TH 1: \(x^2+y^2< 1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}|x|< 1\\|y|< 1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow S=x+2y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+y< 1+\sqrt{2}\left(1\right)\)

TH 2: \(x^2+y^2>1\)

\(\Rightarrow x^2-x+y^2-y\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(S-2y\right)^2-\left(S-2y\right)+y^2-y\le0\)

\(\Leftrightarrow5y^2+\left(1-4S\right)y+S^2-S\le0\)

\(\Rightarrow\Delta=\left(1-4S\right)^2-4.5.\left(S^2-S\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow S\le\frac{5+\sqrt{10}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra được GTLN của S

PS: S là đặt cho nó gọn nhé

Tử số của 3 phân số tỉ lệ với 3 ;7 ; 11

=> gọi tử số của các phân số lần lượt là: 3k; 7k; 11k

Mẫu số của chúng tỉ lệ với 10; 20; 40 => cũng tỉ lệ với 1; 2; 4

=> Gọi mẫu số của chúng lần lượt là: h; 2h; 4h

=> 3 phân số đó là: \(\frac{3k}{h};\frac{7k}{2h};\frac{11k}{4h}\)

Tổng 3 phân số = \(\frac{3k}{h}+\frac{7k}{2h}+\frac{11k}{4h}=\left(3+\frac{7}{2}+\frac{11}{4}\right).\frac{k}{h}=\frac{37}{4}.\frac{k}{h}=\frac{37}{20}\)

=> \(\frac{k}{h}=\frac{37}{20}:\frac{37}{4}=\frac{1}{5}\)

Vậy 3 phân số đó là: \(\frac{3}{5};\frac{7}{10};\frac{11}{20}\)

Gọi tử của 3 phân số tối giản là a ; b ; c.

Theo đề bài ta có \(\frac{a}{3}=\frac{b}{7}=\frac{c}{11}\)

Gọi mẫu của ba phân số tối giản là x ; y ; z.

Theo đề bài lại có \(\frac{x}{10}=\frac{y}{20}=\frac{z}{40}\)

Áp dụng t/c tỉ lệ thức được \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{x}=\frac{3}{10};\frac{b}{y}=\frac{7}{20};\frac{c}{z}=\frac{11}{40}\) (vì 3 phân số tối giản).

Vậy 3 phân số cần tìm là \(\frac{3}{10};\frac{7}{20};\frac{11}{40}\)

Đường tròn c: Đường tròn qua C với tâm A_1 Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [C, H] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [E, H] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [A, E] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [A, D] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [E, D] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [A_1, A] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [H, A] A_1 = (5.6, 1.56) A_1 = (5.6, 1.56) C = (9.92, 1.6) C = (9.92, 1.6) C = (9.92, 1.6) Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm D: Giao điểm đường của c, i Điểm D: Giao điểm đường của c, i Điểm D: Giao điểm đường của c, i Điểm I: Giao điểm đường của f, i Điểm I: Giao điểm đường của f, i Điểm I: Giao điểm đường của f, i Điểm E: Giao điểm đường của j, k Điểm E: Giao điểm đường của j, k Điểm E: Giao điểm đường của j, k Điểm H: Giao điểm đường của f, l Điểm H: Giao điểm đường của f, l Điểm H: Giao điểm đường của f, l

Gọi giao điểm của AD và BC là I. Theo tính chất đường kính dây cung, ta có I là trung điểm AD. Từ đó dễ thấy tam giác ABD cân tại B.

