10, \(5x^3+11y^3=-13z^3\)

\(\Rightarrow5x^3+11y^3⋮13\)

\(\Rightarrow x,y⋮13\)

\(\Rightarrow z⋮13\)

Đến đây dùng lùi vô hạn nhé

4. Nếu em đã tìm hiểu về giai thừa thì ở bài 4, chúng ta có thêm điều kiện: x, y, z là số tự nhiên và x,y < z

+) TH1: x = 0; y = 0 => z = 2 (tm)

+) TH2: x = 0; y = 1=> z = 2(tm)

+) Th3: x= 1; y = 0 => z = 2(tm)

+) TH4: x = 1; y= 1 => z = 2 (tm)

+) TH5: y > 1 

với \(x\le y\)

Khi đó: x! = 1.2.3...x; 

            y! = 1.2.3...x.(x+1)...y

            z! = 1.2.3....x.(x+1)...y(y+1)...z

Từ (4) <=> 1 + (x+1).(x+2)...y = (x + 1)....y(y+1)...z

<=> ( x+1)(x+2)...y[(y+1)...z - 1 ] = 1

<=> \(\hept{\begin{cases}\left(x+1\right)\left(x+2\right)...y=1\\\left(y+1\right)...z-1=1\end{cases}}\)vô lí vì y > 1

Với \(y\le x\)cũng làm tương tự và loại'

Vậy:...

Th1: n chan =>n^4+4n la, hop so. 

Th2:n le => n=2k+1

=>n ^4+4n =n^4+2^2n+2n-2.2^n

=(n^2+2^n)^2 -2.2^k+1=(n^2+2^n)^2

=(2^k+1)^2=(n^2+2^n-2^k+1)(n^2+2^n+2^k+1)

=>h 2 so tren LA hop so

Ta có: \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2=\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(x-z\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\) nên với \(x,y,z>0\) ta có:

\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}\) áp dụng ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+2}}\le\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\right)}\)

Với: \(x,y>0\) ta có: \(x+y\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Áp dụng ta được:

 \(\frac{1}{ab+a+2}=\frac{1}{ab+1+a+1}=\frac{1}{ab+abc+a+1}=\frac{1}{ab\left(c+1\right)+\left(a+1\right)}\)

\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{ab\left(c+1\right)}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{abc}{ab\left(c+1\right)}+\frac{1}{a+1}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

Vậy ta có: \(\frac{1}{ab+a+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}\right)\)

Tương tự như trên ta có: \(\frac{1}{bc+b+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}\right)\) và \(\frac{1}{ca+c+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\) nên:

\(\Rightarrow\sqrt{3\left(\frac{1}{ab+a+2}+\frac{1}{bc+b+2}+\frac{1}{ca+c+2}\right)}\)

\(\le\sqrt{3.\frac{1}{4}\left(\frac{c}{c+1}+\frac{1}{a+1}+\frac{a}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)}=\frac{3}{2}\)

Vậy \(\frac{1}{\sqrt{ab+a+2}}+\frac{1}{\sqrt{bc+b+2}}+\frac{1}{\sqrt{ca+c+2}}\le\frac{3}{2}\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}\right)\). BĐT quy về:\(\Sigma_{cyc}\frac{\sqrt{yz}}{\sqrt{xy+xz+2yz}}\le\frac{3}{2}\)

Áp dụng liên hoàn BĐT Cô si:

\(VT=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{yz}{\left(xy+yz\right)+\left(xz+yz\right)}}\le\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{yz}{4}\left(\frac{1}{xy+yz}+\frac{1}{xz+yz}\right)}\)

\(=\frac{1}{2}\Sigma_{cyc}\sqrt{1\left(\frac{yz}{xy+yz}+\frac{yz}{xz+yz}\right)}\le\frac{1}{4}\Sigma_{cyc}\left(1+\frac{yz}{xy+yz}+\frac{yz}{xz+yz}\right)=\frac{3}{2}\)

 \(1+5^x=2^y+5.2^z\)

+) Với \(x\inℕ^∗\)

