\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(a-c\right)^2=6abc\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=6abc\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=3abc\)

Đến đây ta chỉ cần chứng minh \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=a^3+b^3+c^3\)

Nhưng rõ ràng: \(a^3+b^3+c^3=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\ne a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

     KL : Đề sai.

Gọi số đó là A5 \(\Rightarrow\)Số mới là A. Theo đề bài ta có:

A5 - A = 1805

A x 10 + 5 - A = 1805

A x (10 - 1) = 1805 - 5

A x 9 = 1800

A = 1800 : 9 = 200

Vậy số cần tìm là 2005.

Hoặc bạn cũng có thể làm là:

Do: \(25\equiv6\left(mo\text{d}19\right)\Rightarrow25^n\equiv6^n\left(mo\text{d}19\right)\)

\(\Rightarrow7.25^n+12.6^n\equiv7.6^n+12.6^n\left(mo\text{d}19\right)\)

\(\Rightarrow7.5^{2n}+12.6^n\equiv19.6^n\left(mo\text{d}19\right)\)

Mà: \(19.6^n\equiv0\left(mo\text{d}19\right)\)

\(\Rightarrow7.5^{2n}+12.6^n\equiv0\left(mo\text{d}19\right)\)

Hay 7.5²ⁿ + 12.6ⁿ chia hết cho 19.

(_Bài này mình làm theo phép toán đồng dư bạn có thể tham khảo thêm hoặc nếu đã học 'mod' thì cũng có thể áp dụng_)

b) 7.5²ⁿ + 12.6ⁿ 

= 7.25ⁿ + 12.6ⁿ 

= 7.25ⁿ - 7.6ⁿ + 19.6ⁿ 

= 7(25ⁿ - 6ⁿ) + 19.6ⁿ 

= 7(25 - 6)[X] + 19.6ⁿ

= 7.19.[X] + 19.6ⁿ 

= 19 .(7[X] + 6ⁿ)chia hết cho 19 

Chứng minh : a³ + b³ + c³ = 3abc \(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a+b+c=0\left(tm\right)\\a=b=c\left(loai\right)\end{cases}}\)

Rút gọn P

\(P=\frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b}=\frac{ab\left(a-b\right)+bc\left(b-c\right)+ac\left(c-a\right)}{abc}\)

Xét : ab(a-b) + bc(b-c) + ac(c-a) = ab[-(b-c)-(c-a)] + bc(b-c) + ac(c-a)

= (b-c)(bc-ab) + (c-a)(ac-ab) = b(b-c)(c-a) + a(c-a)(c-b) = (c-a)(c-b)(a-b)

\(\Rightarrow P=\frac{\left(c-a\right)\left(c-b\right)\left(a-b\right)}{abc}\)

Rút gọn Q

Đặt a - b = z ; b-c = x ; c - a = y

\(\Rightarrow\)x- y = a + b - 2c = -c - 2c = -3c              ( do a + b + c = 0 )

y - z = -3a ; z - x = -3b

\(\Rightarrow\)\(-3Q=\frac{\left(y-z\right)}{x}+\frac{\left(z-x\right)}{y}+\frac{\left(x-y\right)}{z}\)

Làm tương tự như rút gọn P, ta có : 

\(-3Q=\frac{\left(x-y\right)\left(z-y\right)\left(z-x\right)}{xyz}=\frac{-\left(-3a\right)\left(-3b\right)\left(-3c\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{27abc}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)}=\frac{-27abc}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)

\(\Rightarrow Q=\frac{9abc}{\left(a-b\right)\left(c-b\right)\left(c-a\right)}\)

\(\Rightarrow PQ=9\)

Hàng 1: (17+8)=5x5

Hàng 2: (13+7)=5x4

Hàng 3: (6+12)=6x3

Hàng 4: (10x6)=4x15

=> ?=15

Xin lỗi!

Hàng 4: (10+6)=4x4

=> ?=4

Xét phân thức phụ sau, với n nguyên dương lớn hơn 1 ta có:

Ta có: \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(n+1\right)-n}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)

\(< \frac{2\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}\right)^2\sqrt{n}}=2\left(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\left(\sqrt{n+1}\right)\sqrt{n}}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

=> \(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

Áp dụng vào bài toán ta được:

\(A=2\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{2019}}-\frac{1}{\sqrt{2020}}\right)\)

\(A=2-\frac{2}{\sqrt{2020}}< 2=B\)

Vậy A < B

Xét n=0 thì A=1 ko phải số nguyên tố;n=1 thì A=3 là số nguyên tố

Xét n>1:\(A=n^{2012}-n^2+n^{2002}-n+n^2+n+1\)

