Ta có : A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²¹

=> 2A = 2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²²

Khi đó 2A - A = (2² + 2³ + 2⁴ + ... + 2²⁰²²) - (2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²¹)

                A = 2²⁰²² - 2

b) Ta có A + 2 = 2²⁰²² - 2 + 2 = 2²⁰²² => A + 2 là lũy thừa của 2

c) Ta có A + 2 = 2^{x + 1}

=> 2²⁰²² = 2^{x + 1}

=> x + 1 = 2022

=> x = 2021

d) Ta có 3.2²⁰²² = (2 + 1).2²⁰²² = 2²⁰²³ + 2²⁰²² > 2²⁰²² - 2 = A 

Vậy  3.2²⁰²² > A 

a) A = 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²¹

=> 2A = 2² + 2³ + ... + 2²⁰²²

=> A = 2A - A

         = 2² + 2³ + ... + 2²⁰²² - ( 2 + 2² + 2³ + ... + 2²⁰²¹ )

         = 2² + 2³ + ... + 2²⁰²² - 2 - 2² - 2³ - ... - 2²⁰²¹ 

         = 2²⁰²² - 2

b) Ta có A + 2 = 2²⁰²² - 2 + 2 = 2²⁰²² ( đpcm )

c) A + 2 = 2^x+1

<=> 2²⁰²² - 2 + 2 = 2^x+1

<=> 2²⁰²² = 2^x+1

<=> 2022 = x + 1

<=> x = 2021

d) Ta có3.2²⁰²² = (1+2).2²⁰²² = 2²⁰²² + 2²⁰²³ > 2²⁰²² - 2

=> 3.2²⁰⁰² > A

(2x - 1)⁶ = (2x - 1)⁴

=> (2x - 1)⁶ - (2x - 1)⁴ = 0

=> (2x - 1)⁴.[(2x - 1)² - 1] = 0

=> \(\orbr{\begin{cases}\left(2x-1\right)^4=0\\\left(2x-1\right)^2-1=0\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x-1=0\\\left(2x-1\right)^2=1\end{cases}}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}2x-1=0\\2x-1=\pm1\end{cases}}\)

Khi 2x - 1 = 0 => x = 1/2

Khi 2x - 1 = -1 => x = 0

Khi 2x - 1 = 1 => x = 1

Vậy \(x\in\left\{\frac{1}{2};0;1\right\}\)là giá trị cần tìm

( 2x - 1 )⁶ = ( 2x - 1 )⁴

<=> ( 2x - 1 )⁶ - ( 2x - 1 )⁴ = 0

<=> ( 2x - 1 )⁴[ ( 2x - 1 )² - 1 ] = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}\left(2x-1\right)^4=0\\\left(2x-1\right)^2-1=0\end{cases}}\)

<=> \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\x=1\\x=0\end{cases}}\)( thay = dấu hoặc hộ nhé )

trong 1 giờ người đó đi đc là:200:3=200/3

trong 4 giờ người đó đi được là

:200/3*4=800/3

                                          Bài giải

                 1 giờ người đó đi được số mét là:

                              \(200\div4=50\left(m\right)\)

                 4 giờ người đó đi được số mét là:

                              \(50\times3=150\left(m\right)\)

                                        Đáp số: \(150m\)

\(\sin^25x+1=\cos^23x\)

<=> \(\sin^25x+1-\cos^23x=0\)

<=> \(\frac{1-\cos10x}{2}+1-\frac{\cos6x+1}{2}=0\)

<=> \(\cos10x+\cos6x=2\)

Mà \(\cos10x;\cos6x\ge1\)=> \(\cos10x+\cos6x\ge2\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\cos10x=1\\\cos6x=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}10x=k2\pi\\6x=l2\pi\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{k\pi}{5}\\x=\frac{l\pi}{3}\end{cases}};k,l\in Z\Leftrightarrow x=m\pi;m\in\)

Dạ em cảm ơn cô nhiều ạ 

1. BĐT tương đương với \(6\left(a^2+b^2\right)-2ab+8-4\left(a\sqrt{b^2+1}+b\sqrt{a^2+1}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left[a^2-4a\sqrt{b^2+1}+4\left(b^2+1\right)\right]+\left[b^2-4b\sqrt{a^2+1}+4\left(a^2+1\right)\right]\)\(+\left(a^2-2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{b^2+1}\right)^2+\left(b-2\sqrt{a^2+1}\right)^2+\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)

=> Đẳng thức không xảy ra

2. \(a^4+b^4+c^2+1\ge2a\left(ab^2-a+c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4+c^2+1\ge2a^2b^2-2a^2+2ac+2a\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^2b^2+b^4\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)+\left(a^2-2a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-b^2\right)^2+\left(c-a\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\)

Mình xem phép làm câu 1 ạ. 

Đề là?

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)(1)

Chứng minh tương đương 

\(\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\ge4\)<=> 12ac - 9bc  - 9ab + 6b² \(\le\)0 ( quy đồng )  (2)

Từ (1) <=> 2ac = ab + bc  Thay vào (2) <=> 6ab + 6bc - 9bc  - 9ab + 6b²  \(\le\)0 

<=> a + c \(\ge\)2b 

Từ (1) => \(\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+c}\)

=> a + c \(\ge\)2b đúng => BĐT ban đầu đúng

Dấu "=" xảy ra <=> a = c = b

Bài 1:

Ta có: 

\(P=\left(a+1\right)\left(a+2\right)\left(a+3\right)\left(a+4\right)+1\)

\(P=\left[\left(a+1\right)\left(a+4\right)\right]\cdot\left[\left(a+2\right)\left(a+3\right)\right]+1\)

\(P=\left(a^2+5a+4\right)\left(a^2+5a+6\right)+1\)

Đặt \(x=a^2+5a+5\) , khi đó:

\(P=\left(a-1\right)\left(a+1\right)+1\)

\(P=a^2-1+1\)

\(P=a^2=\left(x^2-5x+5\right)^2\)

Mà \(a\inℤ\Rightarrow x^2-5x+5\inℤ\)

=> P là số chính phương

\(\left(xy+yz+zx\right)^2+\left(x^2-yz\right)^2+\left(y^2-zx\right)^2+\left(z^2-xy\right)^2=x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz\left(x+y+z\right)+x^4-2x^2yz+y^2z^2+y^4-2y^2zx+z^2x^2+z^4-2z^2xy+x^2y^2=x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)=\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=100^2=10000\)