Ta có \(A=\frac{3}{5^3}+\frac{4}{5^4}+...+\frac{102}{5^{102}}+\frac{103}{5^{103}}\)

=> 5A = \(\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^3}+...+\frac{102}{5^{101}}+\frac{103}{5^{102}}\)

Khi đó 5A - A = \(\left(\frac{3}{5^2}+\frac{4}{5^3}+...+\frac{102}{5^{101}}+\frac{103}{5^{102}}\right)-\left(\frac{3}{5^3}+\frac{4}{5^4}+...+\frac{102}{5^{102}}+\frac{103}{5^{103}}\right)\)

=> 4A = \(\frac{3}{5^2}+\left(\frac{1}{5^3}+\frac{1}{5^4}+...+\frac{1}{5^{102}}\right)-\frac{103}{5^{103}}\)

=> 4A = \(\frac{3}{5^2}+\frac{\frac{1}{5^2}-\frac{1}{5^{102}}}{4}-\frac{103}{5^{103}}\)

=> A = \(\frac{3}{5^2.4}+\left(\frac{1}{5^2}-\frac{1}{5^{102}}\right).\frac{1}{16}-\frac{103}{5^{103}.4}\)

=> A = \(\frac{3}{100}+\frac{1}{5^2}.\frac{1}{16}\left(1-\frac{1}{5^{100}}\right)-\frac{103}{5^{103}.4}=\frac{3}{100}+\frac{1}{400}\left(1-\frac{1}{5^{100}}\right)-\frac{103}{5^{103}.4}\)

       \(=\frac{3}{100}+\frac{1}{400}-\frac{1}{400.5^{100}}-\frac{103}{5^{103}.4}=\frac{13}{400}-\frac{1}{400.5^{100}}-\frac{103}{5^{103}.4}< \frac{13}{400}\left(\text{ĐPCM}\right)\)

Vậy \(A< \frac{13}{400}\)(đpcm)

Gọi d là ƯC( n + 2 ; 2n + 3 )

=> \(\hept{\begin{cases}n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2\left(n+2\right)⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+4⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}}\)

=> \(2n+4-\left(2n+3\right)⋮d\)

=> \(1⋮d\)=> \(d=1\)

=> ƯCLN( n + 2 ; 2n + 3 ) = 1

hay n + 2 ; 2n + 3 là hai số nguyên tố cùng nhau 

ta giả sử n>3

tức là tồn tại ít nhất 4 số a,b,c sao cho \(\hept{\begin{cases}a+b=2020^x\\b+c=2020^y\\c+d=2020^z\end{cases}}\)và \(\hept{\begin{cases}a+c=2020^m\\a+d=2020^n\\b+d=2020^p\end{cases}}\) với x,y,z,m,n,p là các số tự nhiên phân biệt

dễ thấy \(a+b+c+d=2020^x+2020^z=2020^m+2020^p\)

điều này là vô lý do x,z,m,p là phân biệt

( c/m : g/s max của x,z,m,p là x thì rõ ràng vế trái lớn hơn vế phải)

vậy giả sử là sai hay \(n\le3\)

ta chỉ ra n=3 thỏa mãn

tức là tồn tại ít nhất 3 số a,b,c sao cho \(\hept{\begin{cases}a+b=2020^x\\b+c=2020^y\\c+a=2020^z\end{cases}}\)với mọi x,y,z là các số tự nhiên phân biệt cho trước 

giải hệ trên ta có \(\hept{\begin{cases}a=\frac{2020^x+2020^z-2020^y}{2}\\b=\frac{2020^x+2020^y-2020^z}{2}\\c=\frac{2020^y+2020^z-2020^x}{2}\end{cases}}\)dễ thấy a,b,c là các số tự nhiên thỏa mãn

vậy giá trị lớn nhất của n là 3

a) Gọi d = ƯCLN(2n+5; 3n+7) (d thuộc N*)

=> 2n + 5 chia hết cho d; 3n + 7 chia hết cho d

=> 3.(2n + 5) chia hết cho d; 2.(3n + 7) chia hết cho d

=> 6n + 15 chia hết cho d; 6n + 14 chia hết cho d

=> (6n + 15) - (6n + 14) chia hết cho d

=> 6n + 15 - 6n - 14 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(2n+5; 3n+7) = 1

=> 2n + 5 và 3n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Câu b lm tương tự

 Gọi d = ƯCLN(2n+5; 3n+7) (d thuộc N*)

=> 2n + 5 chia hết cho d; 3n + 7 chia hết cho d

=> 3.(2n + 5) chia hết cho d; 2.(3n + 7) chia hết cho d

=> 6n + 15 chia hết cho d; 6n + 14 chia hết cho d

=> (6n + 15) - (6n + 14) chia hết cho d

=> 6n + 15 - 6n - 14 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

Mà d thuộc N* => d = 1

=> ƯCLN(2n+5; 3n+7) = 1

=> 2n + 5 và 3n + 7 là 2 số nguyên tố cùng nhau (đpcm)

Câu b lm tương tự