a. Đặt \(S_{AOB}=c^2;S_{BOC}=a^2;S_{COA}=b^2\Rightarrow S_{ABC}=a^2+b^2+c^2\)

Ta có \(\frac{AM}{OM}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2}=1+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)

Vậy thì \(\frac{OA}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{b^2+c^2}{a^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{OA}{OM}}=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)

Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}\)

chắc =1 đó chỉ cần đọc kĩ đề thôi

Trước hết ta chứng minh \(\frac{OA}{AM}+\frac{OB}{BN}+\frac{OC}{CP}=1\)

Thậy vậy \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{ON}{CP}=\frac{S_{BOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AOB}}{S_{ABC}}=1\)

Đặt \(\frac{OM}{AM}=x;\frac{ON}{BN}=y;\frac{OP}{CP}=z\Rightarrow x+y+z=1.\)

Khi đó \(a=\frac{OA}{OM}=\frac{AM-OM}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{1}{x}-1\Rightarrow x=\frac{1}{a+1}\)

Tương tự \(\frac{OB}{ON}=b\Rightarrow y=\frac{1}{b+1};\frac{OC}{OP}=c\Rightarrow z=\frac{1}{c+1};\)

Vậy thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=1.\)

Nếu cả a, b, c đều nhỏ hơn 2 thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}>\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (Vô lý)

Vậy phải tồn tại một tỉ số không nhỏ hơn 2.

Nếu cả a, b, c đều lớn hơn 2 thì \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (Vô lý)

Vậy phải tồn tại một tỉ số không lớn hơn 2.

hiểu chưa 

hieu chet lien

Theo bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{4}{a+b+c}\ge\frac{9}{a+b+c}-\frac{4}{a+b+c}\)\(=\frac{5}{a+b+c}\ne0\)\(\Rightarrowđpcm\)

k cho minh nha

Bất đẳng thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\) chỉ đúng với x, y, z dương.

các bạn giúp mình nha mình đang cần gấp

ko bít,tự làm

Ta có\(x\sqrt{\frac{\left(2015+y^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+x^2}}=x\sqrt{\frac{\left(xy+yz+zx+y^2\right)\left(xy+yz+zx+z^2\right)}{xy+yz+zx+x^2}}\)

\(=x\sqrt{\frac{\left(y+z\right)\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(y+z\right)}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}=x\sqrt{\left(y+z\right)^2}=xy+xz\)

Tương tự:\(y\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+z^2\right)}{2015+y^2}}=yx+yz\)

               \(z\sqrt{\frac{\left(2015+x^2\right)\left(2015+y^2\right)}{2015+z^2}}=zx+zy\)

Ta có :\(P=xy+xz+yx+yz+zx+zy=2\left(xy+yz+zx\right)=4030\)

=>P không phải là số chính phương

Toán Tuổi Thơ 2 chứ j,thế mà vẫn dc vào câu hỏi hay

Bài toán phụ: chứng minh \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) với \(x,y\in R\)

Giải: Ta có: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2+2xy+y^2-4xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2-2xy+y^2\ge0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-y\right)^2\ge0\) (luôn đúng).

Vậy \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\) dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y.\)

Theo đề ta có \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{\sqrt{abc}}=\frac{1}{\sqrt{abc}}\)

Suy ra \(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=1\)

Mặt khác \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2=4\)

\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c+2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)=4\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c+2=4\)\(\Leftrightarrow\)\(a+b+c=2\)

Theo bài toán phụ ta có: \(\left(a+b+c\right)^2=\left[a+\left(b+c\right)\right]^2\ge4a\left(b+c\right)\)

Mà \(a+b+c=2\)\(\Rightarrow\)\(4\ge4a\left(b+c\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(1\ge a\left(b+c\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(b+c\ge a\left(b+c\right)^2\)

Do \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\) nên \(a\left(b+c\right)^2\ge4abc\) hay \(b+c\ge4abc\) (đpcm).

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a=b+c\\b=c\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\)\(b=c=\frac{1}{2},\) \(a=1\)

trường hợp 1 tam giác ABC là tam giác đều nên =>AB=BC=AC

=> AC+AC=AB+BC

=>2AC=AB+BC

vậy 2AC=AB+BC trong trường hợp B= 60 độ

TH2:tam giác ABC là tam giác vuông tại B(góc B=90 độ)

=>AC<BC+AB(loại)

TH3: tam giác ABC có góc B lớn hơn 90 độ

=>AC >AB+BC(loại)

TH4: tam giác ABC có góc B nhỏ hơn 60 độ

A B C D E F

ta có:D;E lần lượt là trung điểm của BA và BC

và FA=AD=DB

FC=EC=EB

=>AC+AC=AD+DB+EC+EB=AB+BC

=>2AC=AB+BC

từ 4 trường hợp trên =>BC+AB=2AC khi và chỉ khi góc \(\widehat{B}\le60^o\)

xin lỗi mk mới học lp 7 nên ko đc chắc chắn