Xét:  VT = \(1+5^x\)chia 4 dư 2 và chia 5 dư 1

+) Với \(y,z\inℕ^∗\)

Xét VP = \(2^y+5.2^z\)

TH1: y , z > 1

=> VP = \(2^y+5.2^z\)chia hết cho 4 

=> loại

TH2: y , z = 1

=> VP = 12 chia hết cho 4 

=> loại

TH3: y = 1, z > 1

=> VP = \(2+5.2^z\)chia 5 dư 2

=> loại

TH4: y > 1, z = 1

=> Ta có phương trình: \(5^x=2^y+9\)

Với y = 2 thì \(5^x=13\)loại

Với y > 2. khi đó: \(2^y+9\) chia 8 dư 1 => \(5^x\)chia 8 dư 1 => x là số chẵn => Đặt x = 2k ( k là số tự nhiên >1)

Ta có phương trình:\(5^{2k}-9=2^y\)

<=> \(\left(5^k-3\right)\left(5^k+3\right)=2^y\)

Khi đó tồn tại hai số tự nhiên a, b sao cho: a + b = y và a > b để:

\(\hept{\begin{cases}5^k+3=2^a\\5^k-3=2^b\end{cases}}\)=> \(2^a-2^b=6\)(1)

Với : b > 2 => \(2^a-2^b⋮8\)loại

Với : b = 2 => \(2^a-4=6\)=> loại

Với b = 1 => \(2^a-2=6\)=> \(2^a=8=2^3\)=> a = 3

Với b = 0 => \(2^a-1=6\)loại

Vậy b = 1 và a = 3 là thỏa mãn (1) 

=> y = a + b = 4 

=> \(5^x=2^4+9=25=5^2\)

=> x = 2

Ta thử lại với x = 2; y = 4 ; z = 1 thấy thỏa mãn

Vậy: x =2 ; y = 4 ; z = 1.

12 phút = 12/60 (giờ)=0,2 (giờ)

Gọi vận tốc ban đầu của xe là \(x\)(km/h), vận tốc đi trên đoạn đường xấu là \(x-10\) (km/h). (ĐK x>10)

Đoạn đường xấu là 1/4 quãng đường AB và băng \(240:4=60\) (km).

Theo bài ra ta có: \(\frac{60}{x-10}-\frac{60}{x}=0,2\)

=> \(0,2x^2-2x-600=0\)

=> \(x=60\) hoặc \(x=-50\)(loại)

Vận tốc ban đầu là 60km, vận tốc trên đoạn đường xấu là 60-10 = 50km/h

h

Tổng của nửa chu vi và chiều dài của hình chữ nhật là là: 30 x 2 = 60 ( m )

Nếu tăng chiều rộng lên 15m thì hình chữ nhật trở thành hình vuông, chiều dài hình chữ nhật trở thành cạnh của hình vuông và lớn hơn chiều rộng của hình chữ nhật là 15m 

Khi đó: tổng của nửa chu vi và 1 cạnh của hình vuông là:

60 + 15 = 75 ( m)

Mà nửa chu vi của hình vuông gấp hai lần cạnh.

Ta có sơ đồ:

nửa chu vi cạnh 75m

Tổng số phần là:

2 + 1 = 3 ( phần )

Mỗi phần có giá trị:

75 : 3 = 25 (m )

Cạnh của hình vuông là:

25 x 1 = 25 ( m)

Chiều dài của hình chữ nhật là 25 m

Chiều rộng của hình chữ nhật là: 

25 - 15 = 10 (m)

Đáp số:...

