Ta có:

\(2.9.8+3.12.10+...+98.297.200\)

\(=2.3.4.3.2+3.4.5.3.2+...+98.99.100.3.2\)

\(=6.\left(2.3.4+3.4.5+...+98.99.100\right)\)

Thế lại bài toán (sửa đề luôn)

\(a=\frac{2.9.8+3.12.10+...+98.297.200}{2.3.4+3.4.5+...+98.99.100}\)

\(=\frac{6.\left(2.3.4+3.4.5+...+98.99.100\right)}{2.3.4+3.4.5+...+98.99.100}=6\)

\(\Rightarrow a^2=6^2=36\)

cái mẫu là 2 . 3 hay là 23 vậy ?

Ta có: \(\frac{2017}{1}+\frac{2016}{2}+...+\frac{1}{2017}\)

\(=1+\left(\frac{2016}{2}+1\right)+\left(\frac{2015}{3}+1\right)+...+\left(\frac{1}{2017}+1\right)\)

\(=\frac{2018}{2}+\frac{2018}{3}+...+\frac{2018}{2018}\)

\(=2018\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}\right)\)

Giờ ta thế vào bài toán ban đầu được

\(A=\frac{\frac{2017}{2}+\frac{2017}{3}+...+\frac{2017}{2018}}{\frac{2017}{1}+\frac{2016}{2}+...+\frac{1}{2017}}\)

\(=\frac{2017\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}\right)}{2018\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2018}\right)}\)

\(=\frac{2017}{2018}\)  

Số 0 không có ước nhé bạn!

số 0 chỉ có 1 bội duy nhất là 0 nhé bạn.

* Ta chứng minh A = 1!+2!+....+n! không phải là số chính phương

Ta có 1!+2!+3!+4! chia 10 dư 3

5!+6!+....+n! chia hết cho 10

Vậy A chia 10 dư 3 => A không phải là số chính phương nên A không thể là lũy thừa với số mũ chẵn      (1)

* Chứng mịnh A không thể là lũy thừa với mũ lẻ

+) Với n= 4 => 1!+2!+3!+4!=33 không là lũy thừa một số nguyên

+) Với n lớn hơn hoặc bằng 5

Ta có 1!+2!+3!+4!+5! chia hết cho 9

6!+7!+....+n! chia hết cho 9

=> A chia hết cho 9

+) Ta thấy 9!+10!+...+n! chia hết cho 7

còn 1!+2!+...+8! chia cho 27 dư 9            (2)

Từ (1) và (2) suy ra A không phải là lũy thừa của một số nguyên ( với n>3 ; b>1)

