ta có \(3x=1-\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)

<=> \(1-3x=\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\)

<=> \(\left(1-3x\right)^3=\left(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}\right)^3\)

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=\frac{25+\sqrt{621}}{2}+\frac{25-\sqrt{621}}{2}+3\left(\frac{25+\sqrt{621}}{2}\cdot\frac{25-\sqrt{621}}{2}\right)\left(1-3x\right)\)( vì  \(\sqrt[3]{\frac{25+\sqrt{621}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{25-\sqrt{621}}{2}}=1-3x\)....phía trên 2 dòng )

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=25+3\cdot1\cdot\left(1-3x\right)\)

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=25+3-9x\)

<=> \(1-9x+27x^2-27x^3=28-9x\)

<=> \(27x^3-27x^2+27=0\)

<=.\(27\left(x^3-x^2+1\right)=0\)

<=. \(x^3-x^2+1=0\)

pt \(x^3-x^2+1=0\) và pt \(x^5+x+1=0\) đều có nghiệm chung 

vậy đccm

Bài của phan tuấn anh nên bổ sung

\(x^5+x+1=\left(x^3-x^2+1\right)\left(x^2+x+1\right)=\left(x^3-x^2+1\right)\left[\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\right]\)

Sửa đề \(\hept{\begin{cases}x+y+z=1\\x^2+y^2+z^2=1\\x^3+y^3+z^3=1\end{cases}}\)

Ta có; \(\left(x+y+z\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=1\)

\(\Leftrightarrow xy+yz+zx=0\)

Ta lại có:

\(x^3+y^3+z^3-3xyz+3xyz=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)+3xyz=1\)

\(\Leftrightarrow3xyz=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=0\\z=0\end{cases}}\)

Với \(x=0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=0\\z=1\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}y=1\\z=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x+y^2+z^3=1\)

Tương tự cho các trường hợp còn lại.

sao đề sao tính?

Ta dễ dàng thấy được \(2^y\ge2\Rightarrow y\ge1\)

Xét \(y=1\Rightarrow x=0\)

Xét \(y>1\Rightarrow2^y⋮4\)

Ta chia 2 trường hợp

TH 1: \(x=2k+1\)

\(\Rightarrow5^{2k+1}+1=2.3.\left(5^{2k}-5^{2k-1}+...\right)\)

Nhận xét VT có ít nhất trong tích 1 số lẻ (3) còn vế phải là luỹ thừa của 2 nên không tồn tại giá trị thoả mãn bài toán.

TH 2: \(x=2k\left(k\ne0\right)\)

\(\Rightarrow5^{2k}+1=25^k+1\equiv2\left(mod4\right)\)

Ta có VT không chia hết cho 4 còn VP chia hết cho 4 nên loại trường hợp này.

Vậy PT có nhiệm là: \(\hept{\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}}\)

Câu hỏi của Phan Minh Trung - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Câu hỏi của Trần Đức Mạnh - Toán lớp 7 | Học trực tuyến

Sửa đề

\(\frac{sin^2x-c\text{os}^2x+c\text{os}^4x}{c\text{os}^2x-sin^2x+sin^4x}=\frac{sin^2x-c\text{os}^2x+\left(1-sin^2x\right)^2}{c\text{os}^2x-sin^2x+\left(1-c\text{os}^2x\right)^2}\)

\(=\frac{-sin^2x-c\text{os}^2x+sin^4x+1}{-c\text{os}^2x-sin^2x+c\text{os}^4x+1}\)

\(=\frac{-1+sin^4x+1}{-1+c\text{os}^4x+1}=\frac{sin^4x}{c\text{os}^4x}=tan^4x\)

Ta có: 

\(a^3+1+1+b^3+1+1+c^3+1+1\ge3\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow3\left(a+b+c\right)\le a^3+b^3+c^3+6\le9\)

\(\Rightarrow a+b+c\le3\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le3\)

Quay lại bài toán ta có:

\(\left(\frac{ab}{\sqrt{c+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b+3}}\right)^2\le\left(ab+bc+ca\right)\left(\frac{ab}{c+3}+\frac{bc}{a+3}+\frac{ca}{b+3}\right)\)

\(\le3.\left(\frac{ab}{c+3}+\frac{bc}{a+3}+\frac{ca}{b+3}\right)\)

\(\le3.\left(\frac{ab}{c+a+c+b}+\frac{bc}{a+b+a+c}+\frac{ca}{b+a+b+c}\right)\)

\(\le\frac{3}{4}.\left(\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right)\)

\(=\frac{3}{4}.\left(\frac{ca}{a+b}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{c+a}+\frac{ab}{c+a}+\frac{ca}{b+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

\(=\frac{3}{4}.\left(a+b+c\right)\le\frac{9}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{ab}{\sqrt{c+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b+3}}\le\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{2ab}{\sqrt{c+3}}+\frac{2bc}{\sqrt{a+3}}+\frac{2ca}{\sqrt{b+3}}\le3\)

PS: Được chưa 2 cô nương Hoàng Lê Bảo Ngọc, Witch Rose.

