Gọi giao điểm của FI với BC là M . Góc EMF là góc ngoài đỉnh F của hai tam giác MBF và MIE , ta có :

\(\widehat{EMF}\)\(=\widehat{F_1}\)\(+\widehat{MBF}\)

\(\widehat{EMF}\)\(=\widehat{F_2}\)\(+\widehat{EIF}\)

Suy ra : \(\widehat{EIF}\)\(+\widehat{F_2}\)\(=\widehat{F_1}\)\(+\widehat{MBF}\)\(\left(1\right)\)

Gọi giao điểm của EI với CD là N

Chứng minh tương tự , ta có :

\(\widehat{EIF}\)\(+\widehat{F_2}\)\(=\widehat{NDF}\)\(+\widehat{E_1}\)\(\left(2\right)\)\(...\)

Xin lỗi , mình chỉ biết giải đến đấy

Bài làm ;

\(\left(x+3\right)^3-\left(x+9\right)\left(x^2+27\right)\)

\(=x^3+9x^2+27x+3^3-\left(x^3+27x+9x^2+243\right)\)

\(=x^3+9x^2+27x+27-x^3-27x-9x^2-243\)

\(=\left(x^3-x^3\right)+\left(9x^2-9x^2\right)+\left(27x-27x\right)+\left(27-243\right)\)

\(=-216\)

=> Giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x .

( 2x + 3 )( 4x² - 6x - 9 ) - 2( 4x² - 1 )

= 2x( 4x² - 6x - 9 ) + 3( 4x² - 6x - 9 ) - 8x² + 2

= 8x³ - 12x² - 18x + 12x² - 18x - 27 - 8x² + 2

= 8x³ - 8x² - 36x - 25 ( có phụ thuộc vào biến )

( x + 3 )³ - ( x + 9 )( x² + 27 )

= x³ + 9x² + 27x + 27 - [ x( x² + 27 ) + 9( x² + 27 ) ]

= x³ + 9x² + 27x + 27 - ( x³ + 27x + 9x² + 243 )

= x³ + 9x² + 27x + 27 - x³ - 27x - 9x² - 243

= -216 ( đpcm )

Xét dãy tích P₁ ta thấy 2 thừa số đều âm

=> P₁ dương <=> P₁ > 0

Xét dãy tích P₂ ta thấy có 3 thừa số âm

=> P₂ âm <=> P₂ < 0

XXets dãy P₃ thấy trong đó có một thừa số là \(\frac{0}{11}=0\)

=> P₃ = 0

Vậy P₂ < P₃ < P₁

P₁ có 2 thừa số âm => P₁ là số dương

P₂ có 3 thừa số âm => P₂ là số âm

P₃ có 1 thừa số \(\frac{0}{11}\)=> P₃=0

Từ đây suy ra P₂<P₃<P₁

Do \(1\le x< y\le2\Rightarrow\hept{\begin{cases}1\le x< 2\\\frac{1}{2}\le\frac{1}{y}< 1\end{cases}}\)

=> \(\frac{1}{2}\le\frac{x}{y}< 2\)

\(A=\left(x+y\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+2\)

Đặt \(\frac{x}{y}=t\left(\frac{1}{2}\le t< 2\right)\)

Ta có: \(A=t+\frac{1}{t}+2=\left(t-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{t}-2\right)+\frac{9}{2}=\frac{2t-1}{2}+\frac{1-2t}{t}+\frac{9}{2}\)

\(=\frac{\left(2t-1\right)\left(t-2\right)}{2t}+\frac{9}{2}\)

Vì \(\frac{1}{2}\le t< 2\Rightarrow\hept{\begin{cases}2t-1\ge0\\t-2< 0\end{cases}\Rightarrow\left(2t-1\right)\left(t-2\right)\le0}\)và \(2t\ge2.\frac{1}{2}=1\Rightarrow\frac{1}{2t}\le1\)

=> \(A\le\frac{9}{2}\)

