Ta có:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+d\right)\left(d+a\right)\)

\(=\left(\frac{2017}{c}+\frac{2017}{d}\right)\left(\frac{2017}{d}+c\right)\left(c+d\right)\left(d+\frac{2017}{c}\right)\)

\(=\frac{2017}{c^2d^2}\left(c+d\right)^2\left(cd+2017\right)^2\)

\(=\frac{2017}{c^2d^2}\left(c^2d+d^2c+2017c+2017d\right)^2\left(1\right)\)

Ta lại có: 

\(\left(a+b+c+d\right)^2\)

\(=\left(\frac{2017}{c}+\frac{2017}{d}+c+d\right)^2\)

\(=\frac{1}{c^2d^2}\left(c^2d+d^2c+2017c+2017d\right)^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow M=2017\)

LỜI GIẢI 

a+cb+d=a−cb−da+cb+d=a−cb−d

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

a+cb+d=a−cb−d=a+c+a−cb+d+b−d=2a2b=ab(1)a+cb+d=a−cb−d=a+c+a−cb+d+b−d=2a2b=ab(1)

a+cb+d=a−cb−d=a+c−a+cb+d−b+d=2c2d=cd(1)a+cb+d=a−cb−d=a+c−a+cb+d−b+d=2c2d=cd(1)

\(64=\left(a^2+a+2\right)\left(b+1\right)^2\left(c^2+3c\right)\)

\(=\left(a^2+a+1+1\right)\left(b^2+b+b+1\right)\left(c^2+c+c+c\right)\)

\(\ge4.\sqrt[4]{a^3}.4.\sqrt[4]{b^4}.4.\sqrt[4]{c^5}\)

\(=64\sqrt[4]{a^3b^4c^5}\)

\(\Rightarrow\sqrt[4]{a^3b^4c^5}\le1\)

\(\Leftrightarrow a^3b^4c^5\le1\)

minh khong biet 

\(\sqrt{x^2-5x+6}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2-2x-3}\)

ĐK:  x^2-5x+6>=0<=> x<=2 hoặc x>=3

       x^2-2x-3>=0<=> x<=-1 hoặc x>=3

<=>\(\sqrt{x^2-5x+6}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{x^2-2x-3}\)

<=>\(\sqrt{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}+\sqrt{x+1}=\sqrt{x-2}+\sqrt{\left(x-3\right)\left(x+1\right)}\)

<=> \(\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x-3}-1\right)+\sqrt{x+1}\left(1-\sqrt{x-3}\right)=0\)

<=> \(\sqrt{x-2}\left(\sqrt{x-3}-1\right)-\sqrt{x+1}\left(\sqrt{x-3}-1\right)=0\)

<=> \(\left(\sqrt{x-3}-1\right)\left(\sqrt{x-2}-\sqrt{x+1}\right)=0\)

<=>\(\orbr{\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-3}-1=0\\\sqrt{x-2}-\sqrt{x+1}=0\end{cases}}}\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}\sqrt{x-3}=1\\\sqrt{x-2}=\sqrt{x+1}\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=4\left(nhan\right)\\0x=3\left(vôly\right)=>loai\end{cases}}\)

S={4} 

ngungu

\(\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\frac{c^4}{c\left(a+b\right)}\)

ap dung bdt cauchy -schwaz dang engel ta co 

\(\frac{a^4}{a\left(b+c\right)}+\frac{b^4}{b\left(a+c\right)}+\frac{c^4}{c\left(a+b\right)}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{2\left(ab+bc+ac\right)}\)\(\)

ma \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{1}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\frac{1}{2}\)

dau =xay ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)

Áp dụng BĐT Mincopski ta có:

\(VT=\sqrt{a^2+\left(1-b\right)^2}+\sqrt{b^2+\left(1-c\right)^2}+\sqrt{c^2+\left(1-b\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(3-a-b-c\right)^2}\)

Đặt \(a+b+c=x>0\) thì ta có:

\(\ge\sqrt{x^2+\left(3-x\right)^2}=\sqrt{2x^2-6x+9}\)

\(=\sqrt{2\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}}\ge\sqrt{\frac{9}{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}\)

Ta có : \(B=3+3^2+3^3+.....+3^{150}\)

Ta có: 

\(B=3^1+3^2+...+3^{150}\)

\(=\left(3^1+3^2+3^3+3^4+3^5+3^6\right)+...+\left(3^{145}+3^{146}+3^{147}+3^{148}+3^{149}+3^{150}\right)\)

\(=3\left(1+3+3^2+3^4+3^5\right)+...+3^{145}\left(1+3+3^2+3^4+3^5\right)\)

\(=364.3+364.3^7+...+364.3^{145}\)

