Thời gian đi tỉ lệ nghịch với vận tốc.

Tỉ lệ vận tốc đi và về là: 50/60 = 5/6.

Thời gian đi và về sẽ tỉ lệ nghịch với 5/6, tức là 6/5.

Gọi thời gian đi là 6 phần, thời gian về sẽ là 5 phần. Hiệu số phần là: 6 - 5 = 1 (phần).

Hiệu thời gian là 1 phần ứng với 18 phút = 0,3 giờ.

Vậy 1 phần = 0,3 giờ

=> Thời gian đi là: 0,3 x 6 = 1,8 giờ

     Thời gian về là 0,3 x 5 = 1,5 giờ.

Quãng đường AB là 1,8 x 50 = 90 km

Thời gian đi tỉ lệ nghịch với vận tốc.

Tỉ lệ vận tốc đi và về là: 50/60 = 5/6.

Thời gian đi và về sẽ tỉ lệ nghịch với 5/6, tức là 6/5.

Gọi thời gian đi là 6 phần, thời gian về sẽ là 5 phần. Hiệu số phần là: 6 - 5 = 1 (phần).

Hiệu thời gian là 1 phần ứng với 18 phút = 0,3 giờ.

Vậy 1 phần = 0,3 giờ

=> Thời gian đi là: 0,3 x 6 = 1,8 giờ

     Thời gian về là 0,3 x 5 = 1,5 giờ.

Quãng đường AB là 1,8 x 50 = 90 km

Ta có: bình thường 20 phút.

=>hôm nay cần đi hết: 20 - 4 = 16 (phút)

=>quãng đường là: 120 x 16 = 1820 (m)

quãn đường ab dài là:

120 x (20-4)=1820 (m)

chẳng biết mình đúng không nữa

khó quá

3^105 + 4^105 = 27^35 + 64^35 chia hết cho 27+64=91

Mà 91 chia hết cho 13 nên 3^105 + 4^105 chia hết cho 13
91 ko chia hết cho 11 nên 3^105+4^105 ko chia hết cho 11 

\(\hept{\begin{cases}x+y=a\\2x-y=3\end{cases}}\Leftrightarrow x+y+2x-y=a+3\Leftrightarrow x=\frac{a+3}{3};y=a-\frac{a+3}{3}=\frac{2a-3}{3}\)

\(x>y\Leftrightarrow\frac{a+3}{3}>\frac{2a-3}{3}\Leftrightarrow a+3>2a-3\Leftrightarrow6>a\)

G dgrbydb63i99hfuhfyfhfyrhfu38rhydhrggdbyxgfgdhd gdgfhfgdbhfbhhfhf666tjhd6463hyggdgrhy4 ygfhgfhhrhm NH fgggdyhybty5 bgdgfgfhgfbdg gdhdhtdgtgdgfhgdghhhhhdgfhhhrhfjgfhfhh hgfhgfggdgdgyhfyhhhdhfgythhfhthrjhthhfht gdhdhfyhfhhggggggfhrh tế gftrgtrgyryrhygt tr trhgtbhfh

Áp dụng BĐT Cauchy ta có : \(2\ge a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\Rightarrow ab\le1\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki : 

\(\left(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\right)^2\le\left(a^2+b^2\right)\left[3\left(a^2+b^2\right)+12ab\right]\)

\(\le2\left(3.2+12.1\right)=36\)

\(\Rightarrow a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le6\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = 1

ÁP DỤNG BĐT CÔ SI ,TA CÓ:

\(\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le\frac{3a+\left(a+2b\right)}{2}=2a+b\)\(\Leftrightarrow a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}\le a\left(2a+b\right)=2a^2+ab\left(1\right)\) 

(VÌ a,b khong âm). C/M TƯƠNG TỰ TA CÓ \(b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2b^2+ab\left(2\right)\) 

TA CÓ  :\(2ab\le a^2+b^2\le2\left(3\right)\).TỪ (1),(2),(3)  TA CÓ;

