Đặt \(M=2+2\sqrt{12n^2+1}\)

Để M là số nguyên thì 12n² + 1  là số chính phương lẻ 
Đặt 12n² + 1 = (2k -1)²   (k \(\in\) N)

<=> 12n² + 1 = 4k² - 4k +1

<=> 12n² = 4k² - 4k 

<=> 3n² = k(k - 1)

=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k - 1 chia hết cho 3

TH1 : k ⋮ 3 => n² =(\(\frac{k}{3}\)).(k - 1)     Mà (\(\frac{k}{3}\) ; k-1 )= 1 nên đặt \(\frac{k}{3}\) = x² => k = 3x²

  và đặt k - 1 = y² => k = y² +1

  => 3x² = y² + 1 = 2 ( mod 3)

  Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1

TH2 : k - 1 ⋮ 3: ta có :

  => n² = \(\frac{k\left(k-1\right)}{3}\)     Mà ( k; (\(\frac{k-1}{3}\)) =1 nên đặt k = z² 

=> M = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4z² =(2z)² là 1 số chính phương 

 => M là một số chính phương ( đpcm )

\(2+2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}\in Q\)

\(\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}=m\in Z^+\Rightarrow12n^2=m^2-1⋮4\Rightarrow m=2k+1,k\in Z\)

\(12n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\Rightarrow3n^2=k\left(k+1\right)⋮3\)hoặc \(k+1⋮3\)

TH1: \(k=3q,q\in Z\Rightarrow3n^2=3q\left(q+1\right)\Rightarrow n^2=q\left(q+1\right)\)

Vì \(\left(q,3q+1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=a^2\\3q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow3q^2+1=b^2}\)

Ta có: \(2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.3q=4+12q^2=4b^2\)(CMT)

Ta có đpcm

TH2(tương tự):\(k=3q+1\)

Góp ý của anh là câu hình em chọn những câu mà có các ý nhỏ hơn để gợi ý cho các ý khác em nha =))

sol nhẹ vài bài

\(x\left(x+3\right)+y\left(y+3\right)=z\left(z+3\right)\)

\(\Leftrightarrow x\left(x+3\right)=\left(z-y\right)\left(z+y+3\right)\) 

Khi đó \(z-y⋮x;z+y+3⋮x\)

Nếu \(z-y⋮x\Rightarrow z-y\ge x\Rightarrow z+y+3\ge x+2y+3>x+3\) 

Trường hợp này loại

Khi đó \(z+y+3⋮x\) Đặt \(z+y+3=kx\Rightarrow x\left(x+3\right)=\left(z-y\right)kx\Rightarrow x+3=k\left(z-y\right)\)

Mặt khác \(\left(x+y\right)\left(x+y+3\right)=x\left(x+3\right)+y\left(y+3\right)+2xy>z\left(z+3\right)\)

\(\Rightarrow z< x+y\)

Giả sử rằng \(x\ge y\) Mà \(z\left(z+3\right)>x\left(x+3\right)\Rightarrow z>x>y\) mặt khác \(kx>z>x\Rightarrow k>1\)

Ta có:\(kx< \left(x+y\right)+y+3=x+2y+3\le3x+3< 4x\Rightarrow k< 4\Rightarrow k\in\left\{2;3\right\}\)

Xét \(k=2\Rightarrow z+y+3=2x\Rightarrow z=2x-y-3\) và  \(x\left(x+3\right)=\left(z-y\right)2x\Leftrightarrow x+3=2z-2y\)

\(\Leftrightarrow x+3=4x-2y-6-2y\Leftrightarrow4y=3x-3\Rightarrow y⋮3\Rightarrow y=3\) tự tìm x;z

\(k=3\Rightarrow z+y+3=3x\Rightarrow z=3x-y-3\) và \(x\left(x+3\right)=\left(z-y\right)3x\Leftrightarrow x+3=3z-3y\Leftrightarrow x+3=3\left(3x-y-3\right)-3y\)

\(\Leftrightarrow x+3=9x-3y-9-3y\Leftrightarrow8x-12=6y\Leftrightarrow4x-4=3y\Rightarrow y=2\Rightarrow x=\frac{5}{2}\left(loai\right)\)

Vậy.............

