Ta có: \(A=1-\left[\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}\right]\)

=> Để  \(A\in N\)thì \(\frac{3}{4}-\left(\frac{3}{4}\right)^2+\left(\frac{3}{4}\right)^3-...-\left(\frac{3}{4}\right)^{2010}\in Z\)

=> \(3-3^2+3^3-...-3^{2010}\)phải chia hết cho 4.

Ta có: 3 - 3² + 3³ - ... . 3²⁰¹⁰ = (3 - 3²) + (3³ - 3⁴) + ... + (3²⁰⁰⁹ - 3²⁰¹⁰) =

       = (3.1-3.3)+...+(3²⁰⁰⁹.1+3²⁰¹⁰.3) -> có 2010 / 2 = 1005 nhóm tất cả.

          (3.1-3.3)+...+(3²⁰⁰⁹.1+3²⁰¹⁰.3) = 3.(-2)+3³.(-2)+...+3²⁰⁰⁹.(-2) = (-2).(3+3³+...+3²⁰⁰⁹) không chia hết cho 4.

 Vậy \(A\notin Z\)

Vẽ sơ đồ đoạn thẳng:

A                               (1)               (2)                     B

 |-------X------|-------------|------X-------|-----X-----|------|

                 ---6+9---                               --6-

  -------------------------201--------------------------------

Khoảng cách giữa 2 xe [từ (1) đến (2)] là: [201 - 6 - (6+9)] : 3 = 60 km

Khoảng cách từ A đến người thứ nhất (1) là: 60 + (6+9) = 75 km

Khoảng cách từ B đến người thứ hai (2) là 60 +6 =66 km.

Thời gian 2 xe đi là:

        7h15 - 6h kém 15 = 1,5 giờ.

Vận tốc xe đi từ A là:

      75 : 1,5 = 50 km/h

Vận tốc xe đi từ B là:

      66 : 1,5 = 44 km/h

Xin lỗi, hình vẽ bị xộc xệch. Các bạn vẽ lại cho chuẩn xác hơn nhé.

Bài 1 :

Gọi số người của đội là \(x\) người \(\left(x\inℕ^∗\right)\)
Thời gian làm theo kế hoạch là \(\frac{420}{x}\) ngày
Số người lúc sau là \(x+5\)  người 
Thời gian hoàn thành lúc sau là \(\frac{420}{x+5}\) ngày 
Vì thời gian giảm 7 ngày nên ta có phương trình :

\(\frac{420}{x}-7=\frac{420}{x+5}\)

\(\Leftrightarrow420\left(x+5\right)-7x\left(x+5\right)=420x\)

\(\Leftrightarrow420x+2100-7x^2-35x-420x\)

\(\Leftrightarrow7x^2+35x-2100=0\)

\(\Leftrightarrow x^2+5x-300=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+20\right)\left(x-15\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x=15\) \(\left(x\inℕ^∗\right)\)

Vậy số người của đội là 15 người.

bạn vẽ hình ra đc k 

Cách 1:

A B C M N 30 20 30 20 30 0 0 0 0 0 80 0

Cách 2:

A B C M E 40 0 60 0 80 0

Gọi số thỏa đề bài là \(\frac{x}{7}\)ta có

a < \(\frac{x}{7}\)< b \(\Leftrightarrow7a< x< 7b\)

Vây x \(\in\)(7a + 1 đến 7b - 1)

Tổng các số đó là

\(\frac{7a+1}{7}+\frac{7a+2}{7}+...+\frac{7b-1}{7}\)

\(=\frac{1}{7}\left(7a+1+...+7b-1\right)\)

\(=\frac{1}{7}\times\frac{\left(7b-7a-1\right)\left(7a+7b\right)}{2}\)

Bạn làm tiếp nhé

Đặt \(ab+4=m^2\)\(\left(m\in N\right)\)
\(\Rightarrow ab=m^2-4=\left(m-2\right)\left(m+2\right)\)

\(\Rightarrow b=\frac{\left(m-2\right)\left(m+2\right)}{a}\)
Ta có:  \(m=a+2\Rightarrow m-2=a\)
\(\Rightarrow b=\frac{a\left(a+4\right)}{a}=a+4\)
Vậy với mọi số tự nhiên \(a\) luôn tồn tại \(b=a+4\) để \(ab+4\) là số chính phương.

