\(\hept{\begin{cases}\frac{2}{2\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\\\frac{2}{2\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\end{cases}}\)

Từ đây ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}+\sqrt{2}-\sqrt{1}+...+\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{n}-0\right)=2\sqrt{n}\)

Tương tự ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}>2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+...+\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\)

\(=2\left(\sqrt{n+1}-1\right)>\sqrt{n}\)

Gọi \(\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}=A\)là A

Có \(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>...>\frac{1}{\sqrt{n}}\)

=> \(A>n.\frac{1}{\sqrt{n}}=\sqrt{n}\)(1)

Ta có: \(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=2\left(\sqrt{n}+\sqrt{n-1}\right)\)

=> \(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

Khi đó: \(\frac{1}{\sqrt{1}}< 2\left(\sqrt{1}-\sqrt{0}\right)\)

\(\frac{1}{\sqrt{2}}< 2\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)\)

...

\(\frac{1}{\sqrt{n}}< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

=> \(A< 2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}+...+\sqrt{1}\right)\)

=> \(A< 2\sqrt{n}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\sqrt{n}< A< 2\sqrt{n}\)

A B C D E K M I H F

a) Ta thấy ngay do BD, CE là đường cao nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\) 

Xét tứ giác AEDC có \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\) nên AEDC là tứ giác nội tiếp hay A, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

Đường tròn cần tìm là đường tròn đường kính BC, tức là tâm đường tròn là trung điểm J của BC, bán kính là JB.

b) Xét tam giác BEC và tam giác BHM có : 

\(\widehat{BEC}=\widehat{BHM}=90^o\)

Góc B chung

\(\Rightarrow\Delta BEC\sim\Delta BHM\left(g-g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{BE}{BH}=\frac{BC}{BM}\Rightarrow BC.BH=BE.BM\)

Ta có \(BK^2=BD^2=BH.BC=BE.EM\)   mà \(KE\perp BM\Rightarrow\widehat{BKM}=90^o\)

Vậy MK là tiếp tuyến của đường tròn tâm B.

c) 

Gọi F là giao điểm của CE với đường tròn tâm B.

Do \(BE\perp KF\)nên MB là trung trực của FK.

\(\Rightarrow\widehat{MFB}=\widehat{MKB}=90^o\Rightarrow\)tứ giác MFBH nội tiếp.

\(\Rightarrow\widehat{MHF}=\widehat{MBF}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MF)

Ta cũng có MKHB nội tiếp nên \(\widehat{MHK}=\widehat{MBK}\)

Mà \(\widehat{MBF}=\widehat{MBK}\) nên HI là phân giác góc KHF.

Áp dụng tính chất tia phân giác ta có : \(\frac{IK}{IF}=\frac{HK}{HF}\)

Ta có \(HC\perp HI\) nên HC là tia phân giác ngoài của góc KHF.

\(\Rightarrow\frac{CK}{CF}=\frac{HK}{HF}\)

Vậy nên \(\frac{CK}{CF}=\frac{IK}{IF}\)

\(\Rightarrow\frac{CK}{CF+KF}=\frac{IK}{IF+IK}\Rightarrow\frac{CK}{\left(CE+EF\right)+\left(CE-KE\right)}=\frac{IK}{FK}\)

\(\Rightarrow\frac{CK}{2CE}=\frac{IK}{2EK}\Rightarrow CK.EK=CE.IK\)

giúp mình với!!!! ai đúng mình k cho

1) Ta chứng minh tổng AB² + CD² không đổi. Thật vậy:

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và CD.

Ta có \(OI\perp AB;OJ\perp AC\) 

Khi đó: \(AB^2+CD^2=\left(2AI\right)^2+\left(2CJ\right)^2=4\left(AI^2+CJ^2\right)\)

\(=4\left(OA^2-OI^2+OC^2-OJ^2\right)=4\left[2R^2-\left(OI^2+OJ^2\right)\right]\)

\(=4\left[2R^2-\left(OI^2+IK^2\right)\right]=4\left(2R^2-OK^2\right)\)

Do K cố định nên OK không đổi. Vậy \(4\left(2R^2-OK^2\right)\) không đổi hay AB² + CD² không đổi.

