\(A=\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)=\sqrt{\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)}.\sqrt{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}.\sqrt{\left(z^2-xy\right)\left(x^2-yz\right)}\)Giả sử \(x^2\ge yz;y^2\ge zx;z^2\ge xy\)

Theo Cosi ta có : 

\(\sqrt{\left(x^2-yz\right)\left(y^2-zx\right)}\le\frac{x^2-yz+y^2-zx}{2}\)

\(\sqrt{\left(y^2-zx\right)\left(z^2-xy\right)}\le\frac{y^2-zx+z^2-xy}{2}\)

\(\sqrt{\left(z^2-xy\right)\left(x^2-yz\right)}\le\frac{z^2-xy+x^2-yz}{2}\)

Cộng theo vế ta được : 

\(A\le\frac{x^2-yz+y^2-zx+y^2-zx+z^2-xy+z^2-xy+x^2-yz}{2}=\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\)

\(=1-\left(xy+yz+zx\right)\le1-\left(x^2+y^2+z^2\right)=1-1=0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\) hoặc \(x=y=z=\frac{-1}{3}\) ( thỏa mãn giả sử ) 

Chúc bạn học tốt ~ 

PS : ko chắc :v 

Em vừa giải bên AoPS:

A B C D J M E G O I H N K F

+) Kẻ: AJ // CI //EF; I; J thuộc BD và M thuộc EF

Xét \(\Delta\)BAJ  có: FM // AJ 

=> \(\frac{BA}{BF}=\frac{BJ}{BM}\)

Xét  \(\Delta\)BCI có: ME // IC 

=> \(\frac{BC}{BE}=\frac{BI}{BM}\)

Từ hai điều trên => \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BJ}{BM}+\frac{BI}{BM}=\frac{BI+BJ}{BM}\)(1)

Xét \(\Delta\)AJO và \(\Delta\)CIO  có:

OA = OC ( ABCD là hình bình hành) 

^AOJ = ^COI ( đối đỉnh)

^AJO = ^CIO ( AJ // CI , so le trong )

=> \(\Delta\)AJO = \(\Delta\)CIO ( g-c-g)

=> JO = IO 

KHi đó BI + BJ = BO + OI + BO - JO  = 2 BO +  (IO - JO) = 2 BO = 2.2. BM = 4BM ( vì M là trung điểm BO )

=> BI + BJ = 4BM Thế vào (1) 

=> \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{4BM}{BM}=4\)(2)

+) Kẻ BH // BG //FK  với H; G thuộc AC

Chứng minh tương tự như trên ta suy ra: \(\frac{BA}{AF}+\frac{AD}{AK}=4\)(3)

Cộng (2) + (3) vế theo vế:

\(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}+\frac{BA}{AF}+\frac{AD}{AK}=8\)mà AD = BC

=> \(AB\left(\frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}\right)+BC\left(\frac{1}{BE}+\frac{1}{AK}\right)=8\)(4)

Mặt khác: \(\frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}=\frac{1^2}{BF}+\frac{1^2}{AF}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{BF+AF}=\frac{4}{AB}\) và \(\frac{1}{BE}+\frac{1}{AK}\ge\frac{4}{BE+AK}\)

KHi đó: \(8\ge AB.\frac{4}{AB}+BC.\frac{4}{BE+AK}\)

<=> \(BE+AK\ge BC\)

Dấu "=" xảy ra <=> BF = AF  và BE = AK 

Hay F là trung điểm AB.

Gọi giao điểm của AM và DE là O

a) Dễ chứng minh ADME là hình chữ nhật => AM = DE

Để ADME là hình vuông thì AM là tia phân giác của ^BAC => M là chân đường phân giác kẻ từ A đến BC

b) Tam giác AHM vuông tại H => HO = AO = MO = DO = EO

Xét tam giác DHE có HO = DO = EO => tam giác DHE vuông tại H => đpcm

c) Ta sẽ chứng minh HK = MN

Theo Talet : \(\frac{HK}{BK}=\frac{AD}{BD}\Rightarrow HK=\frac{BK\cdot AD}{DB}=\frac{BK\cdot ME}{DB}\)

Theo hệ thức lượng tam giác MEC có: \(ME^2=MN.MC\Rightarrow MN=\frac{ME^2}{MC}\)

Ta cần chứng minh: \(\frac{ME^2}{MC}=\frac{BK\cdot ME}{BD}\)

\(\Leftrightarrow\frac{ME}{MC}=\frac{BK}{DB}\)

Lại có tam giác BKD đồng dạng tam giác MNE => \(\frac{BK}{BD}=\frac{MN}{ME}\)

\(\Rightarrow\frac{ME}{MC}=\frac{MN}{ME}\Leftrightarrow ME^2=MC\cdot MN\) ( luôn đúng theo hệ thức lượng )