Ta sẽ chứng minh AH luôn tiếp xúc với đường tròn (O; OA) tại A hay \(AH\perp OA\)

Xét tứ giác EHBA có \(\widehat{EHB}+\widehat{EAB}=90^o+90^o=180^o\)

Vậy nên EHBA là tứ giác nội tiếp

Suy ra \(\widehat{HEB}=\widehat{HAB}\)

Do \(EH\perp HC,AD\perp HC\Rightarrow\)EH // AD \(\Rightarrow\widehat{HEB}=\widehat{BDA}\)  (Hai góc so le trong)

Tứ giác ABDC nội tiếp nên \(\widehat{BDA}=\widehat{BCA}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

Mà \(\widehat{BCA}=\widehat{OAC}\)

Vậy nên \(\widehat{HAB}=\widehat{OAC}\)

Ta có \(\widehat{HAO}=\widehat{HAB}+\widehat{BAO}=\widehat{OAC}+\widehat{BAO}=\widehat{BAC}=90^o\)

Vậy HA vuông góc AO tại A hay HA luôn tiếp xúc với đường tròn \(\left(O;OA\right)\)

Mà (O;OA) là cố định nên HA luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.

H�nh ?a gi�c TenDaGiac1: DaGiac[E, D, 6] ?o?n th?ng f: ?o?n th?ng [E, D] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng g: ?o?n th?ng [D, C] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng h: ?o?n th?ng [C, B] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng i: ?o?n th?ng [B, A] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng j: ?o?n th?ng [A, F] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng k: ?o?n th?ng [F, E] c?a H�nh ?a gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng l: ?o?n th?ng [B, N] ?o?n th?ng m: ?o?n th?ng [A, M] ?o?n th?ng q: ?o?n th?ng [A, D] ?o?n th?ng r: ?o?n th?ng [A, N] ?o?n th?ng s: ?o?n th?ng [O, N] ?o?n th?ng t: ?o?n th?ng [I, D] ?o?n th?ng a: ?o?n th?ng [O, I] ?o?n th?ng b: ?o?n th?ng [M, O] E = (-1.3, 1.4) E = (-1.3, 1.4) E = (-1.3, 1.4) D = (2.28, 1.44) D = (2.28, 1.44) D = (2.28, 1.44) ?i?m C: DaGiac[E, D, 6] ?i?m C: DaGiac[E, D, 6] ?i?m C: DaGiac[E, D, 6] ?i?m B: DaGiac[E, D, 6] ?i?m B: DaGiac[E, D, 6] ?i?m B: DaGiac[E, D, 6] ?i?m A: DaGiac[E, D, 6] ?i?m A: DaGiac[E, D, 6] ?i?m A: DaGiac[E, D, 6] ?i?m F: DaGiac[E, D, 6] ?i?m F: DaGiac[E, D, 6] ?i?m F: DaGiac[E, D, 6] ?i?m M: Trung ?i?m c?a g ?i?m M: Trung ?i?m c?a g ?i?m M: Trung ?i?m c?a g ?i?m N: Trung ?i?m c?a f ?i?m N: Trung ?i?m c?a f ?i?m N: Trung ?i?m c?a f ?i?m I: Giao ?i?m c?a l, m ?i?m I: Giao ?i?m c?a l, m ?i?m I: Giao ?i?m c?a l, m ?i?m O: Giao ?i?m c?a n, p ?i?m O: Giao ?i?m c?a n, p ?i?m O: Giao ?i?m c?a n, p

a. Ta thấy \(\Delta ABC=\Delta BCD\left(c-g-c\right)\Rightarrow AC=BD;\widehat{ACB}=\widehat{BDC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{BDN}\Rightarrow\Delta AMC=\Delta BND\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AMC}=\widehat{BND}\Rightarrow\widehat{AMC}+\widehat{AMD}=\widehat{BND}+\widehat{AMD}=180^o\)

\(\Rightarrow\widehat{NIM}+\widehat{NDM}=180^o\Rightarrow\widehat{AIB}=180^o-120^o=60^o.\)

b. Ta thấy ON vuông góc ED nên ON cũng vuông góc AB. Lại có tam giác ANB cân tại N; NO là đường cao nên nó là phân giác. Vậy \(\widehat{ANO}=\widehat{BNO}\)

Lại có AD là trung trực MN  nên \(\widehat{ANO}=\widehat{AMO}\Rightarrow\widehat{BNO}=\widehat{AMO}\Rightarrow\) tứ giác OIMN nội tiếp.