Khi đó ta có : 

\(S_{ACBD}=\frac{1}{2}.AB.CD\le\frac{1}{2}.\frac{1}{2}\left(AB^2+CD^2\right)\)

\(S_{ACBD}\le\frac{1}{4}.4\left(2R^2-OK^2\right)=2R^2-OK^2\)

Vậy \(maxS_{ACBD}=2R^2-OK^2\) khi AB = CD.

bài này easy thôi:

ta có:\(\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0;\left(\sqrt{b}-\frac{1}{2}\right)^2\ge0̸.\)với \(\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\ge0;b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-\sqrt{a}+\frac{1}{4}\right)+\left(b-\sqrt{b}+\frac{1}{4}\right)\ge0\)với \(\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a+b+\frac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}.\)

Mặt khác \(a+b\ge2\sqrt{ab}>0.\)

Nhân từng vế ta được:

\(\left(a+b\right)\left(\left(a+b\right)+\frac{1}{2}\right)\ge2\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right).\)

hay \(\left(a+b\right)^2+\frac{a+b}{2}\ge2a\sqrt{b}+2b\sqrt{a}.\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=\frac{1}{4}\)

à. không đọc hết đề
Đến đoạn \(x+y=0\Leftrightarrow x=-y\Leftrightarrow x^{2019}=-y^{2019}\Leftrightarrow x^{2019}+y^{2019}=0\Leftrightarrow x^{2019}+y^{2019}+1=1\)
 Hay P=1
Vậy P=1
 

lm j mà vất vả thế

Nhân cả 2 vế của pt đâu với \(x-\sqrt{x^2+3}\) đc:

\(y+\sqrt{y^2+3}=\sqrt{x^2+3}-x\)

\(\Rightarrow x+y=\sqrt{x^2+3}-\sqrt{y^2+3}\left(1\right)\)

TƯơng tự nhân 2 vế của pt đầu vs \(y-\sqrt{y^2+3}\) đc:

\(x+y=\sqrt{y^2+3}-\sqrt{x^2+3}\left(2\right)\)

từ (1) và (2) =>2(x+y)=0

=>x+y=0

=>lm tiếp như trên thôi

bài này dùng nguyên lý drichlet toán rời rạc

Giả sử từ điểm A trong 17 điểm đã cho nối với 16 điểm còn lại bằng 3 loại màu => Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 6 đoạn thẳng cùng một màu, giả sử đó là các đoạn thẳng AB₁; AB₂; …;AB₆ cùng được tô màu đỏ.

Nếu có 2 trong 6 điểm B₁; B₂; ..; B₆ được nối với nhau bằng màu đỏ thì bài toán được chứng minh. Nếu không có 2 điểm nào được nối với nhau bằng màu đỏ thì 6 điểm này được nối với nhau bằng hai màu xanh hoặc vàng.

Từ điểm B₁ ta nối với 5 điểm còn lại Þ Có 5 đoạn thẳng mà chỉ có 2 màu => Theo nguyên lý Diricle có ít nhất 3 đoạn thẳng cùng màu, giả sử đó là 3 đoạn thẳng B₁B₂, B₁B₃, B₁B₄ có cùng màu xanh.

Xét tam giác B₂B₃B₄

TH1: nếu 3 cạnh của tam giác này cùng màu thì bài toán đã được giải xong.

TH2: 3 cạnh của tam giác không cùng màu thì sẽ có ít nhất 1 cạnh có màu xanh giả sử đó là cạnh B₂B₃ => Tam giác B₁B₂B₃ có ba cạnh cùng màu xanh.

Vậycó đpcm

Có 17 điểm => có 153 đường thẳng được tạo thành. 
Có 969 tam giác được tạo thành 
Có 153 đường thẳng mà tới 969 tam giác được tạo thành 
=> phải có tam giác có 3 cạnh cùng màu

Ta có: \(1-a\ge0\Leftrightarrow a\le1\Leftrightarrow a+b-b+c-c\le1\Leftrightarrow a+b+c\le1+b+c\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+b+c}\ge\frac{a}{1+b+c}\left(1\right)\)

Tương tự: \(1-b\ge0\Leftrightarrow b\le1\Leftrightarrow b+a-a+c-c\le1\Leftrightarrow a+b+c\le1+c+a\)

\(\Leftrightarrow\frac{b}{a+b+c}\ge\frac{b}{1+c+a}\left(2\right)\)

Và: \(1-c\ge0\Leftrightarrow c\le1\Leftrightarrow c+a-a+b-b\le1\Leftrightarrow a+b+c\le1+a+b\)

\(\Leftrightarrow\frac{c}{a+b+c}\ge\frac{c}{1+a+b}\left(3\right)\)

