cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn \(x^2+y^2+z^2=3xyz\) chứng minh \(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{3}{2}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
30 tháng 1 2021
Đặt \(S=1!+2!+3!+...+n!\)
Xét :
- \(n=1\)
\(\Rightarrow\)\(S=1!=1\)(là số chính phương)
\(\Rightarrow\)Chọn
- \(n=2\)
\(\Rightarrow S=1!+2!=1+2=3\)(không là số chính phương )
\(\Rightarrow\)Loại
- \(n=3\)
\(\Rightarrow S=1!+2!+3!=1+2+6=9\)(là số chính phương)
- \(n\ge4\)
\(\Rightarrow S=1!+2!+3!+4!+...+n!=33+5!+...+n!\)
\(=33+\overline{...0}+\overline{...0}+...+\overline{...0}=\overline{...3}\)
Vì số chính phương luôn không có tận cùng là 3
\(\Rightarrow\)Loại
Vậy \(n=1\)hoặc \(n=3\)
Ta có: \(\frac{x^2}{x^4+yz}\le\frac{x^2}{2\sqrt{x^4.yz}}=\frac{x^2}{2x^2\sqrt{yz}}=\frac{1}{2\sqrt{yz}}\)(BĐt cosi) (1)
CMTT: \(\frac{y^2}{y^4+xz}\le\frac{1}{2\sqrt{xz}}\) (2)
\(\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2\sqrt{xy}}\)(3)
Từ (1); (2) và (3) =>A = \(\frac{x^2}{x^4+yz}+\frac{y^2}{y^4+xz}+\frac{z^2}{z^4+xy}\le\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{xz}}+\frac{1}{\sqrt{yz}}+\frac{1}{\sqrt{xy}}\right)\)
Áp dụng bđt \(ab+bc+ac\le a^2+b^2+c^2\)
cmt đúng: <=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Khi đó: A \(\le\frac{1}{2}\cdot\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{xy+yz+xz}{xyz}\le\frac{1}{2}\cdot\frac{x^2+y^2+z^2}{xyz}=\frac{3xyz}{2xyz}=\frac{3}{2}\)