\(P=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+13x^2+4y^2-26x+24y+46.\)

\(=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+13\left(x^2-2x\right)+4\left(y^2+6y\right)+46\)

\(=\left[\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+4\left(y^2+6y\right)\right]+13\left(x^2-2x+4\right)-6\)

\(=\left(x^2-2x+4\right)\left(y^2+6y\right)+13\left(x^2-2x+4\right)-6\)

\(=\left(x^2-2x+4\right)\left(y^2+6y+13\right)-6\)

\(=\left[\left(x-1\right)^2+3\right]\left[\left(y+3\right)^2+4\right]-6\)

Ta có \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\Rightarrow\left(x-1\right)^2+3\ge3\)

\(\left(y+3\right)^2\ge0\forall y\Rightarrow\left(y+3\right)^2+4\ge4\)

Suy ra \(P=\left[\left(x-1\right)^2+3\right]\left[\left(y+3\right)^2+4\right]-6\ge3.4-6=6\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của P=6 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y+3\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}.}\)

Câu này tương tự với câu có link bên dưới phải không ạ?

https://olm.vn/hoi-dap/detail/223114327893.html

Ta có:

\(P=xy\left(x-2\right)\left(y+6\right)+13x^2+4y^2-26x+24y+46\)

\(=\left[x\left(x-2\right)\right]\left[y\left(y+6\right)\right]+\left(13x^2-26x\right)+\left(4y^2+24y\right)+46\)

\(=\left(x^2-2x\right)\left(y^2+6y\right)+13\left(x^2-2x\right)+4\left(y^2+6y\right)+46\)

\(=\left[\left(x-1\right)^2-1\right]\left[\left(y+3\right)^2-9\right]+13\left[\left(x-1\right)^2-1\right]\)

\(+4\left[\left(y+3\right)^2-9\right]+46\)

Đặt \(x-1=u;y+3=v\)

Khi đó \(P=\left(u^2-1\right)\left(v^2-9\right)+13\left(u^2-1\right)+4\left(v^2-9\right)+46\)

\(=u^2v^2-v^2-9u^2+9+13u^2-13+4v^2-36+46\)

\(=u^2v^2+4u^2+3v^2+6\ge6\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}u=0\\v=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=0\\y+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}}\)

Ta thấy

• Số thứ nhất có một chữ số 4
• Số thứ hai có hai chữ số 4
• Số thứ ba có ba chữ số 4
• Tương tự : 4444....44( 2000 chữ số bốn) => là số thứ 2000

đáp án tổng trên là........abcd 

1. d= 4*2000=.....0
2. c=4*1999=.........6( nhớ 3)
3. b= 4*1998=........2 cộng vói nhớ 3 trên =5(nhớ 3)
4. a=4*1997=........8 công với nhớ 3 trên =1

=> abcd=1560

4 chữ số tận cùng của tổng trên là 8888

GT => (a+1)(b+1)(c+1)=(a+1)+(b+1)+(c+1)

Đặt \(\frac{1}{a+1}=x,\frac{1}{1+b}=y,\frac{1}{c+1}=z\), ta cần tìm min của\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\)với xy+yz+zx=1

\(\Leftrightarrow\frac{x\left(y+z\right)+y\left(z+x\right)+z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\Leftrightarrow\frac{2}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)Mà  (x+y)(y+z)(z+x) >= 8/9 (x+y+z)(xy+yz+xz) >= \(\frac{8\sqrt{3}}{9}\) nên \(M\)=< \(\frac{3\sqrt{3}}{4}\),dấu bằng xảy ra khi a=b=c=\(\sqrt{3}-1\)

Theo giả thiết, ta có: \(abc+ab+bc+ca=2\)

\(\Leftrightarrow abc+ab+bc+ca+a+b+c+1=a+b+c+3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)=\left(a+1\right)+\left(b+1\right)+\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a+1\right)\left(b+1\right)}+\frac{1}{\left(b+1\right)\left(c+1\right)}+\frac{1}{\left(c+1\right)\left(a+1\right)}=1\)

Đặt \(\left(a+1;b+1;c+1\right)\rightarrow\left(\frac{\sqrt{3}}{x};\frac{\sqrt{3}}{y};\frac{\sqrt{3}}{z}\right)\). Khi đó giả thiết bài toán được viết lại thành xy + yz + zx = 3 