Vinh nên sửa lại là chọn m = a + 2 thì bài toán sẽ chặt chẽ hơn.

O A B C D E H F

a) Do D thuộc đường tròn (O), AB là đường kính nên \(\widehat{BDC}=90^o\Rightarrow BD\perp AC\)

Xét tam giác vuông ABC, đường cao BD ta có:

\(AB^2=AD.AC\)  (Hệ thức lượng)

b) Xét tam giác BEC có O là trung điểm BC; OH // CE nên OH là đường trung bình của tam giác. Vậy nên H là trung điểm BE.

Ta có OH // CE mà CE vuông góc AB nên \(OH\perp BE\)

Xét tam giác ABE có AH là trung tuyến đồng thời đường cao nên nó là tam giác cân.

Hay AB = AE.

Từ đó ta có \(\Delta ABO=\Delta AEO\left(c-c-c\right)\Rightarrow\widehat{OEA}=\widehat{OBA}=90^o\)

Vậy AE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

c) Xét tam giác vuông OBA đường cao BH, ta có:

\(OB^2=OH.OA\) (Hệ thức lượng)

\(\Rightarrow OC^2=OH.OA\Rightarrow\frac{OH}{OC}=\frac{OC}{OA}\)

Vậy nên \(\Delta OHC\sim\Delta OCA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{OHC}=\widehat{OCA}\)

d) Ta thấy \(\widehat{OCF}=\widehat{FCE}\left(=\widehat{OFC}\right)\)

Lại có \(\widehat{OCH}=\widehat{ACE}\left(=\widehat{OAC}\right)\)

Nên \(\widehat{HCF}=\widehat{FCA}\) hay CF là phân giác góc HCA.

Xét tam giác HCA, áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có:

\(\frac{HF}{FA}=\frac{HC}{CA}\Rightarrow FA.HC=HF.CA\left(đpcm\right)\)

ở phần c còn cạnh nào nữa để 2 tam giác đấy đồng dạng vậy cậu

Ta chọn điểm O bất kì nằm trong mặt phẳng chứa 5 đường thẳng ấy. Qua O ta dựng các đường thẳng song song với các đường thẳng đã cho , khi đó có 10 góc đôi một đối đỉnh qua O . Vậy sẽ có ít nhất một góc không vượt quá \(\frac{180^o}{5}=36^o\)

'

'

'

'

'

'

Bổ đề : Chứng minh tam giác nội tiếp đường tròn có 1 cạnh là đường kính đường tròn là tam giác vuông

A B C O 1 2

OA = OB = OC (bán kính của (O)) nên\(\Delta COA\) cân tại O có\(\widehat{A}=\widehat{C_1}\);\(\Delta COB\)cân tại O có\(\widehat{B}=\widehat{C_2}\)

\(\Delta ABC\)có\(\widehat{A}+\widehat{ACB}+\widehat{B}=180^0\Leftrightarrow\widehat{C_1}+\widehat{ACB}+\widehat{C_2}=180^0\Leftrightarrow2\widehat{ACB}=180^0\Rightarrow\widehat{ACB}=90^0\left(đpcm\right)\)

A B M N C

Áp dụng cmt,ta có\(\Delta AMB,\Delta BNA\)lần lượt vuông tại M,N có : AM = BN ; AB chung

\(\Rightarrow\Delta AMB=\Delta BNA\left(ch-cgv\right)\Rightarrow\widehat{MBA}=\widehat{NAB}\)(2 góc tương ứng) =>\(\Delta ABC\)cân tại C.

A B M N C

Vì AM = BN nên \(\text{sđcung}AM=\text{sđcung}BN\)

mà \(\widehat{ABM}\) và \(\widehat{BAN}\) lần lượt chắn hai cung này nên có số đo bằng nhau.

Từ đó suy ra đpcm.

x = 0 và y = 500 !!!

x = 0 và y = 500

Chúc bạn học tốt!