\(a\sqrt{3a\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3b\left(b+2a\right)}\le2a^2+2b^2+ab+ab\le\)\(2\left(a^2+b^2\right)+2ab\le4+2=6\) 

DẤU ĐẲNG THỨC XẢY RA KHI a=b=1

A B C M N E

Gọi N là điểm trên BC sao cho BM = MN = NC

Do tam giác ABC đều nên AB = AC và \(\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^o\)

Từ đó ta có ngay \(\Delta ABM=\Delta ACN\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAN}\)  (Hai góc tương ứng)

Lấy điểm E trên tia đối tia MA sao cho ME = MA

Khi đó ta có ngay \(\Delta ABM=\Delta ENM\left(c-g-c\right)\Rightarrow AB=EN\)

Xét tam giác ABM có góc B = 60^o, \(\widehat{BAM}< 30^o\) nên \(\widehat{AMB}>90^o\)

Vậy thì theo quan hệ cạnh góc trong tam giác AB > AM

Suy ra EN > AM

Lại có AM = AN nên EN > AN hay \(\widehat{MAN}>\widehat{MEN}\Rightarrow\widehat{MAN}>\widehat{BAM}\)

Ta có \(\widehat{BAM}+\widehat{MAN}+\widehat{NAC}=60^o\Rightarrow\widehat{MAN}+2\widehat{BAM}=60^o\)

mà \(\widehat{MAN}>\widehat{BAM}\Rightarrow3\widehat{BAM}< 60^o\Rightarrow\widehat{BAM}< 20^o\)

tại sao góc BAM lại <30 độ ạ?

A=\(\frac{2018}{2017^2+1}+\frac{2018}{2017^2+2}+..........+\frac{2018}{2017^2+2017}\)

>\(\frac{2018}{2017^2+2017}+\frac{2018}{2017^2+2017}+........+\frac{2018}{2017^2+2017}\)

\(=\frac{2018}{2017^2+2017}.2017=\frac{2018.2017}{2017\left(2017+1\right)}=1\)                                  (1)

Lại có:A<\(\frac{2018}{2017^2+1}+\frac{2018}{2017^2+1}+.........+\frac{2018}{2017^2+1}\)

\(=\frac{2018}{2017^2+1}.2017=\frac{2018.2017}{2017^2+1}=\frac{2017.\left(2017+1\right)}{2017^2+1}\)

\(=\frac{2017^2+2017}{2017^2+1}=\frac{2017^2+1+2016}{2017^2+1}=1+\frac{2016}{2017^2+1}< 2\)                 (2)

Từ (1) và (2) suy ra:1 < A < 2

Vậy A không phải là số nguyên

vui nhi

phép đặt trên thực ra là chuẩn hóa bdt

:). Sử dụng Bất đẳng thức Schur.

Giải:

Đặt: \(a+b+c=p\)

       \(abc=r\)

       \(ab+bc+ac=q\)

Theo bất đẳng thức Schur:

=> \(p^2\ge3q\) , \(2p^3+9r\ge7pq\) => \(p^3-4pq+9r\ge0\)=> \(p^3-4pq+9\left(4-p\right)\ge0\Leftrightarrow p^3-4pq-9p+36\ge0\)(1)

và \(p^3\ge27r\)

Từ giả thiết ta có: \(p+r=4\)=> \(p^3+27\ge27r+27p=27\left(r+p\right)=27.4\)

=> \(p^3+27p-27.4\ge0\)\(\Leftrightarrow\left(p^3-27\right)+\left(27p-27.3\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p^2+3p+9+27\right)\ge0\Leftrightarrow\left(p-3\right)\left(p^2+3p+36\right)\ge0\Leftrightarrow p-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow p\ge3\)

Vì a, b, c >0 => \(abc>0\)=> r>0

=> \(3\le p< 4\)

=> \(\left(p+3\right)\left(p-4\right)\left(p-3\right)\le0\Leftrightarrow p^3-4p^2-9p+36\le0\) (2)

Từ (1), (2) => \(-4pq\ge-4p^2\Leftrightarrow q\le p\) hay  ab+bc+ac\(\le\)a+b+c

"=" xảy ra : \(a=b=c\)

  và \(a+b+c+abc=4\)