Lại dễ thấy OMDN cũng nội tiếp nên O; I; M ;D; N cùng thuộc đường trong đường kính OD. Vậy \(\widehat{OID}=90^o.\)

(Cô làm theo cách lớp 9)

em gửi bài qua fb thầy chữa cho nhé, tìm fb của thầy bằng sđt: 0975705122 nhé.

\(8f\left(2x+3\right)=8x^3+36x^2+54x+27-3\left(4x^2+12x+9\right)-25\left(2x+3\right)+115=\left(2x+3\right)^3-3\left(2x+3\right)^2-25\left(2x+3\right)+115\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{x^3-3x^2-25x+115}{8}\)
ĐẾn đây ai làm tiếp hộ vs 

Ta có: \(8.f\left(2x+3\right)=8x^3+24x^2-32x+40\)
                        \(=\left(2x+3\right)^3-3\left(2x+3\right)-25\left(2x+3\right)+115\)
Đặt \(2x+3=X\)ta có: \(8f\left(X\right)=X^3-3X-25X+115\)
   Vậy công thức của hàm f(x ) là: \(f\left(x\right)=\frac{x^3-3x^2-25x+115}{8}\).
Ta có: 
 \(-f\left(\sqrt[3]{2013}\right)=-\frac{\left(\sqrt[3]{2013}\right)^3-3.\left(\sqrt[3]{2013}\right)^2-25\sqrt[3]{2013}+115}{8}\).
Các bạn làm tiếp và kiểm tra lại phần tính toán giúp mình nhé !

A B C E D G F I H O

a) Xét \(\Delta\)IFG và \(\Delta\)HBG có:

GF=GB

IF=HB                                => \(\Delta\)IFG=\(\Delta\)HBG (c.g.c)  (1)

^GFI=^GBH=90⁰

Ta thấy: BH+HC=BC=GF. Mà BH=DE hay BH=AC

=> AC+HC=GF <=> AH=GF

=> \(\Delta\)EAH=\(\Delta\)IFG (c.g.c) (2)

Tương tự: AC+HC=BH+HC => AH=BG => \(\Delta\)EAH=\(\Delta\)HBG (c.g.c) (3)

Lại có: BC=CF => BH+HC=CD+DF. Mà BH=DE=CD

=> HC=DF =>  HC+AC=DF+IF (Vì AC=DE=IF)

=> \(\Delta\)EAH=\(\Delta\)EDI (c.g.c) (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) => \(\Delta\)EDI=\(\Delta\)EAH=\(\Delta\)HBG=\(\Delta\)IFG (đpcm)

b) Ta có:

\(\Delta\)EDI=\(\Delta\)EAH=\(\Delta\)HBG=\(\Delta\)IFG (cmt)

=> EI=EH=HG=IG (Các cạnh tương ứng) => Tứ giác EIGH là hình thoi (5)

Mà \(\Delta\)EAH=\(\Delta\)HBG => ^EHA=^HGB (2 góc tương ứng)

Thấy ^HGB+^BHG=90⁰. => ^EHA+^BHG=90⁰ => ^GHE=90⁰ (6)

Từ (5) và (6) => Tứ giác EIGH là hình vuông (đpcm).

c) Tứ giác EIGH là hình vuông và O là giao 2 đường chéo => OE=OH.

Ta có: ^OEA=^AEH+^OEH

^OHB=^OHG+^BHG.

Mà ^OEH=^OHG=45⁰, ^AEH=^BHG (cmt) => ^OEA=^OHB.

