Nhận xét: \(b^3c-cb^3=0;b^2c-cb^2=0.\).Nên phân thức trở thành:

\(\frac{a^3b-ab^3+c^3a-ca^3}{a^2b-ab^2+c^2a-ca^2}=\frac{a^3\left(b-c\right)-a\left(b^3-c^3\right)}{a^2\left(b-c\right)-a\left(b^2-c^2\right)}\)
\(=\frac{a\left(b-c\right)\left\{a^2-\left(b^2-bc+c^2\right)\right\}}{a\left(b-c\right)\left\{a-\left(b+c\right)\right\}}\)
\(=\frac{a^2-\left(b^2-bc+c^2\right)}{a-\left(b+c\right)}=\frac{a^2-\left(b+c\right)^2+3bc}{a-\left(b+c\right)}\)
\(=a+b+c+\frac{3bc}{a-b-c}\).

Em tự vẽ hình nhé. Ý sau cô nói rõ yêu cầu hơn là chứng minh hình bình hành MNPQ có chu vi bằng tổng độ dài hai đường chéo của tứ giác ABCD.

Xét tứ giác EFMN có OF = ON; OE = OM nên nó là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Vậy thì MN // EF // AC và MN = EF = AC / 2 (Vì EF là đường trung bình tam giác BAC).

Hoàn toàn tương tự: QP // GH // AC và QP = GH = AC/2.

Vậy MNPQ là hình bình hành (Cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Khi đó ta có:

 \(p_{MNPQ}=PQ+PN+NM+MQ=\left(PQ+MN\right)+\left(MQ+PN\right)=AC+BD.\)

Vậy ta đã chứng minh xong bài toán.

Cô ơi em ko hiểu.Theo em thì ta phải cm MN//=AC và PQ//=AC

\(\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a+b}\Leftrightarrow\frac{x^4}{a}+\frac{y^4}{b}=\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^4b+y^4a}{ab}=\frac{\left(x^4+y^4+2x^2y^2\right)}{a+b}\Rightarrow x^4ab+x^4b^2+y^4ab+y^4a^2=x^4ab+y^4ab+2x^2y^2ab\)
\(\Leftrightarrow x^4b^2+y^4a^2-2x^2y^2ab=0\Leftrightarrow\left(x^2b-y^2a\right)^2=0\Leftrightarrow x^2b=y^2a\Leftrightarrow\frac{x^2}{a}=\frac{y^2}{b}=\frac{x^2+y^2}{a+b}\)
\(\Rightarrow\frac{x^{2010}}{a^{1006}}+\frac{y^{2012}}{b^{1006}}=\frac{2\left(x^2+y^2\right)^{1006}}{\left(a+b\right)^{1006}}=\frac{2}{\left(a+b\right)^{1006}}\)
 

Nếu để ý thì bài này dùng coossi sờ vác ngay bước đầu sẽ ngắn đi rất nhiều 

Câu 1 thì mình biết làm đó.

Vì 2013 chia 7 dư 4 nên 2013²⁰¹² chia 7 cũng dư 4

chắc là 2 đấy

Có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)
 \(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{a+b+c}-\frac{1}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{a.b}=\frac{-\left(a+b\right)}{c\left(a+b+c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)c\left(a+b+c\right)=-\left(a+b\right)ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(ca+cb+c^2+ab\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)=0.\)
Vậy: hoặc a + b = 0 hoặc c + a = 0 hoặc c + b =0.
Vai trò của a, b, c như nhau nên giả sử \(a+b=0\Leftrightarrow a=-b.\)
Khi đó: \(\frac{1}{a^{2007}}+\frac{1}{b^{2007}}+\frac{1}{c^{2007}}=\frac{1}{a^{2007}}+\frac{1}{\left(-a\right)^{2007}}+\frac{1}{c^{2007}}=\frac{1}{c^{2007}}.\)
           \(\frac{1}{a^{2007}+b^{2007}+c^{2007}}=\frac{1}{a^{2007}+\left(-a\right)^{2007}+c^{2007}}=\frac{1}{c^{2007}}.\)
Vậy: \(\frac{1}{a^{2007}}+\frac{1}{b^{2007}}+\frac{1}{c^{2007}}=\frac{1}{a^{2007}+b^{2007}+c^{2007}}.\)(đpcm).

bạn béo 

T-T MÌNH KO HIỂU

thiếu đề nhưng mk đã làm 1 bài giống thế này nên biết đoạn sau của nó như sau: CMR:AB+BC+CA>3/2(AH+BH+CH)...Nếu ko đúng thì bỏ qua nhé!