Bài 1 : Giải :

a) Ta có : \(x=1+\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}\)

\(\Rightarrow x.\left(1-\sqrt[3]{2}\right)=\left(1-\sqrt[3]{2}\right)\left(1+\sqrt[3]{2}.1+\sqrt[3]{2^2}\right)\)

\(\Rightarrow x-x\sqrt[3]{2}=1^3-\left(\sqrt[3]{2}\right)^3=-1\)

\(\Rightarrow x+1=x\sqrt[3]{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^3=2x^3\)

\(\Rightarrow x^3-3x^2-3x-1=0\)

Khi đó ta có : \(A=x^5-4x^4+x^3-x^2-2x+2019\)

\(=x^5-3x^4-3x^3-x^2-x^4+3x^3+3x^2+x+x^3-3x^2-3x-1+2020\)

\(=x^2.\left(x^3-3x^2-3x-1\right)-x.\left(x^3-3x^2-3x-1\right)+\left(x^3-3x^2-3x-1\right)+2020\)

\(=2020\)

P/s : Tạm thời xí câu này đã tối về xí tiếp nha :))

Bạn làm được bài này chưa ạ

nếu mình lấy x1 + x2 x 

thì rA kết quả

MIK LẤY x+1+x2 x

thì ra đáp án

\(\sqrt{x^2+2014}-x=\sqrt{y^2+2014}+y\Leftrightarrow x+y=\sqrt{x^2+2014}-\sqrt{y^2+2014}\)\(\Leftrightarrow x+y=\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+2014}+\sqrt{y^2+2014}}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(1-\frac{x-y}{\sqrt{x^2+2014}+\sqrt{y^2+2014}}\right)=0\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\frac{\sqrt{x^2+2014}-x+\sqrt{y^2+2014}+y}{\sqrt{x^2+2014}+\sqrt{y^2+2014}}=0\)(*)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+2014}>\sqrt{x^2}=\left|x\right|\ge x\\\sqrt{y^2+2014}>\sqrt{y^2}=\left|y\right|\ge-y\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+2014}-x>0\\\sqrt{y^2+2014}+y>0\end{cases}}\)nên \(\frac{\sqrt{x^2+2014}-x+\sqrt{y^2+2014}+y}{\sqrt{x^2+2014}+\sqrt{y^2+2014}}>0\)(**)

Từ (*) và (**) suy ra x + y = 0

Vậy x + y = 0

Ta có \(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}=k^2\Leftrightarrow2n^2-n-26k^2=0\)

\(\Delta=208k^2+1=t^2\)(vì n nguyên dương)

\(\Rightarrow\left(t+4\sqrt{13}k\right)\left(t-4\sqrt{13}k\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}t+4\sqrt{13}k=1\\t-4\sqrt{13}k=1\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}k=0\\t=1\end{cases}}}\)

Thế vào tìm được \(\orbr{\begin{cases}n=0\\n=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy không có giá trị n nguyên dương nào thỏa mãn cái đó

\(\frac{n\left(2n-1\right)}{26}\text{ là SCP }\Leftrightarrow n\left(2n-1\right)=26k^2\)

\(\Delta_n=208k^2+1=y^2\Leftrightarrow y^2-208k^2=1\underrightarrow{\text{PELL}}\)

\(k=\pm\frac{\left(649-180\sqrt{13}\right)^m-\left(649+180\sqrt{13}\right)^m}{8\sqrt{13}}\)

\(n=\frac{1}{8}\left[-\left(649-180\sqrt{13}\right)^m-\left(649+180\sqrt{13}\right)^m+2\right]\left(m\inℤ,m\ge0\right)\)

A B C D E O M N

a)

Chứng minh

\(\Delta COE=\Delta AOE\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow OC=OA\)(hai cạnh tương ứng)           \(\left(1\right)\)

\(\Delta BOD=\Delta AOD\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow OB=OA\)(hai cạnh tương ứng)            \(\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)suy ra \(OB=OC\)

ko biet dau

Ta có hình vẽ :

ao S1 S2 ao

Khi cắt ghép như hình vẽ , ta được phần diện tích còn lại là S1 ; S2

Tổng độ dài cạnh ao và cạnh vườn là :

            \(240\div4=60\)  ( m )

Diện tích S1 hay S2 là :

          \(2400\div2=1200\)  ( m )

Chiều cao hình thang hay hiệu giữa cạnh vườn và cạnh ao là :

         \(\frac{1200\times2}{60}=40\)( m )

Độ dài cạnh ao là :

           \(\left(60-40\right)\div2=10\)( m )

Diện tích ao cá hình vuông là :

              \(10\times10=100\)( m² )

                       Đáp số : \(100\)m²

Tổng cạnh ao và đất là: 

       240:4=60(m) 

Tổng DT đất và ao là:

       60*60=3600(m2)

DT ao là:

       (3600-2400):2=600(m2)

                             Đ/S:600 m2

B nguyên tố khác 3 nên b=3k+1 hoặc b=3k+2

B=3k+1 thì A =3n+6027k+2010 chia hét cho 3

B=3k+2 thì A=

=.=

Với \(n=1\) thì đề sai, mà hình như với số nào đề cũng sai...