"=" Xảy ra <=> \(t=\frac{1}{2}\)<=> \(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}=\frac{1}{2}\\x=1;\frac{1}{y}=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}}\)

A C B D O M K H

a;b dễ chắc tự làm đc

c, lấy K sao cho M là trđ của OK

mà có M là trđ của AC (gt) 

=> COAK là hình bình hành (dh)

=> CK // OA hay CK // OH và AK // CO hay AK // OD

xét tg KCB có CK // OH => \(\frac{BH}{HC}=\frac{BO}{OK}\)  (talet)

xét tg KAB có AK / OD => \(\frac{BO}{OK}=\frac{BD}{DA}\) (talet)

=> \(\frac{BH}{HC}=\frac{BD}{AD}\) mà có \(\frac{BD}{AD}=\frac{BC}{AC}\) do CD là pg của tg ABC (gt)

=> \(\frac{BC}{AC}=\frac{HB}{HC}\Rightarrow BC\cdot HC=HB\cdot AC\)

mà có \(BC\cdot HC=AC^2\) do tg ABC v tại A và AH _|_ BC (gt)

=> AC^2 = HB*AC

=> AC = HB (chia 2 vế cho ac vì ac > 0)

Theo định lý Ce-va ta có: \(\frac{BH}{HC}.\frac{MC}{MA}.\frac{DA}{DB}=1\)

Mà MA = MC (do BM là đường trung tuyến của \(\Delta\)ABC) nên \(\frac{BH}{HC}.\frac{DA}{DB}=1\)(1)

CD là phân giác nên theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có: \(\frac{DA}{DB}=\frac{AC}{BC}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BH}{HC}.\frac{AC}{BC}=1\Rightarrow BH.AC=HC.BC\)(3)

Dễ thấy \(\Delta ABC~\Delta HAC\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{HC}{AC}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow AC^2=BH.HC\)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(AC^2=BH.AC\Rightarrow BH=AC\left(đpcm\right)\)

a. 4x² - x + 10

= 4x² - x + 1/16 + 159/16

= 4 ( x - 1/8 )² + 159/16

Vì \(\left(x-\frac{1}{8}\right)^2\ge0\forall x\)=> \(4\left(x-\frac{1}{8}\right)^2+\frac{159}{16}\ge\frac{159}{16}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(4\left(x-\frac{1}{8}\right)^2=0\Leftrightarrow x-\frac{1}{8}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}\)

Vậy GTNN của bt trên = 159/16 <=> x = 1/8

b. 2x² - 5x - 1

= 2x² - 5x + 25/8 - 33/8

= 2 ( x - 5/4 )² - 33/8

Vì \(\left(x-\frac{5}{4}\right)^2\ge0\forall x\)=> \(2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2-\frac{33}{8}\ge-\frac{33}{8}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(2\left(x-\frac{5}{4}\right)^2=0\Leftrightarrow x-\frac{5}{4}=0\Leftrightarrow x=\frac{5}{4}\)

Vậy GTNN của bt trên = - 33/8 <=> x = 5/4

4x² - x + 10

= 4( x² - 1/4x + 1/64 ) + 159/16

= 4( x - 1/8 )² + 159/16 ≥ 159/16 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1/8 = 0 => x = 1/8

Vậy GTNN của biểu thức = 159/16 <=> x = 1/8

2x² - 5x - 1

= 2( x² - 5/2x + 25/16 ) - 33/8

= 2( x - 5/4 )² - 33/8 ≥ -33/8 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 5/4 = 0 => x = 5/4

Vậy GTNN của biểu thức = -33/8 <=> x = 5/4

\(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)=5.5\)

\(\Leftrightarrow a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\right)+\left(a^2d^2-2abcd+b^2c^2\right)=25\)

\(\Leftrightarrow\left(ac+bd\right)^2+\left(ad-bc\right)^2=25\)

mà ac + bd = 3

\(\Leftrightarrow\left(ad-bc\right)^2=25-3^2=16\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}ad-bc=4\\ad-bc=-4\end{cases}}\)