Xét \(\Delta\)OEA và \(\Delta\)OHB:

OE=OH

^OEA=^OHB              => \(\Delta\)OEA=\(\Delta\)OHB (c.g.c)

EA=HB (EA=DE)

=> OA=OB (2 cạnh tương ứng) => Điểm O thuộc đường trung trực của AB (7)

^EOA=^HOB

 Lại có: ^EOH=^EOA+^AOH=90⁰ => ^HOB+^AOH=90⁰ => ^AOB=90⁰

Mà OA=OB =>Tam giác AOB vuông cân tại O

=> Khoảng cách từ O tới AB bằng 1/2 đoạn AB (8)

Từ (7) và (8) => O là điểm cố định trên trung trực của AB vì AB cố định và O luôn cách AB 1 khoảng bằng 1/2 AB.

Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn(O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA,MB với đường tròn . Trên tia OB lấy điểm C sao cho BC = BO . Chứng minh góc BMC = 1/2 góc BMA

Đường tròn c: Đường tròn qua C với tâm O Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [A, H] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [B, I] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [H, J] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [C, I] Đoạn thẳng f_1: Đoạn thẳng [H, K] Đoạn thẳng g_1: Đoạn thẳng [J, K] Đoạn thẳng h_1: Đoạn thẳng [A, I] Đoạn thẳng i_1: Đoạn thẳng [A, J] Đoạn thẳng j_1: Đoạn thẳng [A, K] Đoạn thẳng l_1: Đoạn thẳng [I, D] Đoạn thẳng m_1: Đoạn thẳng [H, D] Đoạn thẳng r_1: Đoạn thẳng [I, M] Đoạn thẳng s_1: Đoạn thẳng [N, I] Đoạn thẳng t_1: Đoạn thẳng [P, I] Đoạn thẳng a_1: Đoạn thẳng [P, K] O = (2.34, 3.06) O = (2.34, 3.06) O = (2.34, 3.06) C = (5.72, 3.08) C = (5.72, 3.08) C = (5.72, 3.08) Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm H: Giao điểm đường của j, g Điểm H: Giao điểm đường của j, g Điểm H: Giao điểm đường của j, g Điểm I: Giao điểm đường của l, n Điểm I: Giao điểm đường của l, n Điểm I: Giao điểm đường của l, n Điểm J: Giao điểm đường của r, q Điểm J: Giao điểm đường của r, q Điểm J: Giao điểm đường của r, q Điểm K: Giao điểm đường của d, a Điểm K: Giao điểm đường của d, a Điểm K: Giao điểm đường của d, a Điểm D: Giao điểm đường của k_1, j_1 Điểm D: Giao điểm đường của k_1, j_1 Điểm D: Giao điểm đường của k_1, j_1 Điểm P: Giao điểm đường của n_1, g Điểm P: Giao điểm đường của n_1, g Điểm P: Giao điểm đường của n_1, g Điểm M: Giao điểm đường của p, h Điểm M: Giao điểm đường của p, h Điểm M: Giao điểm đường của p, h Điểm N: Giao điểm đường của q_1, g Điểm N: Giao điểm đường của q_1, g Điểm N: Giao điểm đường của q_1, g

Kéo dài BI cắt AK tại D. Ta chứng minh \(BD\perp AK\). 

Từ I kẻ \(IM\perp AB;IN\perp BC\)

Ta có ngay \(\Delta BIM=\Delta BIN\) (Cạnh huyền góc nhọn)

\(\Rightarrow BM=BN\)

Kéo dài tia AK cắt BC tại P. 

Ta có \(\Delta AIM=\Delta PIN\left(g-c-g\right)\Rightarrow AM=PN\)

Vậy thì ta có AB = AM + MB = PN + NB = BP.

Suy ra tam giác ABP cân tại B.

Xét tam giác cân ABP có BD là phân giác đồng thời đường cao. Vậy  \(BD\perp AK\)

Ta thấy HJ và HK là phân giác hai góc kề bù nên chũng vuông góc.

Xét tứ giác JDKH có \(\widehat{JDK}+\widehat{JHK}=90^o+90^o=180^o\)

Vậy JDKH là tứ giác nội tiếp. Hay \(\widehat{JKH}=\widehat{JDH}\)

Xét tứ giác BHDA có \(\widehat{ADB}=\widehat{AHB}=90^o\) nên BHDA là tứ giác nội tiếp.