Đặt a/b =5k/3k;b/c=12/21=4m/7m;c/đ=6n/11n với k,n,m \(\in\) N *

Ta co : b=3k=4m(1).Đó b là số tự nhiên => 4m : 3 . Do (4,3) = 1 

=>m : 3

Ta co : c=7m=6n(2).CM tương tự ta có : m:6

m nho nhat , khac 0 ; chia het cho 3 va 6 =>m=6. khi do b=24

Thay b=24 vao (1) co : 3k = 24 => k=8

Khi do a=5 . k = 5.8 =40 

Thay m =6 vao (2) ta co c=7 . 6 =42 ,khi do 6n=42 =>n=7

Khi do d=k . 11 =7.11 =77

Vay :a=40 ; b=24 ; c=77; d=77

Đặt a/b =5k/3k;b/c=12/21=4m/7m;c/đ=6n/11n với k,n,m $\in$∈ N *

Ta co : b=3k=4m(1).Đó b là số tự nhiên => 4m : 3 . Do (4,3) = 1 

=>m : 3

Ta co : c=7m=6n(2).CM tương tự ta có : m:6

m nho nhat , khac 0 ; chia het cho 3 va 6 =>m=6. khi do b=24

Thay b=24 vao (1) co : 3k = 24 => k=8

Khi do a=5 . k = 5.8 =40 

Thay m =6 vao (2) ta co c=7 . 6 =42 ,khi do 6n=42 =>n=7

Khi do d=k . 11 =7.11 =77

Vay :a=40 ; b=24 ; c=77; d=77

trường hợp : ab = cd + 1 

ta có a+ b = c + d 

=> b.(a+b) = b(c+d) => a.b + b² = bc + bd mà ab = cd + 1 nên 

cd + 1 + b² = bc + bd => bc - cd + bd - b² = 1 => c(b - d) + b.(d - b) = 1 => (c - b)(b - d) = 1 . Vì a, b, c, d nguyên nên c - b và b - d cũng nguyên. do đó c - b = b - d = 1 hoặc c - b = b -d = -1 

c - b = b - d => c + d = 2.b Mà c + d = a+ b => 2.b = a+ b => b = a => đpcm

Trường hợp 2: ab = cd - 1: tương tự

Ta có:

\(a+b=c+d\)

\(\Rightarrow d=a+b-c\)

Vì \(ab\) là số liền sau của \(cd\) nên \(ab-cd=1\)

Mà \(d=a+b-c\) nên ta có:

\(ab-c.\left(a+b-c\right)=1\)

\(\Rightarrow ab-ac-bc+c^2\)

\(\Rightarrow a\left(b-c\right)-c\left(b-c\right)=1\)

\(\Rightarrow\left(a-c\right)\left(b-c\right)=1\)

\(\Rightarrow a-c=b-c\)

\(\Rightarrow a=b\)

Theo đề bài , ta có :a1+a2+a3+..........+a7=b1+b2+b3+...........+b7

Ví dụ : (a1-b1)(a2-b2)........(a7-b7) là số lẻ

=>a1-b1,a2-b2,...........,a7-b7 đều lẻ

=>(a1-b1)+(a2-b2)+...........+(a7-b7) lẻ

=>(a1+a2+..........+a7)-(b1+b2+............+b7) lẻ (A)

mà a1+a2+a3+..........+a7=b1+b2+b3+..............+b7<=>(a1+a2+......+a7)-(b1+b2+.....+b7)=0 (B)

vì (A)và(B) trái ngược vs nhau <=>tích trên là số chẵn

a^3-b^3-c^3=3abc lớn hơn 0 suy ra a lớn hơn b;a lớn hơn c

suy ra 2a lớn hơn b+c

suy ra 4a lớn hơn 2(b+c)

suy ra 4 lớn hơn a

2(b+c)=a^2 chia hết cho 2

suy ra a chia hết cho 2

suy ra a=2 suy ra b=c=1

Ta có: \(a,b,c\in Z+\)

=>  abc>0 =>3abc>0

=>a³-b³-c³>0

=>\(\hept{\begin{cases}a>b\\a>c\end{cases}}\) 

=>\(a+a>b+c\)  

=>  ​\(2a>b+c\)​

=>\(4a>2\left(b+c\right)\)

=>\(4a>a^2\)=>\(4>a\)(1)

Mà a²=2(b+c) (*) chia hết cho 2 =>a chia hết cho 2     (2)

Từ (1) và (2) => a=2

Thay a=2 vào (*) =>\(b+c=2\), mà \(b,c\in Z+\) =>b=c=1

KL: (a,b,c)=(2,1,1)

Vì a là số chia hết cho 9 mà b là tổng các chữ số của a nên b chia hết cho 9.Tương tự ta có c;d cũng chia hết cho 9 và đương nhiên khác 0.Vì a gồm 2004 chữ số mà mỗi chữ số không vượt quá 9 nên b không vượt quá:   2004x9=18036.Do đó b không quá 5 chữ số và c<9x5=45

Nhưng c là số chia hết cho 9 và khác 0 nên c có thể là: 9;18;27;36.Dù trường hợp nào xảy ra ta cũng có d chia hết cho 9

Bài của Thảo: Sửa kết luận c = 9 ; 18; 27; 36 => d luôn bằng 9