Cộng (1)(2) và (3) vế theo vế:

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\ge\frac{a}{1+b+ac}+\frac{b}{1+c+ab}+\frac{c}{1+a+bc}\)

ĐPCM

bạn ơi, bạn xem lại đi. Mẫu của bạn là 1+b+c chứ đâu phải là 1+b+ac. Mấy cái khác cũng thế

A B O C E F D I H K M J

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có AE = EC; BF = FC

Vậy nên AE + BF = EC + CF = EF

b) Xét tam giác vuông BAD có AC là đường cao nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác, ta có:

\(DA^2=DC.DB\)

c)  Ta thấy rằng \(\Delta DCA\sim\Delta DAB\Rightarrow\frac{DA}{DB}=\frac{CA}{AB}\)

Lại có AB = 2OB; AC = 2AH.

Vậy nên \(\frac{DA}{DB}=\frac{2.AH}{2.OB}=\frac{AH}{OB}\)

Ta cũng có \(\widehat{DAH}=\widehat{DBO}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{BCA}\) )

Nên \(\Delta DAH\sim\Delta DBO\Rightarrow\widehat{DHA}=\widehat{DOB}\)

Mà \(\widehat{DHA}=\widehat{IHK}\) nên \(\widehat{DOB}=\widehat{IHK}\)

Xét tứ giác HIOK có \(\widehat{DOB}=\widehat{IHK}\) nên HIOK là tứ giác nội tiếp. Vậy thì \(\widehat{HIK}=\widehat{HOK}\)

\(\widehat{HIK}+\widehat{HAK}=\widehat{HOK}+\widehat{HAK}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{AKI}=90^o\Rightarrow IK\perp AB\)

d) Từ A kẻ AJ song song với BD cắt BF tại J.

Khi đó ta thấy ngay ADBJ là hình bình hành. Vậy thì DJ giao với AB tại trung điểm mỗi đường hay O là trung điểm của AB và DJ.

Vậy ta có D, O , J  thẳng hàng.

Xét tam giác AFJ có \(AB\perp FJ\)

\(FO\perp BC\) mà BC // AJ nên \(FO\perp AJ\)

Vậy thì O là trực tâm tam giác AFJ hay \(JO\perp AF\)  (1)

Xét tam giác AIO có \(IK\perp AO;OH\perp AI\Rightarrow\) M là trực tâm tam giác.

Vậy thì \(AM\perp IO\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, M , F thẳng hàng.

ta có : 2018^p \(\equiv\)2^p (mod 3) 

Vì là SNT > 5 => p lẻ

=> 2^p \(\equiv\)2 (mod 3)

2017^q \(\equiv\)1 (mod 3)

=> 2018^p - 2017^q \(\equiv\)2 - 1 = 1 (mod 3)

Vậy 2018^p - 2017^q chia 3 dư 1

b) xét số dư khi chia p cho 3 => p có 2 dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

+ p = 3k + 1 => 3p⁵ \(⋮\)3 ; 5p³ \(\equiv\)2 (mod 3) ; 7p \(\equiv\)1 (mod 3) => (3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)3

+ p = 3k + 1 => 3p⁵ \(⋮\)3 ; 5p³ \(\equiv\)1(mod 3) ; 7p \(\equiv\)2 (mod 3) => (3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)3

Vậy 3p⁵ + 5p³ + 7p \(⋮\)3 (1)

Xét số dư khi chia p cho 5 => p có 4 dạng 5k+1;5k+2;5k+3;5k+4

+ p = 5k + 1 => 3p⁵ \(\equiv\)3 (mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)7 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5

 + p = 5k + 2 => 3p⁵ \(\equiv\)1 (mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)4 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5                                                                                                    

+ p = 5k + 3 => 3p⁵ \(\equiv\)4 (mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)1 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5

+ p = 5k + 4 => 3p⁵ \(\equiv\) 2(mod 5) ; 5p³ \(⋮\) 5 ; 7p\(\equiv\)3 (mod 5) =>(3p⁵ + 5p³ + 7p ) \(⋮\)5

Vậy 3p⁵ + 5p³ + 7p \(⋮\)5 (2)

Từ (1) và (2) và (3;5) = 1 =>  3p⁵ + 5p³ + 7p \(⋮\)15 

=> \(\frac{3p^5+5p^3+7b}{15}\)là số nguyên (đpcm)