Dễ thấy \(0< a,b,c< \frac{3}{2}\)

Thật vậy nếu g/s ngược lại tồn tại 1 số >= 3/2 và g/s đó là a

\(\Rightarrow a\ge b+c\) mâu thuẫn với BĐT tam giác nên ta có điều như trên

Ta có: \(\left(\frac{3}{2}-a\right)+\left(\frac{3}{2}-b\right)+\left(\frac{3}{2}-c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{3}{2}-a\right)\left(\frac{3}{2}-b\right)\left(\frac{3}{2}-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{2}-\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{3}{2}-a\right)\left(\frac{3}{2}-b\right)\left(\frac{3}{2}-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\sqrt[3]{\left(\frac{3}{2}-a\right)\left(\frac{3}{2}-b\right)\left(\frac{3}{2}-c\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge\left(\frac{3}{2}-a\right)\left(\frac{3}{2}-b\right)\left(\frac{3}{2}-c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge\left(\frac{9}{4}-\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}b+ab\right)\left(\frac{3}{2}-c\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge\frac{27}{8}-\frac{9}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge\frac{27}{8}-\frac{27}{4}+\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)-abc\le\frac{7}{2}\)

\(\Leftrightarrow6\left(ab+bc+ca\right)-4abc\le14\)

\(\Leftrightarrow4abc\ge6\left(ab+bc+ca\right)-14\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+4abc\ge3\left(a+b+c\right)^2-14\)

\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+4abc\ge13\)

Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1

Dễ thấy tiệm cân đứng của \(\left(C\right)\) là \(d_1:x+1=0\), tiệm cân ngang là \(d_2:y-2=0\)

Vì \(M\in\left(C\right)\) nên  \(M\left(x_0;\frac{2x_0-1}{x_0+1}\right)\), ta có:

\(d\left(M,d_1\right)=\left|x_0+1\right|;d\left(M,d_2\right)=\left|\frac{2x_0-1}{x_0+1}-2\right|=\left|\frac{-3}{x_0+1}\right|\)

Suy ra \(d\left(M,d_1\right)+d\left(M,d_2\right)=\left|x_0+1\right|+\left|\frac{-3}{x_0+1}\right|\ge2\sqrt{\left|x_0+1\right|.\left|\frac{-3}{x_0+1}\right|}=2\sqrt{3}\)

Đạt được khi \(M\left(\sqrt{3}-1;2-\sqrt{3}\right)\) hoặc \(M\left(-\sqrt{3}-1;2+\sqrt{3}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có \(\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\le2\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)\(=abc\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Theo một bất đẳng thức quen thuộc ta có \(abc\left(a+b+c\right)\le\frac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\)

Từ đó ta được \(abc\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(ab+bc+ca\right)^2}{3}\)\(\le\frac{\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+ab+bc+ca\right)^3}{3^4}=\frac{\left(a+b+c\right)^6}{3^4}\)

Do đó ta có \(\left(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\right)^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^6}{3^4}\)hay \(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{3^2}\)(*)

Dễ dàng chứng minh được \(a^3+b^3+c^3\ge\frac{\left(a+b+c\right)^3}{9}\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra \(a^3+b^3+c^3\ge a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\)

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt[3]{2}\)

Xét hiệu : \(a^3+b^3-ab\left(a+b\right)=\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0,\forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM :
\(a^3+b^3+2c^3\ge ab\left(a+b\right)+2c^3\ge2\sqrt{ab\left(a+b\right).2c^3}=2\sqrt{4c^2\left(a+b\right)}\)

\(=4c\sqrt{a+b}\)

Hoàn toàn tương tự

\(a^3+2b^3+c^3\ge4b\sqrt{a+c};2a^3+b^3+c^3\ge4a\sqrt{b+c}\)

Cộng thao vế bất đẳng thức vừa thu được

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt[3]{2}\)

Chúc bạn học tốt !!!

gấp lắm ạ

                             Bài giải

   Số kg đường còn lại của cửa hàng bán được vào buổi sáng là :

             150 - 100 = 50 ( kg )

 Số kg đường buổi chiều cửa hàng bán được là :

       50 x 3/5 = 30 ( kg )

Cả hai buổi cửa hàng bán được số kg đường là :

        100 + 30 = 130 ( kg )

              Đáp số : 130 kg

nếu đúng thì ủng hộ tớ nha

Sau khi bán 100kg đường còn: 

150 - 100 = 50 ( kg )

Buổi chiều bán đc là: 

50 × \(\frac{3}{5}\)= 30 ( kg ) 

Cả 2 buổi cửa hàng bán đc:

150 - ( 100 + 30 ) = 20 ( kg ) 

Chúc may mắn

a) Diện tích xung quanh của phòng học là:

    (8 + 6) × 2 × 3,4 =  48,8 (m²)

Diện tích trần nhà của phòng học là:

    8 × 6 = 48 (m²)

Diện tích cần sơn là:

  48,8  + 48 - 15 = 81,8 (m²)

b) Sơn phòng học đó hết số tiền là:

    81,8 × 25 000 = 2045000 (đồng)

                            Đáp số: a) 81,8 m²

                                          b) 2045000 đồng 

Sơ đồ :

Mẹ :  |-----|------|------|

Con : |-----| _24____|

Tuổi mẹ 3 năm nữa là :

24 : (3 - 1) x 3 = 36 (tuổi)

Tuổi mẹ hiện nay là ;

36 - 3 = 33 (tuổi)

Tuổi con hiện nay là :

33 - 24 = 9 (tuổi) 

Đáp số:Con9 tuổi. Mẹ hơn con 24 tuổi. Sau ba năm nữa tuổi mẹ sẽ gấp 3 lần tuổi con.