Ta có: \(M=\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{a^2+2a+2}=\Sigma_{cyc}\frac{a+1}{\left(a+1\right)^2+1}\)\(=\Sigma_{cyc}\frac{1}{a+1+\frac{1}{a+1}}=\Sigma_{cyc}\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{x}+\frac{x}{\sqrt{3}}}\)

\(=\sqrt{3}\left(\frac{x}{x^2+3}+\frac{y}{y^2+3}+\frac{z}{z^2+3}\right)\)

\(=\sqrt{3}\text{​​}\Sigma_{cyc}\left(\frac{x}{x^2+xy+yz+zx}\right)=\sqrt{3}\Sigma_{cyc}\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\)

\(\le\frac{\sqrt{3}}{4}\Sigma_{cyc}\left(\frac{x}{x+y}+\frac{x}{x+z}\right)=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)hay \(a=b=c=\sqrt{3}-1\)

\(a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\Rightarrow2.\left(a+b+c\right)=a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge2\sqrt{a.\frac{1}{a}}+2\sqrt{b.\frac{1}{b}}+2\sqrt{c.\frac{1}{c}}\)

                                                          \(=2+2+2=6\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge3\)

\(P=a+b^{2019}+c^{2020}\)

   \(=a+\left(b^{2019}+1.2018\right)+\left(c^{2020}+1.2019\right)-4037\)

\(\ge a+2019.\sqrt[2019]{b^{2019}.1^{2018}}+2020.\sqrt[2020]{c^{2020}.1^{2019}}-4037\)(BDT Cauchy-Schwarz)

\(=a+2019b+2020c-4037\)

Do \(a\le b\le c\)nên

\(\Rightarrow P\ge a+2019b+2020c\)

        \(\ge a+\left(\frac{2017}{3}+\frac{4040}{3}\right)b+\left(\frac{2020}{3}+\frac{4040}{3}\right)c-4037\)

        \(\ge a+\frac{2017}{3}a+\frac{4040}{3}b+\frac{2020}{3}a+\frac{4040}{3}c-4037\)

         \(=\frac{4040}{3}.\left(a+b+c\right)-4037\)

         \(\ge4040-4037=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

BĐT

<=> \(\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac}{3\left(ac+bc+ac\right)}\ge\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\)

<=>\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{a\left(a\left(b+c\right)+bc\right)}{b+c}+...\right)\)

<=> \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(a^2+b^2+c^2+\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)

<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{abc}{b+c}+\frac{abc}{a+c}+\frac{abc}{a+b}\right)\)

Mà \(\frac{abc}{b+c}\le abc.\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=\frac{1}{4}\left(ab+bc\right)\)

Khi đó BĐT 

<=>\(\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)+ab+bc+ac\ge\frac{8}{3}\left(\frac{1}{2}\left(ab+bc+ac\right)\right)\)

=> \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ac\)(luôn đúng )

=> ĐPCM

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Cách này chủ yếu biến đổi tương đương nên chắc phù hợp với lớp 8

Nếu sử dụng SOS nhìn vào sẽ làm đc liền vì có Nesbitt lẫn \(\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}\)

A B C M H K G

A) XÉT \(\Delta ABC\)VUÔNG TẠI 

CÓ AM LÀ TRUNG TUYẾN \(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\Leftrightarrow AM=BM=CM\)

XÉT TAM GIÁC AMC CÓ AM=CM => TAM GIÁC AMC CÂN TẠI M

MÀ TRONG TAM GIÁC CÂN ĐƯỜNG CAO CŨNG LÀ TIA PHÂN GIÁC => MH LÀ PHÂN GIÁC CỦA \(\widehat{AMC}\)

\(\Rightarrow\widehat{AMH}=\widehat{HMC}\)

XÉT \(\Delta AMH\)VÀ \(\Delta CMH\)CÓ

\(AM=MC\left(CMT\right)\)

\(\widehat{AMH}=\widehat{HMC}\left(CMT\right)\)

MH LÀ CẠNH CHUNG

=>\(\Delta AMH\)=\(\Delta CMH\)(C-G-C)

=> AH= CH ( HAI CẠNH TƯƠNG ỨNG)

=> BH LÀ ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC ABC

VÌ HAI TĐƯỜNG TRUNG TUYẾN AM VÀ BH CẮT NHAU TẠI G

=> G LÀ TRỌNG TÂM CỦA TAM GIÁC ABC

B) 

