a) Ta có \(AM=AC-MC=AC-MB=b-d\)

Xét tam giác vuông ABM, theo định lý Pi-ta-go ta có:

\(c^2+\left(b-d\right)^2=d^2\Leftrightarrow c^2+b^2-2bd+d^2=d^2\)

\(\Leftrightarrow c^2+b^2-2bd=0\)

Mà tam giác ABC vuông tại A nên \(b^2+c^2=a^2\)

\(\Rightarrow a^2=2bd\Rightarrow4bc=2bd\Rightarrow d=2c\left(đpcm\right)\)

b) Xét tam giác vuông ABM có \(BM=2BA\Rightarrow\widehat{ABM}=60^o\Rightarrow\widehat{AMB}=36^o\)

Xét tam giác cân MBC có \(\widehat{AMB}\) là góc ngoài tại đỉnh cân nên \(\widehat{AMB}=2\widehat{MBC}=2\widehat{MCB}\)

\(\Rightarrow\widehat{MCB}=\widehat{MBC}=\frac{30^o}{2}=15^o\)

Vậy nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ABM}+\widehat{MBC}=60^o+15^o=75^o\)

\(\widehat{ACB}=\widehat{MCB}=15^o\)

Ta có : (x - 1)(y - 1)(z - 1) = (xy - x - y + 1)(z - 1) = xyz - xz - yz + z - xy + x + y - 1 = (x + y + z) -\(\frac{xy+yz+xz}{1}\)+ 1 - 1

= x + y + z -\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}\)= (x + y + z) - (\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\)) > 0 (do gt)

Có 2 trường hợp để (x - 1)(y - 1)(z - 1) > 0 :

_ x - 1 ; y - 1 ; z - 1 > 0 => x ; y ; z > 1 => xyz > 1 (trái với gt - loại)

_ 1 trong 3 số x - 1 ; y - 1 ; z - 1 dương,2 số còn lại âm => 1 trong 3 số x,y,z lớn hơn 1 (đpcm)

Bài 1:

A B C D E M N I J

Gọi E là giao điểm của phân giác AD với MN.

Qua E, kẻ đoạn thẳng IJ vuông góc với AD \(\left(I\in AB,J\in AC\right)\)

Gọi H là điểm đối xứng với M qua AD.

Ta thấy rằng \(\widehat{MEI}=\widehat{HEJ}\Rightarrow\widehat{HEJ}=\widehat{JEN}\) hay EJ là phân giác trong góc NEH.

Do \(EJ\perp EA\) nên EA là phân giác ngoài tại đỉnh E của tam giác NEH.

Theo tính chất tia phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:

\(\frac{NJ}{HJ}=\frac{EN}{EH}=\frac{AN}{AH}\Rightarrow\frac{\overline{NJ}}{\overline{NA}}:\frac{\overline{HJ}}{\overline{HA}}=-1\Rightarrow\left(AJNH\right)=-1\)

Áp dụng hệ thức Descartes, ta có \(\frac{2}{AJ}=\frac{1}{AH}+\frac{1}{AN}=\frac{1}{AM}+\frac{1}{AN}=\frac{3}{a}\)

\(\Rightarrow AJ=\frac{2a}{3}\)

Vậy J cố định, mà AD cố định nên IJ cũng cố định. Vậy thì E cũng cố định.

\(AJ=\frac{2a}{3}\Rightarrow AE=\frac{2.AD}{3}\) hay E là trọng tâm tam giác ABC.

Tóm lại MN luôn đi qua trọng tâm tam giác ABC.

giúp em vs CMR với mọi a,b,c ta có (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)>= 3(a+b+c)^2

500 ngọn đèn

Gọi x là số năm tuổi mẹ gấp 7 lần tuổi Hùng

Ta có: \(\frac{36-x}{12-x}=7\)

Từ đó tính ra x= 8 

Vậy trước đó 8 năm mẹ gấp 7 lần tuổi Hùng

vì tuổi mẹ năm nay 36 gấp 3 lần tuổi hùng nên suy ra tuổi hùng là 36/3=12

gọi X là tuổi của mẹ trước đây để gấp 7 lần tuổi hùng nên ta có

Cách giải: Vì cả khi về thi người đó đều đi qua một chiếc cầu vào cùng một lúc thời điểm nên ta giả sử ngay trong ngày hôm đầu vào lúc 10h15phút cũng có một người đi bộ xuất phát từ B đến A với vận tốc là 5 km/h thì hai người sẽ gặp nhau trên cầu.

Khi đó người đi từ A đi trước người đi từ B là:

10giờ15phút - 8giờ45phút = 1giờ30phút hay 1,5 giờ

Lúc 10giờ15phút, khoảng cách giữa hai người là:

24 - 4 x 1,5 = 18(km)

Thời gian hai người cùng đi đến khi gặp nhau trên cầu là:

18 : (4+5) = 2 (giờ)

Thời điểm hai người gặp nhau trên cầu là:

10giờ15phút + 2 giờ = 12giờ15phút

Vậy cả khi đi và cả khi về người đó đều đi qua một cây cầu vào lúc 12giờ15phút

12h15'

Tổng số học sinh của 3 lớp là :

    40 x 3 = 120 ( học sinh )                                                                                                                                                                           

Nếu lớp 4b có thêm 6 học sinh nữa thì số học sinh của lớp 4b bằng số học sinh trung bình cuộng của 2 lớp 4a và 4c hay bằng trung bình số học sinh của 3 lớp khi đó .

