Chứng minh chia hết cho 2:

Ta có: \(3^{2^{4n+1}}\) là số lẻ và \(5\)là số lẻ nên

\(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮2\left(1\right)\)

Chứng minh chia hết cho 11: (dùng \(\exists\)làm ký hiệu đồng dư)

Theo Fecma vì 11 là số nguyên tố nên

\(\Rightarrow3^{11-1}=3^{10}\exists1\left(mod11\right)\left(2\right)\)

Ta lại có: \(2^{4n+1}=2.16^n\exists2\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow2^{4n+1}=10k+2\)

Kết hợp với (2) ta được

\(\Rightarrow3^{4n+1}=3^{10k+2}=9.3^{10k}\exists9\left(mod11\right)\left(3\right)\)

Tương tự ta có:

\(\Rightarrow2^{11-1}=2^{10}\exists1\left(mod11\right)\left(4\right)\)

Ta lại có: 

\(3^{4n+1}=3.81^n\exists3\left(mod10\right)\)

\(\Rightarrow3^{4n+1}=10l+3\)

Kết hợp với (4) ta được

\(2^{3^{4n+1}}=2^{10l+3}=8.2^{10l}\exists8\left(mol11\right)\left(5\right)\)

Từ (3) và (5) \(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)\exists\left(9+8+5\right)\exists22\exists0\left(mod11\right)\)

\(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮11\left(6\right)\)

Từ (1) và (6) \(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮\left(2.11\right)=22\)

xét 1-1/xy:
=(xy-1)/xy
nhân 4x^3y^3 vào bt:
(4x^4y^4-4x^3y^3)/4x^4y^4
thay 4x^4y^4=(x^3+y^3)^2:
=[(x^3+y^3)^2-4x^3y^3]/(x^3+y^3)^2
=(x^6+y^6-2x^3y^3)/(x^3+y^3)^2
=(x^3-y^3)^2/(x^3+y^3)^2
=>căn(1-1/xy)=lx^3-y^3l / lx^3+y^3l là số hữu tỉ


 

Cô phải đọc rất kĩ mới hiểu bài của Minh. Lần sau em chú ý dùng công thức có trong phần \(f\left(x\right)\)để bài làm được trực quan hơn.
Cảm ơn em đã trình bày bài giải !

a/ 8^7-2^18=1835008 chia hết cho 14=131072                            

b/10^6-5^7=921875 chia hết cho 59=15625

7^6+7^5-7^4=132055  hết cho 55=2401

a) 8^7-2^18= (2^3)-2^18=2^21-2^18=2^17 * (2^4-2)=2^17 * 14

14 chia hết cho 14 => ĐPCM

b) 10^6-5^7=5^6(2^6 - 5)=5^6 * 59

59 chia hết 59 => ĐPCM

c) 7^6 + 7^5 - 7^4 = 7^4 ( 7^2 + 7 - 1) = 7^4 * 55

55 cha hết 5 => ĐPCM

d) 16^5 + 2^15 = (2^4)^5 + 2^15= 2^15 * ( 2^5 + 1) = 2^15 * 33

33 chia hết 33 => ĐPCM

e và f chịu

g thì tính chữ số tận cùn của tổng đó

h) = 2^10 * (1 + 2 + 2^2) = 2^10 * 7

7 chia hết cho 7 => nó là 1 số tự nhiên

i chịu

GTLN chứ ?

\(P\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{ax}+\frac{1}{by}+\frac{1}{cz}+\frac{1}{ay}+\frac{1}{bz}+\frac{1}{cx}+\frac{1}{az}+\frac{1}{bx}+\frac{1}{cy}\right)\)

\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

?

tìm giá trị nhỏ nhất cơ mà bạn PHÙNG MINH QUÂN ???