Suy ra \(\widehat{BDH}=\widehat{BAH}\)

Mà \(\widehat{BAH}=\widehat{BCA}\) (Cùng phụ với góc \(\widehat{ABC}\) )

Vậy nên \(\widehat{JKH}=\widehat{BCA}\)

Xét tam giác ABC và tam giác HJK có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{JHK}=90^o\)

\(\widehat{BCA}=\widehat{JKH}\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\sim\Delta HJK\left(g-g\right)\)

Cô giải đúng rùi nhưng em chưa học tứ giác nội tiếp đường tròn

Nhưng dù sao cũng cảm ơn cô

Nhìn hình vẽ thì rõ ràng góc NPC là góc tù nhưng tại sao  \(\widehat{NPC}=70^o\) ?

hình vẽ sai rùi 

Vì p là tích của 2 số là (n-2) và (n^2+n-1) 

=> p là nguyên tố thì một trong 2 số trên phải bằng 1 (nếu cả hai tích số đều lớn hơn 1 => p là hợp số, trái với đầu bài) 

Ta luôn có n^2+n-1 = n^2+1 +(n-2) > (n-2) 

Vậy => n-2=1 => n=3 => p=11

Để p là nguyên tố thì một trong 2 nhân tử phải bằng 1 

Vơi n = 1 => n² + n - 2 = 1 + 1 - 2 = 0

Với n \(\ge2\)n² + n - 2 \(\ge2^2+2-2=4\)

=>  n² + n - 2 không thể bằng 1 nên ta xét

\(\hept{\begin{cases}n-2=1\\n^2+2-2=p\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n=3\\p=10\end{cases}}\)(loại vì 10 không phải là số nguyên tố)

Vậy không tòn tại n tự nhiên để p là số nguyên tố

Gọi x(km) là quãng đường Nam đi xe thì quãng đường Nam đi bộ là (27-x). ……
Vì cùng xuất phát và cùng đến nơi một lúc nên quãng đường Việt đi bộ là x và đi xe là (27-x). …………………………………………
Thời gian Nam đi từ nhà đến trường bằng thời gian Việt đi từ nhà đến trường: ...
tN = tV => += + ………………………………..
=> x = 10,5km. ……………………………..
Vậy, có hai phương án sau:
- Nam đi xe 10,5km rồi để xe bên đường và tiếp tục đi bộ 16,5km để đến trường. Việt xuất phát cùng một lúc với Nam, đi bộ 10,5km thì gặp xe của Nam để lại rồi đạp xe quãng đường 16,5km và đến trường cùng lúc với Nam. ………………
- Hoặc ngược lại, Việt đi xe đạp 16,5km rồi tiếp tục đi bộ 10,5km. Nam đi bộ 16,5km rồi tiếp tục đi xe đạp 10,5km. ………………………………………

Gọi x(km) là quãng đường Nam đi xe thì quãng đường Nam đi bộ là (27-x)
Vì cùng xuất phát và cùng đến nơi một lúc nên quãng đường Việt đi bộ là x và đi xe là (27-x). Thời gian Nam đi từ nhà đến trường bằng thời gian Việt đi từ nhà đến trường:
tN = tV => += + => x = 10,5km.
Vậy, có hai phương án sau:
- Nam đi xe 10,5km rồi để xe bên đường và tiếp tục đi bộ 16,5km để đến trường. Việt xuất phát cùng một lúc với Nam, đi bộ 10,5km thì gặp xe của Nam để lại rồi đạp xe quãng đường 16,5km và đến trường cùng lúc với Nam.
- Hoặc ngược lại, Việt đi xe đạp 16,5km rồi tiếp tục đi bộ 10,5km. Nam đi bộ 16,5km rồi tiếp tục đi xe đạp 10,5km.