Nếu chỉ có BDT đươn thuần thì : 
Qua H kẻ đt // AC cắt AB tại X và đt // AB cắt AC tại Y => XHY là hbh và HX vg BH, HY vg CH 
AB + AC = BX + (XA + AY) + YC = BX + (AX + XH) + YC > HB + HA + HC 
Tương tự có BA + BC > HA + HB + HC, CA + CB > HA + HB + HC 
Cộng vế theo vế 3 bđt ta có 2(AB + AC + BC) > 3(HA + HB + HC) 
```````````````````````````````````````... 
Ta se Cm một BDT mạnh hơn và toàn diện hơn 
Giả sử a >=b >= c. Do 2S = a ha = b hb = c hc =>ha <= hb <= hc 
Goij A1; B1 ; C1 lan luot la hinh chieu cua A; B : C len cac canh cua Tam giac ABC 
Ta co ha = AH.S/( Sb + Sc) ≤ hb = BH.S/(Sa + Sc) => AH( Sa + Sc) ≤ BH( Sb + Sc) (1 ) 
Ta se CM Sa ≥ Sb 
DO Sa/Sb = BC1/AC1 = BC cosB /( AC cosA) = sinA cosB/(sinB cosA) = tanA/tanB ≥ 1 do a ≥ b suy ra Sa≥ Sb => Sa + Sc ≥ Sb + Sc ( 2) 
Tu (1) va (2 ) suy ra AH ≤ BH, tuong tu ta suy ra BH ≤ CH do do AH ≤ BH ≤ CH \ 
Do 6S = a ha + b hb + c hc = aAH + b BH + c CH + 2(Sa+Sb+Sc) = 
= aAH + b BH + c CH +2S => aAH + b BH + c CH = 4S 
Áp dụng BDT che-bu-sep ta co (a+b+c)(AH + BH + CH) <= 3( a AH + b BH + c CH) 

= 12S = 6absinC = 24R^2 sinA sinB sinC 
Ta dự đoán 12R^2 sinA sinB sinC <= 1/(2√3) (a+b+c)^2 = 2/(√3)R^2 * ( sinA + sinB + sinC)^2 
<=> sinA sinB sinC < = 1/(6√3) ( sinA + sinB + sinC)^2 
Ta có (sinA + sinB + sinC )^2 <= 3( sin^2A + sin^2B + sin^2C) = 
= 3/2 ( 2 - cos^2C + cosC cos( A-B) ) <= 3/2 ( 2 -cos^2C + cosC) 
<= 27/4 =>sinA + sinB + sinC ≤ 3√3/2 
=> 3√3/2 ≥ 3³√(sinA sinB sinC) => ³√(sinA sinB sinC) ≤ √3/2 
suy ra (sinA + sinB + sinC)²/(sinA sinB sinC) ≥ 9/³√(sinA sinB sinC) ≥ 6√3 
Từ đó suy ra (a+b+c)(AH + BH + CH) ≤ √3/3 ( a + b + c )² => 
=> 3/2( AH + BH + CH) ≤ √3/2 (a+b+c) < a + b + c 

THIẾU ĐỀ NHƯNG MÌNH LÀM BÀI TƯƠNG TỰ GIỐNG BÀI CỦA BẠN NHA !

Nếu chỉ có BDT đươn thuần thì : 
Qua H kẻ đt // AC cắt AB tại X và đt // AB cắt AC tại Y => XHY là hbh và HX vg BH, HY vg CH 
AB + AC = BX + (XA + AY) + YC = BX + (AX + XH) + YC > HB + HA + HC 
Tương tự có BA + BC > HA + HB + HC, CA + CB > HA + HB + HC 
Cộng vế theo vế 3 bđt ta có 2(AB + AC + BC) > 3(HA + HB + HC) 
```````````````````````````````````````... 
Ta se Cm một BDT mạnh hơn và toàn diện hơn 
Giả sử a >=b >= c. Do 2S = a ha = b hb = c hc =>ha <= hb <= hc 
Goij A1; B1 ; C1 lan luot la hinh chieu cua A; B : C len cac canh cua Tam giac ABC 
Ta co ha = AH.S/( Sb + Sc) ≤ hb = BH.S/(Sa + Sc) => AH( Sa + Sc) ≤ BH( Sb + Sc) (1 ) 
Ta se CM Sa ≥ Sb 
DO Sa/Sb = BC1/AC1 = BC cosB /( AC cosA) = sinA cosB/(sinB cosA) = tanA/tanB ≥ 1 do a ≥ b suy ra Sa≥ Sb => Sa + Sc ≥ Sb + Sc ( 2) 
Tu (1) va (2 ) suy ra AH ≤ BH, tuong tu ta suy ra BH ≤ CH do do AH ≤ BH ≤ CH \ 
Do 6S = a ha + b hb + c hc = aAH + b BH + c CH + 2(Sa+Sb+Sc) = 
= aAH + b BH + c CH +2S => aAH + b BH + c CH = 4S 
Áp dụng BDT che-bu-sep ta co (a+b+c)(AH + BH + CH) <= 3( a AH + b BH + c CH) 

= 12S = 6absinC = 24R^2 sinA sinB sinC 
Ta dự đoán 12R^2 sinA sinB sinC <= 1/(2√3) (a+b+c)^2 = 2/(√3)R^2 * ( sinA + sinB + sinC)^2 
<=> sinA sinB sinC < = 1/(6√3) ( sinA + sinB + sinC)^2 
Ta có (sinA + sinB + sinC )^2 <= 3( sin^2A + sin^2B + sin^2C) = 
= 3/2 ( 2 - cos^2C + cosC cos( A-B) ) <= 3/2 ( 2 -cos^2C + cosC) 
<= 27/4 =>sinA + sinB + sinC ≤ 3√3/2 
=> 3√3/2 ≥ 3³√(sinA sinB sinC) => ³√(sinA sinB sinC) ≤ √3/2 
suy ra (sinA + sinB + sinC)²/(sinA sinB sinC) ≥ 9/³√(sinA sinB sinC) ≥ 6√3 
Từ đó suy ra (a+b+c)(AH + BH + CH) ≤ √3/3 ( a + b + c )² => 
=> 3/2( AH + BH + CH) ≤ √3/2 (a+b+c) < a + b + c 
```````````````````````````````````````... 
Rõ ràng BDT cuối mà ta cm dc mạnh hơn BDT cần CM