Sửa lại đề : A < 90*

a, Chứng minh 

\(\Delta ABD=\Delta ACE\left(c.g.c\right)\)

\(\RightarrowĐPCM\)

b, CM được :

\(\widehat{ADE}\)\(=\)\(\widehat{ACB}\)\(=\)\(\frac{180'-\widehat{BAC}}{2}\)

\(\Rightarrow DE//BC\)

c, CM được : \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

\(\RightarrowĐPCM\)

d, Gọi M là giao điểm của AI và BC ,

CM được AI là tia phân giác của góc \(\widehat{BAC}\), từ đó \(\widehat{AMB}\)\(=90'\)

\(\RightarrowĐPCM\)

A D E C M B I

HAHA

Từ gt => \(\Delta OAB\)  vuông tại B và \(\Delta OAC\) vuông tại C

\(\Rightarrow\widehat{OAB}+\widehat{AOB}=90^o,\widehat{OAC}+\widehat{AOC}=90^o\)

\(\Rightarrow\left(\widehat{OAB}+\widehat{OAC}\right)+\left(\widehat{AOB}+\widehat{AOC}\right)=180^O\)

Hay \(\widehat{BAC}+\widehat{BOC}=180^O\Rightarrow\widehat{BOC}=180^o-\alpha\)

\(\Rightarrow\) số đo \(\widebat{BmC}=180^o-\alpha\)  và số đo \(\widebat{BnC=180^o+\alpha}\)

A B C O

Xét tam giascOAC cân tại O nên ta có góc \(\widehat{CAO}=\widehat{ACO}\)

mà ta có \(sd \widebat{BC}=\widehat{BOC}=\widehat{OCA}+\widehat{CAO}=2\widehat{CAO}=2\widehat{CAB}\)

vajay ta cos dpcm

Vẽ đường kính AK

+) Dễ có: ^KBC = ^KAC (2 góc nội tiếp cùng chắn cung KC) (1)

+) ^ABK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên ^ABK = 90⁰

 Có: ^KBC + ^CBA = ^ABK = 90⁰ (cmt)

       ^BAH + ^CBA = 90⁰ (∆ABH vuông tại H)

Từ đó suy ra ^KBC = ^BAH                                                    (2)

Từ (1) và (2) suy ra ^BAH = ^KAC hay ^BAH = ^OAC (đpcm)

Kẻ đường kính AE của đường tròn ( O) . Ta thấy \(\widehat{ACE}=90^o\)( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\(\Rightarrow\widehat{OAC}+\widehat{AEC}=90^o\) (1)

Theo gt, ta có: \(\widehat{BAH}+\widehat{ABC}=90^O\) (2)

Lại có: \(\widehat{AEC}=\widehat{ABC}\) (3)

Từ (1), (2), (3) => đpcm

a) Xét 2 TH:

- TH \(P_x,P_y\) nằm về 2 phía của đường kính kẻ qua P ( TH còn lại tương tự)

Kẻ \(OI\perp P_x\) ta có: 

\(IP=IE,IA=IB\)

\(\Rightarrow PI-AI=EI-BI\) hay PA=BE ( đpcm)

b) Kẻ \(OK\perp P_y\)

Trong đường tròn \(\left(O;r\right)\), vì AB>CD => OI<OK

Khi đó trong đường tròn \(\Rightarrow PE>PF\)

Theo định lý về mối quan hệ giữa dây và cung , trong đường tròn \(\left(O;R\right)\)

ta có: cung PE > cung PF ( đpcm)

Giải :

a) kẻ OH vuông góc với PE bà AB

⇒ H là trđ PE, AB

hay HP = HE, HA = HB 

⇒ HP - HA = HE - HB

⇒ AP = BE.

b) kẻ OK vuông góc với PF

-Xét (O;r) có : AB > CD ( gt)

⇒ OH < OK ( mối liên hệ giữa dây và k/c từ tâm đến dây )

-Xét (O;R) có : OH < OK (cmt ) 

⇒ PE> PF.

Gọi R là độ dài bán kính của đường tròn (O)

Khi đó ta sẽ biểu diễn được: \(\hept{\begin{cases}OH=OC-HC=R-h\\OB=R\end{cases}}\)

Áp dụng định lý Pytago ta có: 

\(OH^2+HB^2=OB^2\)

\(\Leftrightarrow\left(R-h\right)^2+a^2=R^2\)

\(\Leftrightarrow R^2-2Rh+h^2+a^2=R^2\)

\(\Leftrightarrow2Rh=h^2+a^2\)

\(\Rightarrow R=\frac{h^2+a^2}{2h}\)

Vậy \(R=\frac{h^2+a^2}{2h}\)

Đặt bán kính đường tròn là x

Ta có: OB=x, OC=x, HC=h, HB=a

⇒OH=OC-HC=x-h

Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHB:

OB² = OH² + HB²

⇔x²=(x - h)²  + a²

⇔2xh =a²  + h²⇔x =\(\dfrac{a^2\text{ +}h^2}{2h}\)

Số lớn nhất có bốn chữ số mà tổng các chữ số của nó đều bằng 3 là 3000

Số bé nhất có bốn chữ số mà tổng các chữ số của nó đều bằng 3 là 1002

Giải

  Số lớn nhất có bốn chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đều bằng 3 là : 3000

 Số số bé nhất có bốn chữ số mà tổng các chữ số của mỗi số đều bằng 3 là : 1002

Gọi F là trung điểm của CD

Có FE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông CDE

⇒FE=CF=FD=BC=CD/2

⇒ ΔCFE cân

Mà 180 độ−∠BCA=∠FCE

⇒∠FCE=60 độ

⇒ΔCFE đều

=> CF=FE=CE

Xét tam giác BFE và DCE có:

CE=FE

∠FCE=∠CFE=60 độ

BF=CD(BC=CF=FD)

⇒ Δ BFE = Δ DCE (c-g-c)

∠FBE=∠CDE=90 độ−60 độ=30 độ

=> ΔBED cân tại E

⇒BE=ED (1)

Xét Δ ABC có:

∠ABC+∠ACB+∠BAC=180 độ

⇒∠CAB=180 độ −(∠ABC+∠ACB)=180−165=15 độ

Mà ∠EBA+∠FBE=∠CBA=45 độ

⇒∠EBA=45−30=15 độ

⇒ ∠EBA=∠CAB=15 độ

⇒ ΔBEA cân tại E

=> BE=AE (2)

từ (1) và (2) => ED=AE.

=> ΔADE cân tại E

Đồng thời tam giác ADE có ∠DEA=90 độ

⇒ ΔADE là tam giác cân vuông

⇒∠EDA=∠DAE=90/2=45 độ

Mà ∠BDA=∠CDE+∠EDA=30+45=75 độ

\(\left(x-3\right)\left(x2-4\right)=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x-3=0\\2x-4=0\end{cases}}\)

\(\orbr{\begin{cases}x=3\\2x=4\end{cases}}\)

\(\orbr{\begin{cases}x=3\\x=2\end{cases}}\)

Vậy \(x=\left\{2,3\right\}\)