCOH nội tiếp đường tròn (đpcm).

c) Áp dụng ĐL Pytagore, ta có các đẳng thức về cạnh:

IK² = OI² - OK² = OI² - OA² = (OM - IM)² - OA² = OM² - 2.OM.IM + IM² - OA² = AM² - MH.MO + IM²

= AM² - AM² + IM² = IM² => IK = IM. Do đó: IK = IM = IH = MH/2

Xét \(\Delta\)MKH có: Trung tuyến KI=MH/2 (cmt) => \(\Delta\)KMH vuông tại K (đpcm).

d) Từ câu a: \(MA^2=MB.MC=\frac{MC}{4}.MC=\frac{MC^2}{4}\) => MA = MC/2 = MD

Từ đó: MA² = MD² = MH.MO => \(\Delta\)MDH ~ \(\Delta\)MOD (c.g.c) => ^MDH = ^MOD = 1/2.Sđ(HD_(ODH)

Suy ra: MC tiếp xúc với đường tròn (ODH) (đpcm).

1

con

Thế 1=x+y+xy vào P ta có: \(P=\frac{1}{x+y}+\frac{x+y+xy}{x}+\frac{x+y+xy}{y}\)

\(P=\frac{1}{x+y}+x+y+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\ge2\sqrt{\frac{x+y}{x+y}}+2\sqrt{\frac{xy}{yx}}+2=6\)

Vậy Min P=6. Đạt được khi \(x=y=\sqrt{2}-1.\)

e mới lớp