<=> a=b=c=1

A B C O F H E D I K A' C' B' M N

a) Do BHCK là hình bình hành nên BH // KC \(\Rightarrow KC\perp AC\Rightarrow\widehat{ACK}=90^o\)

KB // CF \(\Rightarrow\widehat{ABK}=90^o\)

Hai tam giác vuông ABK và ACK chung cạnh huyền AK nên A, B, C, K cùng thuộc đường tròn đường kính AK. Vậy K thuộc đường tròn (O).

b) Do BHCK là hình bình hành nên I là trung điểm HK.

AK là đường kính nên \(\widehat{AA'K}=90^o\Rightarrow\) DI // A'K

Vậy DI là đường trung bình tam giác HA'K. Suy ra HD = DA'

Tương tự : HF = FC' ; HE = EB'

Ta có :  \(\frac{AA'}{AD}+\frac{BB'}{BE}+\frac{CC'}{CF}=\frac{AD+DA'}{AD}+\frac{BE+EE'}{BE}+\frac{CF+FC'}{CF}\)

\(=1+\frac{DA'}{AD}+1+\frac{EB'}{BE}+1+\frac{FC'}{CF}=3+\left(\frac{DA'}{AD}+\frac{EB'}{BE}+\frac{FC'}{CF}\right)\)

\(=3+\left(\frac{HD}{AD}+\frac{HE}{BE}+\frac{HF}{CF}\right)=3+\left(\frac{S_{BHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AHC}}{S_{ABC}}+\frac{S_{AHB}}{S_{ABC}}\right)\)

\(=3+\frac{S_{ABC}}{S_{ABC}}=3+1=4\)

Vậy nên \(\frac{AA'}{AD}+\frac{BB'}{BE}+\frac{CC'}{CF}=4\)

c) Ta thấy \(\widehat{AKC}=\widehat{ABC}=\widehat{AHF}\)

Vậy nên \(\Delta AFH\sim\Delta ACK\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AK}=\frac{AF}{AC}\)  (1)

AFH và AEH là các tam giác vuông chung cạnh huyền AH nên AFHE là tứ giác nội tiếp.

Vậy thì \(\widehat{AFM}=\widehat{AHE}=\widehat{ACN}\)

Lại có \(\Delta AFH\sim\Delta ACK\Rightarrow\widehat{FAM}=\widehat{CAN}\)

Nên \(\Delta AFM\sim\Delta ACN\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AF}{AC}=\frac{AM}{AN}\)   (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{AH}{AK}=\frac{AM}{AN}\Rightarrow\frac{AH}{AM}=\frac{AK}{AN}\Rightarrow\) MN // HK (Định lý Talet đảo)

ghê quá cô ơi

Em mới tìm được Min thôi ạ, Max =\(2\sqrt{2}+4\)nhưng chưa biết cách giải , mọi người giúp với ạ

áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho 3 số ta có:

\(a^3+b^3+1\ge3\sqrt[3]{a^3b^3.1}=3ab\)

\(\Rightarrow M=\frac{a^3+b^3+4}{ab+1}=\frac{\left(a^3+b^3+1\right)+3}{ab+1}\ge\frac{3ab+3}{ab+1}=3\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của M=3 khi \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2=2\\a^3=b^3=1\end{cases}\Rightarrow}a=b=1\)

\(0\le a\le\sqrt{2}\Rightarrow a\left(a-\sqrt{2}\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\sqrt{2}\Rightarrow a^3\le a^2\sqrt{2}\)

Tương tự và cộng lại: \(a^3+b^3\le\sqrt{2}\left(a^2+b^2\right)=2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow M\le\frac{2\sqrt{2}+4}{ab+1}\le\frac{2\sqrt{2}+4}{1}=2\sqrt{2}+4\) (do \(ab\ge0\Rightarrow ab+1\ge1\))

Dấu "=" khi \(\left(a;b\right)=\left(0;\sqrt{2}\right);\left(\sqrt{2};0\right)\)