XÉT \(\Delta ABC\)VUÔNG TẠI A

CÓ AM LÀ TRUNG TUYẾN

 \(\Rightarrow AM=\frac{1}{2}BC\left(Đ/L\right)\)P/S CHỈ ÁP DỤNG TRAM GIÁC GIÁC VUÔNG

c) Tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, bạn lên mạng tham khảo , EZ

a) AM = MC nên tam giác AMC cân tại M nên MH là đường cao cũng là trung tuyến hay H là trung điểm của AC nên BH là trung tuyến của tam giác ABC

Mà AM cũng là trung tuyến của tam giác ABC nên G trọng tâm của tam giác ABC

 Đoạn cuối của cô Nguyễn Linh Chi em có 1 cách biến đổi tương đương cũng khá ngắn gọn ạ

\(RHS\ge2\cdot\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)

Theo đánh giá của cô Nguyễn Linh Chi thì \(xy+yz+zx\ge x+y+z\ge3\)

Ta cần chứng minh:\(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)

Thật vậy,BĐT tương đương với:

\(2\left(x+y+z\right)^2\ge x^2+y^2+z^2-x-y-z+18\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z\right)^2+x+y+z-12\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y+z+4\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\) ( luôn đúng với \(x+y+z\ge3\) )

=> đpcm

Áp dụng: \(AB\le\frac{\left(A+B\right)^2}{4}\)với mọi A, B

Ta có:

\(x^3+8=\left(x+2\right)\left(x^2-2x+4\right)\le\frac{\left(x+2+x^2-2x+4\right)^2}{4}\)

=> \(\sqrt{x^3+8}\le\frac{x^2-x+6}{2}\)

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}\)

Tương tự 

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\)

\(\ge\frac{2x^2}{x^2-x+6}+\frac{2y^2}{y^2-y+6}+\frac{2z^2}{z^2-z+6}\)

\(=2\left(\frac{x^2}{x^2-x+6}+\frac{y^2}{y^2-y+6}+\frac{z^2}{z^2-z+6}\right)\)

\(\ge2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2-x+6+y^2-y+6+z^2-z+6}\)

\(=2\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)(1)

Ta có: \(x+y+z\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\) với mọi x, y, z 

=> \(\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)\ge0\)

=> \(\left(x+y+z\right)\left(x+y+z-3\right)\ge0\)

=> \(x+y+z\ge3\)với mọi x, y, z dương

Và \(x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)\)

Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^2+y^2+z^2-\left(x+y+z\right)+18}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\)

Đặt: x + y + z = t ( t\(\ge3\))

Xét hiệu: \(\frac{t^2}{t^2-3t+18}-\frac{1}{2}=\frac{t^2+3t-18}{t^2-3t+18}=\frac{\left(t-3\right)\left(t+6\right)}{\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{63}{4}}\ge0\)với mọi t \(\ge3\)

Do đó: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2-3\left(x+y+z\right)+18}\ge\frac{1}{2}\)(2)

Từ (1); (2) 

=> \(\frac{x^2}{\sqrt{x^3+8}}+\frac{y^2}{\sqrt{y^3+8}}+\frac{z^2}{\sqrt{z^3+8}}\ge2.\frac{1}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra <=> x= y = z = 1

                          Tình Cha bao la như núi cao nhang trời

                        Tình Mẹ rộng lớn như biển cả mênh mông 

Đối với mỗi con người , được cha mẹ yêu thương chính là niềm hạnh phúc vạn đời.Còn mẹ và cha, chỉ cần nhìn thấy con khôn lớn , bình an vô sự là đủ. Đơn giản cũng chỉ cần là một việc làm tốt cũng sẽ khiến mẹ cha vui vẻ.Hình ảnh đó vẫn luôn được khắc sâu mãi trong tâm trí của một người làm con như em.

  Không lâu trước đây , trên con đường đi học hàng ngày , em đã  vô tình nhặt được một chiếc ví đánh rơi bên vệ đường mà lúc đó , gần đấy lại không có 1 bóng người nào vì nhà em ở trong ngõ , vắng vẻ . Sắp đến giờ vào lớp nhưng em vẫn cứ do dự : ''nên đưa cho các chú cảnh sát hay là đạp xe đến trường luôn ?''.Em nhớ đến lời mẹ dặn là nhặt được của rơi phải trả cho người khác, không được tham lam nên đưa đến chỗ các chú công an.Vậy nên em liền chạy 1 mạch đến chỗ đồn cảnh sát gần nhất .  Làm thủ tục và để lại họ tên xong, em vội vã đạp xe Làm thủ tục và để lại họ tên xong, em vội vã đạp xe đến trường cho kịp giờ.Nhưng mà khi em đến thì cũng là lúc trống vang lên , em đã bị muộn học.Nhưng tuy vậy , em cũng đã làm được 1 việc làm có ích và em cũng thanh thản hơn .