\(=n^2\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)+n\left(\left(n^3\right)^{667}-1\right)+\left(n^2+n+1\right)\)

Mà \(\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)\)chia hết cho \(n^3-1\)

\(\Rightarrow\left(\left(n^3\right)^{670}-1\right)\)chia hết cho \(n^2+n+1\)

Tương tự \(\left(\left(n^3\right)^{667}\right)\)chia hết cho \(n^2+n+1\)

Vậy A chia hết cho \(n^2+n+1>1\)nên A là hợp số.Vậy \(n=1\)

Xét n=0 thì A=1 ko phải số nguyên tố;n=1 thì A=3 là số nguyên tố

Xét n>1:A=n2012−n2+n2002−n+n2+n+1

=n2((n3)670−1)+n((n3)667−1)+(n2+n+1)

Mà ((n3)670−1)chia hết cho n3−1

⇒((n3)670−1)chia hết cho n2+n+1

Tương tự ((n3)667)chia hết cho n2+n+1

A chia hết cho n2+n+1>1nên A là hợp số.Vậy n=1
 

Bài 3:

Hình tam giác t1: Polygon A, B, C Đoạn thẳng c: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng a: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng b: Đoạn thẳng [C, A] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [B, K] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [C, L] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [K, L] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [A, H] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [A, M] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [M, N] Đoạn thẳng e: Đoạn thẳng [J, I] A = (0.38, 5.72) A = (0.38, 5.72) A = (0.38, 5.72) B = (-1.58, 0.68) B = (-1.58, 0.68) B = (-1.58, 0.68) C = (9.08, 0.5) C = (9.08, 0.5) C = (9.08, 0.5) Điểm G: Giao điểm đường của f, g Điểm G: Giao điểm đường của f, g Điểm G: Giao điểm đường của f, g Điểm K: Giao điểm đường của h, i Điểm K: Giao điểm đường của h, i Điểm K: Giao điểm đường của h, i Điểm H: Giao điểm đường của h, j Điểm H: Giao điểm đường của h, j Điểm H: Giao điểm đường của h, j Điểm L: Giao điểm đường của h, k Điểm L: Giao điểm đường của h, k Điểm L: Giao điểm đường của h, k Điểm M: Trung điểm của a Điểm M: Trung điểm của a Điểm M: Trung điểm của a Điểm N: Giao điểm đường của s, n Điểm N: Giao điểm đường của s, n Điểm N: Giao điểm đường của s, n Điểm J: Trung điểm của H, G Điểm J: Trung điểm của H, G Điểm J: Trung điểm của H, G Điểm I: Giao điểm đường của d, q Điểm I: Giao điểm đường của d, q Điểm I: Giao điểm đường của d, q

Do chỉ sử dụng kiến thức chương I, nên cô giải như sau:

Gọi M là trung điểm BC. Kẻ MN // BK.

Lấy I, J là trung điểm của AG và HG.

Do BK và CL cùng vuông góc với KL nên BK // CL. Vậy KBCL là hình thang vuông.

Xét hình thang vuông KBCL là M là trung điểm BC, MN // BK nên MN là đường trung bình hình thang.

Suy ra 2MN = BK + CL

Xét tam giác AHG có I, J là các trung điểm của các cạnh AG và HG nên IJ là đường trung bình hay AH = 2IJ và \(IJ\perp KL\).

Xét tam giác ABC có G là trọng tâm nên GA = 2GM, vậy thì GI = GM.

Vậy thì  \(\Delta GMN=\Delta GIJ\) (Cạnh huyền - góc nhọn) 

Suy ra \(MN=IJ\Rightarrow2MN=2IJ\Rightarrow BK+CL=AH.\)

Bài 2:

A' A C I J B B'

Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB và A'B'. Khi đó ta đã có I cố định.

Do d //d' nên AA'B'B là hình thang. Vậy thì IJ là đường trung bình hay \(IJ=\frac{AA'+BB'}{2}=\frac{AC+CB}{2}=\frac{AB}{2}\)

Ta thấy do AB không đổi nên độ dài AB là số không đổi, vậy AB/2 cũng không đổi.

Ta thấy J nằm trên tia Ix // d// d' mà độ dài đoạn IJ không đổi nên J là điểm cố định.

Tóm lại trung điểm của A'B' là điểm cố định thỏa mãn nằm trên tia Ix // d // d' và IJ = AB/2. 

\(\sqrt{x}=x\)      \(\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}-x=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(1-\sqrt{x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\sqrt{x}=0\\1-\sqrt{x}=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}\left(tm\right)}\)

Vậy 

\(\hept{\begin{cases}x=0\\x=1\end{cases}}\)