Do đó ta có HK = MN

<=> HK + HM = MN + HM

<=> KM = HN ( đpcm )

c) đang nghĩ :)

thôi ko nghĩ nữa đâu, a bận rồi =)) sorry mấy đứa

Góc β: Góc giữa h_1, j Góc β: Góc giữa h_1, j Góc γ: Góc giữa C, O, C' Góc γ: Góc giữa C, O, C' Góc δ: Góc giữa O, D, E Góc δ: Góc giữa O, D, E Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng h_1: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [D, O] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [O, E] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [D, E] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [O, H] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [O, K] B = (-0.58, 1.03) B = (-0.58, 1.03) B = (-0.58, 1.03) C = (1.82, 1.02) C = (1.82, 1.02) C = (1.82, 1.02) Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm A: Điểm trên g Điểm D: Điểm trên h_1 Điểm D: Điểm trên h_1 Điểm D: Điểm trên h_1 Điểm O: Giao điểm của g, f Điểm O: Giao điểm của g, f Điểm O: Giao điểm của g, f Điểm E: Giao điểm của k, i Điểm E: Giao điểm của k, i Điểm E: Giao điểm của k, i Điểm H: Giao điểm của n, m Điểm H: Giao điểm của n, m Điểm H: Giao điểm của n, m Điểm K: Giao điểm của p, h_1 Điểm K: Giao điểm của p, h_1 Điểm K: Giao điểm của p, h_1

a. Do \(CE=\frac{OB^2}{BD}\Rightarrow CE=\frac{OB.OC}{BD}\Rightarrow\frac{CE}{OB}=\frac{OC}{BD}\)

Lại vì tam giác ABC cân tại A nên \(\widehat{DBO}=\widehat{OCE}\)

Từ đó suy ra \(\Delta DBO\sim\Delta OCE\left(c-g-c\right)\)

b. Do \(\Delta DBO\sim\Delta OCE\Rightarrow\frac{BO}{CE}=\frac{DO}{OE}\Rightarrow\frac{CO}{CE}=\frac{DO}{OE}\left(1\right)\)

và \(\widehat{BOD}=\widehat{CEO}\)

Ta có \(\widehat{BOD}+\widehat{DEO}+\widehat{EOC}=180^o=\widehat{OEC}+\widehat{DEO}+\widehat{EOC}\)

 nên \(\widehat{DOE}=\widehat{OCE}\left(2\right)\)

Từ (1), (2) suy ra \(\Delta DOE\sim\Delta OCE\left(c-g-c\right)\Rightarrow\Delta DOE\sim\Delta OCE\sim\Delta DBO.\)

c. Từ các tam giác đồng dạng ta suy ra \(\widehat{BDO}=\widehat{EDO};\widehat{DFO}=\widehat{CFO}\)

hay DO, EO lần lượt là các phân giác của các góc \(\widehat{BDE};\widehat{DEC}.\)

d. Gọi chân đường vuông góc kẻ từ O xuổng DE, AB lần lượt là H, K. Ta thấy ngay OK không đổi và OH chính là khoảng cách từ O đến ED.

Khi đó ta thấy ngay \(\Delta DHO=\Delta DKO\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow OH=OK\) (không đổi).

Hay vãn cứt

Bạn xem lời giải ở đường link sau nhé:

Câu hỏi của Thanh Thanh - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Ta có:\(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x^{3m}x-x+3^{3n}-x^2+x^2+x+1=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)+x^2\left(\left(x^3\right)^n-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)Ta lại có: (Hằng đẳng thức)

\(a^n+b^n=\left(a+b\right)\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+ab^{n-2}+b^{n-1}\right)\)chia hết cho a+b

=>\(\left(x^3\right)^m-1\)chia hết cho \(x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)chia hết cho  \(x^2+x+1\)

và \(\left(x^3\right)^n-1\)chia hết cho \(x^3-1=\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)\)chia hết cho  \(x^2+x+1\)

mà \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1=x^{3m}x-x+3^{3n}-x^2+x^2+x+1=x\left(\left(x^3\right)^m-1\right)+x^2\left(\left(x^3\right)^n-1\right)+\left(x^2+x+1\right)\)
=> \(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1\) chia hết cho \(x^2+x+1\)

_________________________________________________________________________________

Xét 

\(x^{3m+1}+x^{3n+2}+1-\left(x^2+x+1\right)\)

\(=x^{3m}.x+x^{3n}.x^2+1-x^2-x-1\)

\(=x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)\)

Do \(x^{3m}-1=\left(x^3\right)^m-1^m⋮x^3-1⋮x^2+x+1\)

\(x^{3n}-1=\left(x^3\right)^n-1^n⋮x^3-1⋮x^2+x+1\)

\(\Rightarrow x\left(x^{3m}-1\right)+x^2\left(x^{3n}-1\right)⋮x^2+x+1\)

\(\Rightarrow x^{3m+1}+x^{3n+2}+1-\left(x^2+x+1\right)⋮x^2+x+1\)

\(\Rightarrow x^{3m+1}+x^{3n+2}+1⋮x^2+x+1\)

