Vì \(n\in Z^+\)nên\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)>n^3\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>n\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}>n\)(1)

Lại có:\(n^2+2n+1>n^2+2n\Rightarrow\left(n+1\right)^2>n\left(n+2\right)\Rightarrow\left(n+1\right)^3>n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\ \Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+3n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(n+1\right)^3}>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)

Tương tự \(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< n+1\)

\(n\in Z^+\)nên n² < n² + 2n < n² + 2n + 1 <=> n² < n(n + 2) < (n + 1)² => n³ < n(n + 1)(n + 2) < (n + 1)³ 

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< n+1\)

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n+1}\)\(=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1\right)}=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n+1\right)^2}=n+1\)

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)

\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}}< n+1\)

Tiếp tục như vậy,ta có đpcm.

trời bộ bài giề này ko bít làm

Xem lại đề bài nhé b

dùng hlt trong tam giác 

CÓ VỀ ĐỀ BÀI SAI Ở CHỖ ĐẲNG THỨC ! 

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp : 

Dễ thấy BĐT đúng với n = 1,2 

Giả sử BĐT đúng với n = k (k là số tự nhiên) , tức \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}\le k\sqrt{\frac{k+1}{2}}\) 

Ta sẽ chứng minh BĐT cũng đúng với n = k+1 , tức là \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)

Ta có : \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{k}+\sqrt{k+1}\le k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\)

Cần chứng minh \(k\sqrt{\frac{k+1}{2}}+\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{\frac{k+2}{2}}\)

Điều này tương đương với \(k\sqrt{k+1}+\sqrt{2}.\sqrt{k+1}\le\left(k+1\right)\sqrt{k+2}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{k+1}\left(\sqrt{k^2+3k+2}-\sqrt{2}-k\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{k^2+3k+2}\ge k+\sqrt{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{k^2+3k+2}\right)^2\ge\left(k+\sqrt{2}\right)^2\) (Vì k là số tự nhiên)

\(\Leftrightarrow k^2+3k+2\ge k^2+2\sqrt{2}k+2\)

\(\Leftrightarrow3k\ge2\sqrt{2}k\) (luôn đúng)

Vậy giả thiết quy nạp đúng.

Ta có điều phải chứng minh.

Ngoài cách của Hoàng Lê Bảo Ngọc, mình sẽ giải cho bạn cách khác

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopski:

\(\left(x_1+x_2+x_3+...+x_n\right)^2\le n\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2\right)\)

Suy ra ta có:

\(\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\right)^2\le n.\left(1+2+3+...+n\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\right)^2\le n.\frac{n\left(n+1\right)}{2}\)

Do đó:

\(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le\sqrt{\frac{n^2\left(n+1\right)}{2}}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le n.\sqrt{\frac{n+1}{2}}\)(đpcm)

dẹp cách bình phương bùng nhùng ta cùng đến với liên hợp hại não :v

\(\sqrt{x^2+x+2}=\frac{3x^2+3x+2}{3x+1}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{x^2+x+2}-2=\frac{3x^2+3x+2}{3x+1}-2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x+2-4}{\sqrt{x^2+x+2}+2}=\frac{3x^2-3x}{3x+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2+x-2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{3x^2-3x}{3x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{3x\left(x-1\right)}{3x+1}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{3x}{3x+1}\right)=0\)

Dễ thấy: \(\frac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}-\frac{3x}{3x+1}>0\forall x\ge-\frac{1}{3}\)

\(\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)

cứ tin ở t đi thầy có hỏi thì cứ nói là t ko chịu trách nhiệm :v

ĐKXĐ: \(x\ne-\frac{1}{3}\)

Do \(3x^2+3x+2>0\Rightarrow\) để pt có nghiệm thì \(x>-\frac{1}{3}\)

Ta có: \(\left(3x+1\right)\sqrt{x^2+x+2}=3x^2+3x+2\)

\(\Leftrightarrow\left(3x+1\right)^2\left(x^2+x+2\right)=9x^4+6x^2\left(3x+2\right)+9x^2+12x+4\)

\(\Leftrightarrow\left(9x^2+6x+1\right)\left(x^2+x+2\right)=9x^4+18x^3+21x^2+12x+4\)

\(\Leftrightarrow9x^4+15x^3+25x^2+13x+2=9x^4+18x^3+21x^2+12x+4\)

\(\Leftrightarrow3x^3-4x^2-x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2\left(3x+2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\left(n\right)\\x=-\frac{2}{3}\left(l\right)\end{cases}}\)

Vậy pt có nghiệm x = 1.