Áp dụng Bất Đẳng Thức \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\forall x;y;z\inℝ\)ta có

\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3abc\left(a+b+c\right)=9abc>0\Rightarrow ab+bc+ca\ge3\sqrt{abc}\)

Ta có \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\forall a;b;c>0\)

Thật vậy \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)=1+\left(a+b+c\right)+\left(ab+bc+ca\right)+abc\)

\(\ge1+3\sqrt[3]{abc}+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}+abc=\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

Khi đó \(P\le\frac{2}{3\left(1+\sqrt{abc}\right)}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{1+\sqrt[3]{abc}}+\frac{\sqrt{abc}}{6}\)

Đặt \(\sqrt[6]{abc}=t\Rightarrow\sqrt[3]{abc}=t^2,\sqrt{abc}=t^3\)

Vì a,b,c>0 nên 0<abc\(\le\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2=1\Rightarrow0< t\le1\)

Xét hàm số \(f\left(t\right)=\frac{2}{3\left(1+t^3\right)}+\frac{t^2}{1+t^2}+\frac{1}{6}t^3;t\in(0;1]\)

\(\Rightarrow f'\left(t\right)=\frac{2t\left(t-1\right)\left(t^5-1\right)}{\left(1+t^3\right)^2\left(1+t^2\right)^2}+\frac{1}{2}t^2>0\forall t\in(0;1]\)

Do hàm số đồng biến trên (0;1] nên \(f\left(t\right)< f\left(1\right)\Rightarrow P\le1\)

\(\Rightarrow\frac{2}{3+ab+bc+ca}+\frac{\sqrt{abc}}{6}+\sqrt[3]{\frac{abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\le1\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1

Hieu la 9, Ap dung hieu ti va se duoc : 83/92

Tử số của phân số đó là:

   (175 - 9) : 2= 83

Mẫu số của phân số đó là:

    83 + 9 = 92

         Đáp số: Tử số  : 83

                     Mẫu số: 92

Đó là đáp án đúng cậu hãy tin mình đi !

C B A E D

Ta có : CDEB có góc CEB = góc BDC = 90⁰

=> CDEB là tứ giác nội tiếp => góc AED = góc BCA (góc ngoài tứ giác nội tiếp)

Xét tam giác AED và tam giác ACB có góc A chung, góc AED = góc BCA

=> Tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB (g.g)

=> \(\frac{S_{AED}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=cos^2A\)

\(\Rightarrow S_{ADE}=cos^2A\times S_{ABC}\)

Lại có : \(S_{BCDE}+S_{ADE}=S_{ABC}\Rightarrow S_{BCDE}=S_{ABC}-S_{ADE}\)

\(=S_{ABC}-cos^2A\times S_{ABC}\)

\(=S_{ABC}\left(1-cos^2A\right)=sin^2A\times S_{ABC}\)(vì \(sin^2A+cos^2A=1\))

Dễ dàng chứng minh \(\Delta ADE\approx\Delta ABC\Rightarrow\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}\)\(\Rightarrow AD.AE=\frac{AB}{AC}.AE^2\Leftrightarrow\frac{1}{2}.AD.AE.\sin EAD=\frac{1}{2}.AB.AC.\cos^2EAD.\sin EAD\)
\(\Rightarrow S_{AED}=S_{ABC}.\cos EAD\)
\(S_{BDEC}=S_{ABC}-S_{AED}=S_{ABC}-S_{ABC}.\cos^2EAD=S_{ABC}\left(1-\cos^2EAD\right)=S_{ABC}.\sin^2EAD\)

Giả bằng tính ngược 

Ap dung cong thuc \(\sqrt{1+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{\left(a+1\right)^2}}=1+\frac{1}{a}-\frac{1}{a+1}\) 

ta co \(E=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+1+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}=2004+\frac{1}{2}-\frac{1}{2006}\)

Ta có: 

 \(E=\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{\left(-3\right)^2}}+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{\left(-4\right)^2}}+...+\sqrt{\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2005^2}+\frac{1}{\left(-2006\right)^2}}\)

DO:   \(1+2+\left(-3\right)=0;1+3+\left(-4\right)=0;...;1+2005+\left(-2006\right)=0\)

=> TA ĐƯỢC:    \(E=\sqrt{\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{-3}\right)^2}+\sqrt{\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{3}+\frac{1}{-4}\right)^2}+...+\sqrt{\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{2005}+\frac{1}{-2006}\right)^2}\)

=>   \(E=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{1}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{1}+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}\)

=>   \(E=\left(\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+...+\frac{1}{1}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}\right)\)

DO TRONG E CÓ TẤT CẢ 2004 CĂN THỨC

=>   \(E=2004+\frac{1}{2}-\frac{1}{2006}=2004+\frac{501}{1003}=\frac{2010513}{1003}\)