Trung bình cộng của 3 lớp khi đó là :

    ( 120 + 6 ) : 3 = 42 ( học sinh )

Số học sinh ở lớp 4b là :

     42 - 6 = 36 ( học sinh )

Số học sinh ở lớp 4a là :

     120 - 5 - 36 = 79 ( học sinh )

                       Đ/s : 4b : 36 học sinh

                               4c : 79 học sinh

tk mình nha !

Do số học sinh của lớp 4A ít hơn trung bình của 2 lớp 4B và 4C là 9 học sinh nên nếu lớp 4A có thêm 9 học sinh thì số học sinh lớp 4A bằng số học sinh trung bình của lớp 4B và 4C hay chính bằng số học sinh trung bình của cả ba lớp.

Số học sinh lớp 4A lúc đó là:

                  (108 + 9) : 3 = 39 (học sinh)

Vậy số học sinh lớp 4A là:

                  39 - 9 = 30 (em)

Do số học sinh của lớp 4B lớn hơn trung bình của 2 lớp 4A và 4C là 3 học sinh nên nếu lớp 4B có bớt 3 học sinh thì số học sinh lớp 4B bằng số học sinh trung bình của lớp 4A và 4C hay chính bằng số học sinh trung bình của cả ba lớp.

Số học sinh lớp 4B lúc đó là:

                        (108 - 3) : 3 = 35 (học sinh)

Vậy số học sinh lớp 4B là:

                        35 + 3 = 38 (em)

Số học sinh lớp 4C là:

                       108 - 30 - 38 = 40(em)

Đáp số: Lớp 4A: 30 em, lớp 4B: 38 em, lớp 4C: 40 em.

Tổng số bi của 4 bạn là :

       21x4=84(viên)

Tổng số bi của Cường và Bình là :

       18x2=36(viên)

 Vậy tổng số bi của An và Dũng là :

        84-36=48(viên)

Số bi của An là :

        (48-8):2=20(viên)

Số bi của Dũng là :

        48-20=28(viên)

Số bi của Cường là :

       \(28\times\frac{1}{2}=14\)   (viên)

Số bi của Bình là :

         36-14=22(viên)

             Đáp số : tự ghi nha!

Bạn tham khảo bài này trong đề thi của trường mình lúc trước và đáp án nhé. Vì mình không có thời gian viết lại nên mình đưa ảnh.

Bài giải cho bạn Dương Minh Hiếu

\(a^2+a+6\) là SCP

Suy ra đặt \(a^2+a+6=t^2\left(t\in Z\right)\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4a+24=4t^2\)

\(\Leftrightarrow4a^2+4a+1-4t^2=-23\)

\(\Leftrightarrow\left(2t\right)^2-\left(2a+1\right)^2=23\)

\(\Leftrightarrow\left(2t+2a+1\right)\left(2t-2a-1\right)=23\)

Dễ thấy: \(2t+2a+1>2t-2a-1\forall a,t\in Z\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2t+2a+1=23\\2t-2a-1=1\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}t=6\\a=5\end{cases}}\)(Thoả)

Vậy \(a=5\) thì \(a^2+a+6=6^2\) là SCP

Bài 2:

O A B C E D M

Ta thấy EB // AC nên \(\frac{EB}{MA}=\frac{ED}{DA}\Rightarrow AM.ED=EB.DA\)  (1)

Do EB//AC nên \(\widehat{BCA}=\widehat{CBE}\Rightarrow\widebat{EC}=\widebat{CB}\)

Vậy thì \(2.\widehat{DMC}=\widebat{BC}-\widebat{DC}=\widebat{EC}+\widebat{EB}-\widebat{DC}=\left(\widehat{CB}-\widebat{DC}\right)+\widebat{EB}=\widebat{ED}=2.\widehat{DCE}\)

\(\Rightarrow\widehat{DMC}=\widehat{DCE}\)

Mà \(\widehat{DEC}=\widehat{DCM}\) (Góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung)

\(\Rightarrow\Delta EDC\sim\Delta CDM\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{ED}{CD}=\frac{EC}{CM}\Rightarrow CM.ED=CD.EC\)    (2)

Từ (1) và (2) ta thấy, muốn chứng minh CM = MA, ta chỉ cần chứng minh EB.DA = CD.EC

Lại có \(\widebat{CE}=\widebat{CB}\Rightarrow CE=CB\)

Vậy ta cần chứng minh: EB.DA = CD.BC

Ta có \(\widehat{DAC}=\frac{\widebat{EC}-\widebat{DC}}{2}=\frac{\widebat{BC}-\widebat{DC}}{2}=\frac{\widebat{DB}}{2}=\widehat{DCB}\)

Vậy nên ta có ngay \(\Delta DBC\sim\Delta DCA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{CD}=\frac{BC}{CA}\Rightarrow BC.CD=BD.CA\left(3\right)\)

Ta dễ dàng thấy ngay \(\Delta BDA\sim\Delta EBA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{BD}{EB}=\frac{DA}{BA}=\frac{DA}{CA}\Rightarrow EB.DA=BD.CA\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) ta có \(EB.DA=BC.CD\)

Từ đó suy ra MC = MA hay M là trung điểm của AC (đpcm).

Ai giúp mik nốt bài 1 với ạ