Giả sử tồn tại các số nguyên x,y thảo mãn \(x^4+y^3+4=0\) \(\left(1\right)\)

Ta có: \(\left(1\right)\) \(\Leftrightarrow\left(x^2-2x+2\right)\left(x^2+2x+2\right)=-y^3\)

Trước tiên ta nhận xét rằng x phải là một số lẻ, bởi ngược lại nếu x là một số chẵn thì \(x^4+4=-y^3\) là lập phương của một số chẵn, nhưng \(x^4+4\) không chia hết cho 8 với mọi số nguyên x ( vô lí ).

Vậy x là một số lẻ, suy ra y cũng là một số lẻ.

Đặt \(d=\left(x^2-2x+2,x^2+2x+2\right)\)

Ta có: \(4x=\left[\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2-2x+2\right)\right]⋮d\)

Mặt khác d là số lẻ ( vì \(-y^3⋮d\)  và y là số lẻ ), dẫn đến \(\left(4,d\right)=1\) và do đó \(x⋮d\)

Suy ra \(2⋮d\) nên \(d=1\) ( vì d lẻ )

Tóm lại, hai số nguyên \(x^2-2x+2\) và \(x^2+2x+2\) là hai số nguyên tố cùng nhau, có tích là lập phương của một số nguyên nên mỗi số là lập phương của một số nguyên.

Đặt:

\(x^2-2x+2=a^3,x^2+2x+2=b^3\) với \(a,b\inℤ\)

Suy ra \(\left(x-1\right)^2=\left(a-1\right)\left(a^2+a+1\right)\)

\(\left(x+1\right)^2=b^3-1=\left(b-1\right)\left(b^2+b+1\right)\)

Do đó: \(a-1\ge0,b-1\ge0\)

Gọi \(d_1\) là ước chung lớn nhất của \(a-1\) và \(a^2+a=1\) thì \(3a=\left[\left(a^2+a+1\right)-\left(a-1\right)^2\right]⋮d_1\)

Mà \(\left(a,d_1\right)=1\) ( vì \(d_1\) là ước của \(a-1\) ) nên \(3⋮d_1\) )

Do đó: \(d_1\in\left\{1;3\right\}\)

Tương tự gọi \(d_2\) là ước chung lớn nhất của \(b-1\) và \(b^2+b+1\) thì \(d_2\in\left\{1;3\right\}\)

Chú ý rằng nếu \(d_1=d_2=3\) thì \(\left(x-1\right)^2\) và \(\left(x+1\right)^2\) đều chia hết cho 3

Suy ra \(2=\left(x+1\right)-\left(x-1\right)\) chia hết cho 3 ( vô lí )

Vì vậy trong hai số \(d_1,d_2\) phải có một số bằng 1

+ Nếu \(d_1=1\) thì khi đó \(a-1\) và \(a^2+a+1\) là hai số nguyên tố cùng nhau có tích là một số chính phương nên cả 2 số đó đồng thời là số chính phương.

Đặt \(a^2+a+1=m^2\) thì

\(4m^2=4\left(a^2+a=1\right)=\left(2a+1\right)^2+3\)

Do đó \(\left(2m-2a-1\right)\left(2m+2a+1\right)=3\)

TH1: \(2m-2a-1=1,2m+2a+1=3\) thì \(a=0\) ( vô lí vì phương trình \(x^2-2x+2\) không cs nghiệm nguyên )

TH2: \(2m-2a-1=3,2m+2a+1=1\) thì \(a=-1\) ( vô lí vì phương trình \(x^2-2x+2=-1\)  không cs nghiệm nguyên )

+ Nếu \(d_2=1\) làm tương tự ta không tìm đc x,y thỏa mãn.