Đường tròn c: Đường tròn qua B với tâm O Đoạn thẳng g: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [A, A'] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [B, B'] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [A', B'] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [M, B] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [A, N] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [A, K'] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [B, K'] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [O, J] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [N, O] Đoạn thẳng d: Đoạn thẳng [M, O] Đoạn thẳng e: Đoạn thẳng [K', I] Đoạn thẳng g_1: Đoạn thẳng [H, I] O = (1.44, 3.08) O = (1.44, 3.08) O = (1.44, 3.08) B = (4.86, 3.08) B = (4.86, 3.08) B = (4.86, 3.08) Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm N: Điểm trên c Điểm N: Điểm trên c Điểm N: Điểm trên c Điểm M: Điểm trên c Điểm M: Điểm trên c Điểm M: Điểm trên c Điểm A': Giao điểm đường của h, i Điểm A': Giao điểm đường của h, i Điểm A': Giao điểm đường của h, i Điểm B': Giao điểm đường của h, j Điểm B': Giao điểm đường của h, j Điểm B': Giao điểm đường của h, j Điểm I: Giao điểm đường của n, p Điểm I: Giao điểm đường của n, p Điểm I: Giao điểm đường của n, p Điểm J: Trung điểm của M, N Điểm J: Trung điểm của M, N Điểm J: Trung điểm của M, N Điểm K': Giao điểm đường của q, r Điểm K': Giao điểm đường của q, r Điểm K': Giao điểm đường của q, r Điểm H: Giao điểm đường của f_1, g Điểm H: Giao điểm đường của f_1, g Điểm H: Giao điểm đường của f_1, g

a) Gọi J là trung điểm A'B'. Ta thấy ngay OJ là đường trung bình hình thang AA'B'B.

Từ đó suy ra \(OJ=\frac{AA'+BB'}{2}=\frac{R\sqrt{3}}{2}\)

Lại do OJ // AA' // BB' nên \(OJ⊥A'B'\).

Xét tam giác vuông MOI, có \(MO=R;OJ=\frac{R\sqrt{3}}{2}\Rightarrow MJ=\sqrt{R^2-\frac{3R}{4}}=\frac{R}{2}\) (Định lý Pitago)

Tương tự \(JN=\frac{R}{2}\Rightarrow MN=R.\)

b) Dễ thấy \(\widehat{IMK}=\widehat{INK}=90^o\Rightarrow\) tứ giác MINK nội tiếp đường tròn đường kính IK.

Xét tam giác MON có MO = ON = MN = R nên tam giác đó đều, vậy \(\widehat{MON}=60^o\Rightarrow\widehat{MBN}=30^o\)

(Góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung)

Do MINK và AMNB nội tiếp nên \(\widehat{MKI}=\widehat{MNI}=\widehat{MBA}\)

Vậy \(\Delta MIK\sim\Delta MAB\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{IK}{AB}=\frac{MK}{MB}=tan\widehat{MBK}=tan30^o=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Suy ra  \(IK=\frac{\sqrt{3}}{3}.2R=\frac{2R\sqrt{3}}{3}\)

Vậy thì bán kính đường tròn nội tiếp MINK là \(\frac{R\sqrt{3}}{3}.\)

c) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ K xuống AB. Ta thấy ngay KH là đường cao tam giác AKB.

Diện tích tam giác AKB lớn nhất khi KH lớn nhất hay IH lớn nhất.

IH lớn nhất khi tam giác KAB cân tại K. Lại có \(\widehat{AKB}=60^o\) nên KAB là tam giác đều. Khi đó MN là đường trung bình tam giác KAB nên có tính chất là song song và bằng một nửa AB.