Số t khổ quá mà. Thấy có bài giải mừng húm tưởng khỏi cần giải nữa thì vô đọc bài của bác Thắng Nguyễn thấy mệt mệt. Bác lo mà úp mặt vô tường đi :(

Cái này xấu lắm đấy nhé :v, chủ thớt muốn thì post thôi @@

*)Note:\(Σ\) là tổng đối xứng viết tắt cho gọn

\(\text{∏}\) tích đối xứng viết tắt luôn :v \(\text{∏}a=abc;Σa=a+b+c\)

\(BDT\Leftrightarrow\frac{ab}{\sqrt{c+3}}+\frac{bc}{\sqrt{a+3}}+\frac{ca}{\sqrt{b+3}}\le\frac{3}{2}\)

Theo Cauchy-Schwarz và đặt \(a+b+c=3u;ab+bc+ca=3v^2;abc=w^3\)

\(\left(Σ\frac{ab}{\sqrt{c+3}}\right)^2\leΣab\cdotΣ\frac{ab}{c+3}\le\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3v^2Σab\left(a+3\right)\left(b+c\right)}{\text{∏}\left(a+3\right)}\le\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow4v^2Σ\left(a^2b^2+3a^2b+3a^2c+9ab\right)\le3\left(abc+27+Σ\left(3ab+9a\right)\right)\)

\(\Leftrightarrow4v^2\left(9v^4-6uw^3+27uv^2-9w^3+27v^2\right)\le3\left(w^3+9v^2+27+27u\right)\)

\(\Leftrightarrow w^3\left(1+12v^2+8uv^2\right)+27u+27+9v^2\ge12v^6+36uv^4+36v^4\)

A[ dụng BDT Schur có:\(w^3\ge4uv^2-3u^3\)

Nên cần cm \(\left(4uv^2-3u^3\right)\left(1+12v^2+8uv^2\right)+27u+27+9v^2\ge12v^6+36uv^4+36v^4\)

\(\Leftrightarrow32u^2v^4+12uv^4+4uv^2+9v^2+27u+27\ge12v^6+36v^4+3u^3+24u^2v^2+36u^3v^2\)

Đúng theo BĐT P-M và BĐT AM-GM 

P.s: Đọc đến đây thì cho hỏi cái đề đâu ra thế, thật sự lm ko muốn dùng cách này đâu @@ hại não, hại mắt

Câu hỏi của Ace Legona - Toán lớp 10 | Học trực tuyến

Vào đây tham khảo ! =))

Ace Legona là thangbnsh, Thắng Nguyễn cũng là thangbnsh. Đặt câu hỏi làm gì v???

Đặt: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{1+x}=a\ge0\\\sqrt{1-x}=b\ge0\end{cases}}\)

Ta có:

\(x+2=3\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1+x}\)

\(\Leftrightarrow2\left(1+x\right)+\left(1-x\right)-1=3\sqrt{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}+\sqrt{1+x}\)

\(\Leftrightarrow2a^2+b^2-3ab-a-1=0\)

 \(\Leftrightarrow\left(b+1-a\right)\left(b-1-2a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=a-1\\b=1+2a\end{cases}}\)

Tới đây thì đơn giản rồi nhé.

mk tìm ra biểu thức để liên hợp r` nà, bn có can đảm thì xài tạm liên hợp :3

\(-\frac{25\sqrt{3}-48}{13}x-\frac{8\sqrt{27}-57}{13}\)

Hình như thiếu đề nên cho cả n là số tự nhiên khác 0 nữa.

Xét n = 1 thì ta có:

\(m^2-1=\left(2x+1\right)^2-1=4\left(x^2+x\right)⋮8\)

Giả sử nó đúng tới n = k

\(\Rightarrow m^{2^k}-1=a.2^{k+2}=ay\)

\(\Rightarrow m^{2^k}=ay+1\)

Ta chứng minh nó đúng với n = k + 1

Hay \(\Rightarrow m^{2.2^k}-1⋮2^{k+2+1}\)

\(\Rightarrow\left(ay+1\right)^2-1⋮2y\)

Ta có: \(\left(ay+1\right)^2-1=a^2y^2+2ay\)

Mà \(\hept{\begin{cases}a^2y^2⋮2y\\2ay⋮2y\end{cases}}\)(do y là số chẵn)

\(\Rightarrow\)Nó đúng với n = k + 1.

Vậy theo quy nạp ta có điều phải chứng minh.

Giả sử z là số lớn nhất trong 3 số 

Từ đề bài ta có:

\(\sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x+2012}-\sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2013}-\sqrt{y+2012}=\sqrt{z+2012}-\sqrt{z+2011}+\sqrt{z+2013}-\sqrt{z+2012}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}+\frac{1}{\sqrt{y+2013}+\sqrt{y+2012}}=\frac{1}{\sqrt{z+2012}+\sqrt{z+2011}}+\frac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}\)

Ta lại có:

\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x+2012}+\sqrt{x+2011}}\ge\frac{1}{\sqrt{z+2012}+\sqrt{z+2011}}\\\frac{1}{\sqrt{y+2013}+\sqrt{y+2012}}\ge\frac{1}{\sqrt{z+2013}+\sqrt{z+2012}}\end{cases}}\)

Dấu = xảy ra khi x = y = z

Tương tự cho trường hợp x lớn nhất với y lớn nhất.

fdy 'rshniytguo;yhuyt65edip;ioy86fo87ogtb eubuiltgr6sdwjhytguyh8 ban oi bai nay mac kho giai vao cut sit

I agree with 'lien hoang' 's opinion.He needs the solution,not the answer.

Mình đồng ý với liên hoàng.Bạn đó cần lời giải chứ không cần đáp số.Có phải toán trắc nghiệm đâu!

????????????????????????????????????