A B C M P N S1 S2 S3

a, Đặt: \(\hept{\begin{cases}S_1=S_{PMA}\\S_2=S_{NMB}\\S_3=S_{PNC}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{S_1}{S}=\frac{AM.AP}{AB.AC}\)

Và: \(\frac{S_2}{S}=\frac{BM.BN}{AB.CB}\)

Và: \(\frac{S_3}{S}=\frac{CP.CN}{AC.BC}\)

Ta có: \(\frac{AM}{MB}=\frac{k}{1}\Leftrightarrow\frac{AM}{AM+MB}=\frac{k}{k+1}\Leftrightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{k}{k+1}\)

\(\frac{CP}{PA}=\frac{k}{1}\Leftrightarrow\frac{AP}{CP}=\frac{1}{k}\Leftrightarrow\frac{AP}{AP+CP}=\frac{1}{k+1}\)

\(\Leftrightarrow\frac{AP}{AC}=\frac{1}{k+1}\Rightarrow\frac{S_1}{S}=\frac{AM}{AB}.\frac{AP}{AC}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)

Chứng minh tương tự ta có: \(\frac{S_2}{S}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\) và \(\frac{S_3}{S}=\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)

\(\Rightarrow S_{MNP}=S-\left(S_1+S_2+S_3\right)=S-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}.S=S\left(1-\frac{3k}{\left(k+1\right)^2}\right)\)

b, \(S_{MNP}\) nhỏ nhất \(\Leftrightarrow\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\)lớn nhất.

Ta có: \(\left(k+1\right)^2\ge4k\Leftrightarrow\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\le\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow Max\left[\frac{k}{\left(k+1\right)^2}\right]=\frac{1}{4}\)

Khi \(k=1\Leftrightarrow M,P,N\) là trung điểm của \(AB,BC,CA\) và \(Min_{S_{MNP}}=S\left[1-\frac{3.1}{\left(1+1\right)^2}\right]=\frac{S}{4}\)

(Cũng không chắc)

giải thích thêm chỗ S1/S, S2/S, S3/S

ta có:\(\frac{x}{xy+x+1}\)+\(\frac{y}{yz+y+1}\)+\(\frac{z}{xz+z+1}\)

         =\(\frac{x}{xy+x+1}\)+\(\frac{xy}{xyz+xy+x}\)+\(\frac{xyz}{x^2yz+xyz+xy}\)

         =\(\frac{x}{xy+x+1}\)+\(\frac{xy}{xy+x+1}\)+\(\frac{1}{xy+x+1}\)(vì xyz=1)

         =\(\frac{x+xy+1}{xy+x+1}\)

         =1

Ta có :\(\frac{x}{xy+x+1}+\frac{y}{yz+y+1}+\frac{z}{xz+z+1}\)

       \(=\frac{x}{xy+x+1}+\frac{xy}{xyz+xy+x}+\frac{xyz}{x^2yz+xyz+xy}\)

       \(=\frac{x}{xy+x+1}+\frac{xy}{xy+x+1}+\frac{1}{xy+x+1}\)vì    xyz=1

        \(=\frac{x+xy+1}{xy+x+1}\)

        \(=1\)

Hướng làm nè : 

Giả sử : \(a=min,c=max\)

Thì : \(t=c,k=a\)

Ta đặt : \(b=a+x,c=a+y\left(x\le y\right)\)

Rồi thay vào BĐT cần chứng minh, phá tung ra là được :))

P/s : Mày ra đề làm dài khiếp á !!

 ミ★ Đạt ★彡m làm rõ đi:)) Mà tao đoán cách của m phá ra xong m sẽ ko biết nhóm cho thích hợp đâu:P Cái điều kiện \(x\le y\) sẽ gây khó khăn cho m, cách tao khác.

10, \(5x^3+11y^3=-13z^3\)

\(\Rightarrow5x^3+11y^3⋮13\)

\(\Rightarrow x,y⋮13\)

\(\Rightarrow z⋮13\)

Đến đây dùng lùi vô hạn nhé

4. Nếu em đã tìm hiểu về giai thừa thì ở bài 4, chúng ta có thêm điều kiện: x, y, z là số tự nhiên và x,y < z

+) TH1: x = 0; y = 0 => z = 2 (tm)

+) TH2: x = 0; y = 1=> z = 2(tm)

+) Th3: x= 1; y = 0 => z = 2(tm)

+) TH4: x = 1; y= 1 => z = 2 (tm)

+) TH5: y > 1 

với \(x\le y\)

Khi đó: x! = 1.2.3...x; 

            y! = 1.2.3...x.(x+1)...y

            z! = 1.2.3....x.(x+1)...y(y+1)...z

Từ (4) <=> 1 + (x+1).(x+2)...y = (x + 1)....y(y+1)...z

<=> ( x+1)(x+2)...y[(y+1)...z - 1 ] = 1

<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(x+2\right)...y=1\\\left(y+1\right)...z-1=1\end{cases}}\)vô lí vì y > 1

Với \(y\le x\)cũng làm tương tự và loại'

Vậy:...