\(=364\left(3+3^7+...+3^{145}\right)⋮26\)

Vậy \(B⋮26\)

Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [C, D] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [A, D] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [C, F] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [A, Q] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [E, Q] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [Q, C] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [B, D] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [B, F] Đoạn thẳng e: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng f_1: Đoạn thẳng [B, E] Đoạn thẳng h_1: Đoạn thẳng [E, J] B = (-1, 0.2) B = (-1, 0.2) B = (-1, 0.2) C = (6.04, 0.2) C = (6.04, 0.2) C = (6.04, 0.2) Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm D: Giao điểm đường của h, i Điểm D: Giao điểm đường của h, i Điểm D: Giao điểm đường của h, i Điểm F: Giao điểm đường của c, l Điểm F: Giao điểm đường của c, l Điểm F: Giao điểm đường của c, l Điểm E: Giao điểm đường của n, k Điểm E: Giao điểm đường của n, k Điểm E: Giao điểm đường của n, k Điểm Q: Giao điểm đường của p, q Điểm Q: Giao điểm đường của p, q Điểm Q: Giao điểm đường của p, q Điểm I: Giao điểm đường của t, a Điểm I: Giao điểm đường của t, a Điểm I: Giao điểm đường của t, a Điểm J: Giao điểm đường của g_1, j Điểm J: Giao điểm đường của g_1, j Điểm J: Giao điểm đường của g_1, j

a) Do F đối xứng với C qua BE nên EB là đường trung trực của FC.

Vậy thì ta có ngay \(\Delta BFE=\Delta BCE\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{BFE}=\widehat{BCE}=90^o\)

Vậy thì \(\widehat{AFB}+\widehat{DFE}=90^o\)

Lại có góc DFE và góc AFQ là hai góc đối đỉnh nên \(\widehat{AFB}+\widehat{AFQ}=90^o\Rightarrow\widehat{AFB}=\widehat{AQF}\)

Vậy \(\Delta AQF\sim\Delta AFB\left(g-g\right)\)

b) Từ E kẻ \(EJ\perp QB\). Khi đó ta có EJ = BC. Gọi I là giao điểm của QC và  BD.

Do AF// JE nên  \(\Delta AQF\sim\Delta JQE\). Vậy thì \(\Delta JQE\sim\Delta DEF\left(\sim\Delta AQF\right)\)

\(\Rightarrow\frac{JE}{DF}=\frac{QE}{EF}\)

Hay \(\frac{BC}{DF}=\frac{QE}{EF}\Rightarrow\frac{BF}{DF}=\frac{QE}{EC}\left(1\right)\)  (Do BE là trung trực nên BC = BF, FE = EC)

Ta cũng đã có \(\widehat{FED}=\widehat{AFB}\Rightarrow\widehat{QEC}=\widehat{BFD}\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Delta QEC\sim\Delta BFD\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{FQC}=\widehat{FBD}\)

Lại có \(\widehat{BFQ}=\widehat{BFA}+\widehat{AFQ}=90^o\)

Vậy nên \(\widehat{FQB}+\widehat{QBF}=\widehat{FQC}+\widehat{CQB}+\widehat{QBF}=\widehat{CQB}+\widehat{QBD}=90^o\)

Suy ra \(\widehat{AIB}=90^o\Rightarrow QC\perp BD.\)

bạn thik op à

gì vậy bạn ?

Có nhận xét: Các mẫu số là lũy thừa của 2.

Nhân A với 2 ta được:

\(2A=2+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+...+\frac{100}{2^{99}}\)

Lấy 2A - A ta có:

\(2A-A=\left(2+\frac{3}{2^2}+\frac{4}{2^3}+\frac{...100}{2^{99}}\right)-\left(1+\frac{3}{2^3}+...+\frac{99}{2^{99}}+\frac{100}{2^{1000}}\right)\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{3}{2^2}+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{2}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow A=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\left(\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)

\(\Rightarrow A=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{2^4}+...+\frac{1}{2^{99}}\right)-\frac{100}{2^{100}}\)       (1)

Đặt \(B=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^{99}}\)         (*)

Ta có: \(2B=2+1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2^{98}}\)      (**)

Lấy (**) trừ đi (*) ta có:

   \(2B-B=2-\frac{1}{2^{99}}\)

\(\Rightarrow B=2-\frac{1}{2^{99}}\)

Thay vào (1) ta có:

  \(A=B-\frac{100}{2^{100}}=2-\frac{1}{2^{99}}-\frac{100}{2^{100}}\)

        \(=2-\frac{102}{2^{100}}\)

bn ơi sai đoạn 2a-a rồi phải là \(\frac{100}{2^{100}}\).bn viết thừa 1 số 0

a) AMN^=A1^=C^=A2^.
Ta lại có AMN^+ANM^=900
nên A2^+ANM^=900
Vậy OA⊥MN.
b) Dễ thấy BMNC là tứ giác nội tiếp. EI là đường tru...