  Tối đó về em bị mẹ mắng 1 trận vì đã đi học muộn .Mẹ mắng em được 1 lúc rồi bảo em tắm rồi đi ăn cơm.Mẹ hôm đó rất buồn.Đôi mắt lạnh nhạt .Đôi môi mẹ tái nhợt đi.Em là một học sinh gương mẫu , lúc nào cũng đi học đúng giờ chỉ có riêng hôm nay là đi học muộn nhưng mẹ vẫn rất buồn bã.Nhưng rồi một tiếng chuông điện thoại reo đến , chú công an gọi đến máy mẹ em và báo cho mẹ em .Ngay khi chú công an vừa dứt lời, em thấy đôi bàn tay đang gắp thức ăn của mẹ khựng lại. Trên khuôn mặt trái xoan thân thuộc như bừng sáng lên, ánh mắt mẹ nhìn em đầy trìu mến và tự hào, mẹ nở một nụ cười. Nụ cười ấy tươi tắn và chứa đựng cả niềm tự hào của mẹ. Bao nhiêu vất vả, lo toan cho cuộc sống bộn bề thường ngày giây phút đó dường như tan biến hết chỉ còn lại nụ cười và niềm vui tỏa sáng. Mẹ ân cần gắp cho em thêm thức ăn, giọng nói vui vẻ hơn hẳn: “Con của mẹ ngoan lắm''. Như vậy mới là đứa trẻ tốt. Bố mẹ của em vẫn luôn hi vọng con trưởng thành tốt đẹp như thế. Mẹ rất vui vì con đã làm như vậy”. Được mẹ khích lệ, động viên, em chợt thấy việc làm nhỏ bé của mình ý nghĩa hơn gấp nhiều lần. Cả bữa cơm hai mẹ con không ngớt lời qua lại. Mẹ tận tình giảng cho em nhiều bài học làm người hơn bằng tất cả tình yêu và những năm tháng đã qua của mẹ. Em chăm chú lắng nghe và ghi nhớ. Khung cảnh hài hòa đến nao lòng giữa cái oi bức. Gió lùa qua khe cửa mang theo cái mát rượi và hơi thở của hạnh phúc.

Tối hôm ấy , mẹ gọi điện cho bố và khoe với bố thành tích của em. Suốt cuộc điện thoại, nụ cười luôn nở trên đôi môi mẹ. Thì ra mình có thể đem đến niềm vui cho bố mẹ như vậy, dù cho chỉ là một hành động nhỏ bé trong cuộc sống này.

Sau này, em luôn khắc ghi hình ảnh mẹ lúc ấy để giữ động lực cho bản thân sống và rèn luyện tốt hơn. Hình ảnh mẹ lúc em mắc lỗi và hình ảnh mẹ khi em làm được việc tốt hài hòa trong tâm trí, nhắc nhở em phải sống tốt từng ngày. Sống cho mình và sống để xứng đáng với niềm tin của bố mẹ.

bài văn rất hay

Số thứ nhất là : 2 ; Số thứ hai là : 8

8 và 2, 2 và 8

Đặt \(AB=a,AC=b\). Ta có: \(BC^2=a^2+b^2.\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông :
\(BD.BC=AB^2\Rightarrow BD=\frac{AB^2}{BC}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Tương tự \(CD=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\).
Có \(MB.AB=BD^2\Rightarrow MB=\frac{BD^2}{AB}=\frac{a^4}{\left(a^2+b^2\right).a}=\frac{a^3}{a^2+b^2}\).
Tương tự ta tính được \(CN=\frac{b^3}{a^2+b^2}\).
Vậy \(\sqrt[3]{BM^2}+\sqrt[3]{CN^2}=\sqrt[3]{\left(\frac{a^3}{a^2+b^2}\right)^2}+\sqrt[3]{\left(\frac{b^3}{a^2+b^2}\right)^2}\)
                                                     \(=a^2.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}+b^2.\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}\)
                                                     \(=\left(a^2+b^2\right).\sqrt[3]{\frac{1}{\left(a^2+b^2\right)^2}}\)

                                                        \(=\sqrt[3]{a^2+b^2}=\sqrt[3]{BC^2}\) ( Đpcm)

bạn vẽ tam giác vuông nha

A/ sử dụng địn lí ta két trong tam giác nha

A B C D M N