Ap dung bo de : \(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\le\sqrt{xy}\left(x,y\ge1\right)\) (1)

(1) <=> \(2\sqrt{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\le\left(x-1\right)\left(y-1\right)+1\) (dung theo AM-GM)

Ta co \(VT\le\sqrt{ab}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{c\left(ab+1\right)}=VP\)

Dau = xay ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1\\\left(ab+1\right)\left(c-1\right)=1\end{cases}}\)

Trước hết, ta đi chứng minh bổ đề: \(\sqrt{p-1}+\sqrt{q-1}\le\sqrt{pq}\)(*) (với \(p,q\ge1\))

Thật vậy: (*)\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{p-1}+\sqrt{q-1}\right)^2\le pq\)        \(\Leftrightarrow\left(p-1\right)+\left(q-1\right)+2\sqrt{\left(p-1\right)\left(q-1\right)}\le pq\)\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(p-1\right)\left(q-1\right)}\le\left(pq-p-q+1\right)+1\) \(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(p-1\right)\left(q-1\right)}\le\left(p-1\right)\left(q-1\right)+1\)

Bất đẳng thức cuối đúng theo bất đẳng thức AM - GM vì \(\left(p-1\right)\left(q-1\right)+1\ge2\sqrt{\left(p-1\right)\left(q-1\right).1}=2\sqrt{\left(p-1\right)\left(q-1\right)}\)

Như vậy, ta đã chứng minh được bất đẳng thức phụ: \(\sqrt{p-1}+\sqrt{q-1}\le\sqrt{pq}\)(với \(p,q\ge1\))

Áp dụng vào bài toán, ta được: \(\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{ab}+\sqrt{c-1}\)\(=\sqrt{\left(ab+1\right)-1}+\sqrt{c-1}\le\sqrt{c\left(ab+1\right)}\)(q.e.d)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\left(a-1\right)\left(b-1\right)=1\\ab\left(c-1\right)=1\end{cases}}\)

ĐKXĐ : \(n\ge0\)

+) Nếu \(n=0\)\(\Rightarrow S=2012^{4.0}+2013^{4.0}+2014^{4.0}+2015^{4.0}\)

\(=1+1+1+1=4\) ( là SCP )

+) Nếu \(n\ne0\)\(\Rightarrow S=\left(2012^4\right)^n+\left(2013^4\right)^n+\left(2014^4\right)^n+\left(2015^4\right)^n\)

- Xét ( 2012⁴ )ⁿ có CSTC là 6 ( 2⁴ = 16 )

- Xét ( 2013⁴ )ⁿ có CSTC là 1 ( 3⁴ = 81 )

- Xét ( 2014⁴ )ⁿ có CSTC là 6 ( 4⁴ = 256 )

- Xét ( 2015⁴ )ⁿ có CSTC là 5 ( 5⁴ = 625 )

=> S có CSTC là 8 ( 6 + 1 + 6 + 5 = 18 ) ( không phải là SCP )

Vậy S có thể là SCP <=> n = 0