chỉ biết thế

Đường tròn c: Đường tròn qua C với tâm O Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [A, H] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [H, E] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [H, F] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [E, F] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [O, A] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [P, Q] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [P, A] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [B, P] Đoạn thẳng d_1: Đoạn thẳng [A, Q] Đoạn thẳng g_1: Đoạn thẳng [C, D] Đoạn thẳng h_1: Đoạn thẳng [Q, D] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [A, D] Đoạn thẳng i_1: Đoạn thẳng [F, K] Đoạn thẳng j_1: Đoạn thẳng [E, K] Đoạn thẳng k_1: Đoạn thẳng [H, K] Đoạn thẳng m_1: Đoạn thẳng [I, F] O = (1.02, 2.44) O = (1.02, 2.44) O = (1.02, 2.44) C = (6.02, 2.44) C = (6.02, 2.44) C = (6.02, 2.44) Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm B: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm A: Điểm trên c Điểm H: Giao điểm đường của j, g Điểm H: Giao điểm đường của j, g Điểm H: Giao điểm đường của j, g Điểm E: Giao điểm đường của l, h Điểm E: Giao điểm đường của l, h Điểm E: Giao điểm đường của l, h Điểm F: Giao điểm đường của n, i Điểm F: Giao điểm đường của n, i Điểm F: Giao điểm đường của n, i Điểm P: Giao điểm đường của c, s Điểm P: Giao điểm đường của c, s Điểm P: Giao điểm đường của c, s Điểm Q: Giao điểm đường của c, s Điểm Q: Giao điểm đường của c, s Điểm Q: Giao điểm đường của c, s Điểm J: Giao điểm đường của q, r Điểm J: Giao điểm đường của q, r Điểm J: Giao điểm đường của q, r Điểm D: Giao điểm đường của e, f_1 Điểm D: Giao điểm đường của e, f_1 Điểm D: Giao điểm đường của e, f_1 Điểm K: Giao điểm đường của c, d Điểm K: Giao điểm đường của c, d Điểm K: Giao điểm đường của c, d Điểm I: Giao điểm đường của l_1, g Điểm I: Giao điểm đường của l_1, g Điểm I: Giao điểm đường của l_1, g

a) Do A thuộc đường tròn (O) nên \(\widehat{BAC}=90^o\)

Xét tứ giác AEHF có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Do AEHF là hình chữ nhật nên \(\widehat{AEF}=\widehat{EAH}\)

Do BA = OB nên \(\widehat{OBA}=\widehat{OAB}\)

Mà \(\widehat{EAH}+\widehat{OBA}=90^o\Rightarrow\widehat{AEF}+\widehat{BAO}=90^o\)

Gọi giao điểm của OA và EF là J. Xét tam giác EAJ có \(\widehat{EAJ}+\widehat{AEJ}=90^o\Rightarrow\widehat{AJE}=90^o\Rightarrow OA\perp EF.\)

b) Ta có bán kính OA vuông góc với dây cung PQ tại J nên J là trung điểm của PQ. Vậy thì AP = AQ hay cung AP bằng cung AQ.

Từ đó ta suy ra \(\widehat{PBA}=\widehat{EPA}\)   (Góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Vậy thì  \(\Delta PBA\sim\Delta EPA\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AP}{AE}=\frac{AB}{AP}\Rightarrow AP^2=AE.AB\)

Xét tam giác vuông ABH có HE là đường cao. Sử dụng hệ thức lượng ta có: \(AH^2=AE.AB\)

Vậy nên AP = AH hay tam giác APH cân tại A.

c) Ta có DE.DF = DC.DB mà DC.DB = DK.DA nên DE.DF = DC.DB

Từ đó ta có \(\Delta DFK=\Delta DAE\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{DKF}=\widehat{DEA}\)

Vậy tứ giác AEFK là tứ giác nội tiếp.

d) Ta thấy \(\widehat{ICF}=\widehat{AHF}=\widehat{AEF}\)

Mà do AEFK là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat{AEF}=\widehat{FKD}\)  (Góc ngoài tại đỉnh đối)

Vậy ta có \(\widehat{AEF}=\widehat{FKD}\)

Suy ra \(\Delta ICF\sim\Delta IKD\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{IC}{IK}=\frac{IF}{ID}\Rightarrow IC.ID=IK.IF\)

Ta cũng có \(\Delta IHF\sim\Delta IKH\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{IH}{IK}=\frac{IF}{IH}\Rightarrow IH^2=IK.IF\)

Vậy nên \(IH^2=IC.ID\)