CR là 15 m

CD là 45 m

Chúng ta có nhận xét: \(\left(2x-1\right)\left(5-x\right)=-2x^2+11x-5\)

ĐK: \(\hept{\begin{cases}2x-1\ge0\\5-x\ge0\end{cases}\Leftrightarrow}\frac{1}{2}\le x\le5\)(1)

Với những bài có nhận xét như trên. Thì hầu như chúng ta sẽ làm như sau:

 Đăt \(\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}=t\)( \(t\ge0\))

<=> \(2x-1+5-x+2\sqrt{-2x^2+11x-5}=t^2\)( bình phương hai vế )

<=> \(x+4+2\sqrt{-2x^2+11x-5}=t^2\)

<=> \(x+2\sqrt{-2x^2+11x-5}=t^2-4\)

<=> \(x-2+2\sqrt{-2x^2+11x-5}=t^2-6\)

Phương trình ban đầu trở thành:

\(t=t^2-6\)với \(t\ge0\)

<=> \(t^2-t-6=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}t=3\\t=-2\left(loai\right)\end{cases}}\)

Với t = 3 ta có:

\(\sqrt{2x-1}+\sqrt{5-x}=3\)

<=> \(x+4+2\sqrt{\left(2x-1\right)\left(5-x\right)}=9\)

<=> \(2\sqrt{\left(2x-1\right)\left(5-x\right)}=5-x\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}5-x=0\\2\sqrt{2x-1}=\sqrt{5-x}\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=5\\4\left(2x-1\right)=5-x\end{cases}}\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=5\\x=1\end{cases}}\)( thỏa mãn đk (1))

Vậy:...

Bạn ơi cái này mk chỉ ghi cách làm và ct thôi nha 

đây dùng hàng đẳng thức (a-b)(a+b)=a^2-b^2

còn kia là công thức toán lớp 6

\(\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{1}\right)}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{1}}{\sqrt{3^2}-\sqrt{1^2}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}-\sqrt{1}\right)\)

Tương tự:

\(\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\)

.....

\(\frac{1}{\sqrt{2019}+\sqrt{2017}}=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2019}-\sqrt{2017}\right)\)

Cộng các vế với nhau ta được:

\(S=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2019}-\sqrt{1}\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{2019}-1\right)\)

giải : Ta có :
a_n = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n² + 3n) (n² + 3n + 2) + 1

= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)²

Với n là số tự nhiên thì n² + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, a_n là số chính phương.

giải : Ta có :
a_n = n(n + 1) (n + 2) (n + 3) + 1

= (n² + 3n) (n² + 3n + 2) + 1

= (n² + 3n)² + 2(n² + 3n) + 1

= (n² + 3n + 1)²

Với n là số tự nhiên thì n² + 3n + 1 cũng là số tự nhiên, theo định nghĩa, a_n là số chính phương.

Theo em nghĩ bài này ko thiếu điều kiện đâu cô quản lí ạ !!!

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(ab+1\right)^2\le\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(a^2+1=a.a.1+1\le\frac{a^3+a^3+1}{3}+1=\frac{2.\left(a^3+2\right)}{3}\)

\(b^2+1=b.b.1+1\le\frac{b^3+b^3+1}{3}+1=\frac{2.\left(b^3+2\right)}{3}\)

Do đó:

\(\left(ab+1\right)^2\le\frac{4}{9}\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)\)

\(\Rightarrow ab+1\le\frac{2}{3}\sqrt{\left(a^3+2\right)\left(b^3+2\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a^3+2}{ab+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}\) \(\left(1\right)\)

Tương tự, ta có:

\(\frac{b^3+2}{bc+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}\) \(\left(2\right)\)

\(\frac{c^3+2}{ca+1}\ge\frac{3}{2}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng theo vế của \(\left(1\right)\), \(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) và áp dụng BĐT AM-GM, ta có:

\(G\ge\frac{3}{2}\left(\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}+\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}+\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}\right)\) \(\ge\frac{3}{2}.3\sqrt[3]{\sqrt{\frac{a^3+2}{b^3+2}}.\sqrt{\frac{b^3+2}{c^3+2}}.\sqrt{\frac{c^3+2}{a^3+2}}}=\frac{9}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\)

Vậy: \(G_{min}=\frac{9}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\) 

Nếu có thể thì cô Chi check xem nick Đinh Uyển Tình và Đông Phương Lạc có cùng địa chỉ máy tính không ạ??

Bạn Đông Phương Lạc tự đăng tự tl ko bt nhục à