\(S_{KAB}=\frac{1}{2}.AB.OK=\frac{1}{2}.2R.R\sqrt{3}=\sqrt{3}R^2\)

neu mnik bang mn thi chung ta se phai lay aq1p +aqwp roi nhan ra lay ket qua chia cho S tim dc la ok

Ta có

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{2008}+\sqrt{2005}< \sqrt{2015}+\sqrt{2009}\left(1\right)\\\sqrt{2010}+\sqrt{2007}< \sqrt{2015}+\sqrt{2009}\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{2008}+\sqrt{2005}}+\frac{1}{\sqrt{2010}+\sqrt{2007}}>\frac{2}{\sqrt{2015}+\sqrt{2009}}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{2008}-\sqrt{2005}}{3}+\frac{\sqrt{2010}-\sqrt{2007}}{3}>\frac{\sqrt{2015}-\sqrt{2009}}{3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2008}+\sqrt{2009}+\sqrt{2010}>\sqrt{2005}+\sqrt{2007}+\sqrt{2015}\)

A=√2008+√2009+√2010A=2008+2009+2010 và B=√2005+√2007+√2015

k và kb với mình nha !!!

Cho dãy số a₁;a₂;...;a_n và số nguyên dương k≥n

Chứng minh rằng tồn tại tổng 

nha bạnCậu Nhok Lạnh Lùng

(a_i+a_i+1+...+a_j)⋮k (i<j≤n)

đề đúng rồi ko làm đcthì thôi

a_n=a² 

ho 

_{Chưa có ai trả lời c n−1}+2a_n−2 

\(\left(xy+1\right)\left(2y-x\right)=2x^3y^2\Leftrightarrow2xy^2+2y-x^2y-x=2x^3y^2\)

\(\Leftrightarrow2xy^2+2y-x^2y+x=2x\left(x^2y^2+1\right)=2y^2.2x=4xy^2\)

\(\Leftrightarrow2y-x^2y+x-2xy^2=0\Leftrightarrow\left(2y+x\right)\left(1-xy\right)=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2y\\xy=1\end{cases}.}\)

Đến đây thì dễ rồi

Có 1 ý tưởng nhưng mà khùng v ler ấy :))

Từ \(x^2y^2+1=2y^2\Rightarrow x^2y^2-2y^2=-1\)

\(\Rightarrow y^2\left(x^2-2\right)=-1\Rightarrow y^2=\frac{1}{2-x^2}\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}\)

\(pt\left(1\right)\Rightarrow\left(x\sqrt{\frac{1}{\: 2-x^2}}+1\right)\left(2\sqrt{\frac{1}{\: 2-x^2}}-x\right)=2x^3\left(\sqrt{\frac{1}{\: 2-x^2}}\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}-\frac{2\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}-\frac{x^3}{x^2-2}=\frac{2x^3}{2-x^2}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}-\frac{2\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}+\frac{x^3}{x^2-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}+1-\frac{2\sqrt{2-x^2}}{x^2-2}-2+\frac{x^3}{x^2-2}+1=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2\sqrt{2-x^2}+x^2-2}{x^2-2}-\frac{2\sqrt{2-x^2}-\left(2x^2-4\right)}{x^2-2}+\frac{x^3+x^2-2}{x^2-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{x^4\left(2-x^2\right)-\left(x^2-2\right)^2}{x^2\sqrt{2-x^2}-x^2+2}}{x^2-2}-\frac{\frac{4\left(2-x^2\right)-\left(2x^2-4\right)^2}{2\sqrt{2-x^2}+\left(2x^2-4\right)}}{x^2-2}+\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+2x+2\right)}{x^2-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\frac{-\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-2\right)\left(x^2+2\right)}{x^2\sqrt{2-x^2}-x^2+2}}{x^2-2}-\frac{\frac{-4\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^2-2\right)}{2\sqrt{2-x^2}+\left(2x^2-4\right)}}{x^2-2}+\frac{\left(x-1\right)\left(x^2+2x+2\right)}{x^2-2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{\frac{-\left(x+1\right)\left(x^2-2\right)\left(x^2+2\right)}{x^2\sqrt{2-x^2}-x^2+2}}{x^2-2}-\frac{\frac{-4\left(x+1\right)\left(x^2-2\right)}{2\sqrt{2-x^2}+\left(2x^2-4\right)}}{x^2-2}+\frac{x^2+2x+2}{x^2-2}\right)=0\)

\(\Rightarrow x=1\Rightarrow y=\frac{1}{\sqrt{2-x^2}}=1\)

Ôi chúa :)) nhầm dấu thảo nào ngồi từ chiều tới giờ ko ra :))