Vậy không tồn tại các số nguyên x,y thỏa mãn đề bài.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\left(\sqrt{\frac{3+x^2}{x}}.\sqrt{x}+\sqrt{\frac{3+y^2}{y}}.\sqrt{y}+\sqrt{\frac{3+z^2}{z}}.\sqrt{z}\right)^2\) \(\le\left(\frac{3+x^2}{x}+\frac{3+y^2}{y}+\frac{3+z^2}{z}\right)\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\left(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}\right)^2\) \(\le\left(\frac{3}{x}+\frac{3}{y}+\frac{3}{z}+x+y+z\right)\left(x+y+z\right)\)

Kết hợp giải thiết:

\(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}=2x+2y+2z\) suy ra:

\(\left(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}\right)^2\le4.\left(x+y+z\right)^2\)

Do đó:

\(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}\le2.\left(x+y+z\right)\) \(\left(1\right)\)

Theo giải thiết ta có:

\(\sqrt{3+x^2}+\sqrt{3+y^2}+\sqrt{3+z^2}=2x+2y+2z\)

Do đó xảy ra đẳng thức ở \(\left(1\right)\) tức là:

\(\hept{\begin{cases}\frac{3+x^2}{x}=\frac{3+y^2}{y}=\frac{3+z^2}{z}\\\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z}=2x+2y+2z\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)

Thử lại thấy bộ số \(\left(x,y,z\right)=\left(1,1,1\right)\) thỏa mãn.

x, y, z là số thực 

Làm sao có thể sử dụng \(\sqrt{x}\)

A B C x E D F I O

ED là đường trung bình của tam giác ABC nên ED = 1/2 BC

Vì ED là đường trung bình nên D là trung điểm của AC.

Tam giác DAE = tam giác DCF (Trường hợp GCG) => DE = DF.

BCFE là hình bình hành vì có 2 cặp cạnh đối song song.

=> BF cắt EC tại trung điểm O của mỗi đoạn.

Trong tam giác CEF có: CD và FO là trung tuyến => I là trọng tâm tam giác CEF.

=> CI = 2/3 CD 

=> \(IC^2=\frac{4}{9}CD^2\)   (1)

Ta có: \(IA.ID=\left(AD+ID\right).ID=\left(CD+\frac{1}{3}CD\right).\frac{1}{3}CD=\frac{4}{9}CD^2\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(IC^2=ID.IA\)

b) Do I là trọng tâm tam giác CEF nên ID/IC = 1/2

Gọi số đó là a

a= 4p+3 = 17m+9= 19n+13 
a+25 =4p+28= 17m+34 =19n+38 
a+25 chia hết cho 4, 17, 19 
a+25 chia hết cho 4.17.19 =1292 
Vậy a chia 1292 dư (1292-25) = 1267

Bài này mình làm rồi, đúng 100%

A= 4p+3 = 17m+9= 19n+13 
A+25 =4p+28= 17m+34 =19n+38 
nhận thấy A+25 đồng thời chia hết cho 4, 17 và 19 
vậy A+25 chia hết cho 4.17.19 =1292 
A chia 1292 dư (1292-25) = 1267

+) Nhận xét: Nếu a + b = 1 thì f(a) +f(b) = 1. Thật vậy:

Ta có: f(a) + f(b) = \(\frac{100^a}{100^a+10}+\frac{100^b}{100^b+10}=\frac{100^{a+b}+10.100^a+100^{b+a}+10.100^b}{\left(100^a+10\right)\left(100^b+10\right)}\)

\(=\frac{100^1+10.\left(100^a+100^b\right)+100^1}{100^{a+b}+10.\left(100^a+100^b\right)+100}=\frac{200+10.\left(100^a+100^b\right)}{200+10.\left(100^a+100^b\right)}=1\)

+) Áp dụng: 

 \(f\left(\frac{1}{2015}\right)\) + \(f\left(\frac{2}{2015}\right)\)+ \(f\left(\frac{3}{2015}\right)\)+ ... + \(f\left(\frac{2014}{2015}\right)\)

= \(\left[f\left(\frac{1}{2015}\right)+f\left(\frac{2014}{2015}\right)\right]+\left[f\left(\frac{2}{2015}\right)+f\left(\frac{2013}{2015}\right)\right]+...+\left[f\left(\frac{1007}{2015}\right)+f\left(\frac{1008}{2015}\right)\right]\)

= 1 + 1 + ...+ 1 (có 2014 : 2 = 1007 số 1)

= 1007

số vở BÌnh:  20 :2=10

trung bình mỗi bạn : (20+10+6):2=18

số vở Nam : 18+6=24

Bài giải

Số cuốn vở của bạn Bình là:

   20 nhân  \(\frac{1}{2}\)= 10 (cuốn vở)

Gọi số cuốn vở của Nam là x, we have:

   (20 + 10 + x) : 3 = x + 6

    (30 + x) : 3 = x + 6

     30 : 3 + x : 3 = x + 6

    10 + x : 3 = x + 6

            x : 3 = x + 6 - 10

            x : 3 = x - 4

            x      = (x - 4) nhân 3

            x      = x nhân 3 - 4 nhân 3

            x      = x nhân 3 - 12

            x nhân 3 - 12 - x  = 0

            x nhân 3 - x - 12 = 0 (x nhân 3  - x = x nhân 3 - x nhân 1 = x nhân (3 - 1) = x nhân 2)

            x nhân 2 -12 = 0

            x nhân 2       = 12

            x                   = 12 : 2

            x                   = 6

Vậy Nam có 6 cuốn vở

Các số có 1 chữ số trong số A là :

(9-1):2 + 1=5(số)

=> có 5 x 1 =5 (chữ số)

Các số có 2 chữ số trong số A là

(99 - 11):2 +1=45(số)

=>có 45x2= 90(chữ số)

các chữ số của các số có 3 chữ số trong A là :

245 - 45 -90-5=105 ( chữ số  )

gọi số cuối cùng là a

ta có :

[(a - 100 ) : 2 + 1 ] x 3 =105

            (a-100) : 2 +1 =105 : 3

            (a-100) : 2 + 1=35

                    (a-100) :2= 35-1 

                     (a-100) :2= 34

                           a-100=34x2

                           a-100=68

                                   a=68+ 100

                             vậy a=168

=> chữ số tận cùng của a là số 8

\(A_k=135...k,k\inℕ^∗\)

Số chữ số của \(A_k\)là \(S_k\)thì ta thấy \(S_k=1.S_9+2.S_{99}+...\)

\(S_k=1.S_9+2.S_{99}+3.S_{209}\)

Do đó k=209?????

Vậy A tận cùng là 9

bạn dùng đồng dư mod 25 nha bạn

 số này có tận cùng là 0 nên nếu nó là scp nó phải chia hết cho 25

bạn cm nó ko chia hết cho 25

bạn c/m nó không chia hết đc k mình cũng nghĩ đến trường hợp này rồi nhưng không ra :(

Thời gian đi từ A đến C của Hùng là:  11 - 8 = 3 (giờ)

          Thời gian đi từ B đến C của Dũng là:   11 - 8 = 3 (giờ)

          Quãng đường AB là 30 km do đó cứ 1 giờ  khoảng cách của Hùng và Dũng bớt đi 10 km. Vì vậy lúc 9 giờ Hùng còn cách Dũng là 20 km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh cũng cách Hùng 20 km.

          Đến 9 giờ 24 phút, Ninh gặp Hùng do đó tổng vận tốc của Ninh và Hùng là:

                             20 : $$

          Do vận tốc của Ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng nên vận tốc của Hùng là:

                             [50 : (1 + 4)] . 4 = 40 (km/h)

          Từ đó suy ra quãng đường BC là:

                             40 . 3 - 30 = 90 (km)

                                                                   Đáp số:  BC = 90 km

Cho mình hỏi chỗ tổng vận tốc của Ninh và Hùng là : 20: ??? gì vậy

Câu a. Giả sử có m thỏa mãn đề bài, khi đó sẽ có số \(a\ge0\)để \(\sqrt{1-x^2}=a\)hay \(1-x^2=a^2\)
Suy ra: \(x^2=1-a^2\).
Nếu a > 1 thì không có x thỏa mãn.
Nếu a = 1 thì x = 0 ( duy nhất).
Nếu \(0\le a< 1\)thì \(x=\sqrt{1-a^2}\)hoặc \(x=-\sqrt{1-a^2}\). Rõ ràng hai giá trị này là phân biệt.
Vậy chỉ khi a = 1 thì x  = 0 duy nhất. Khi đó m = 3 .
Ngược lại thay m = 3 vào phương trình ta có: \(\sqrt{1-x^2}+2\sqrt[3]{1-x^2}=3.\)
Đặt \(1-x^2=a^6\), thay vào phương trình ban đầu ta có:
\(a^3+2a^2=3\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a^2-a+3\right)=0\)
 Vậy a = 1 hay \(1-x^2=1\)suy ra x = 0 là nghiệm duy nhất.
 

Câu b ta đặt: \(\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=a\)sau đó bình phương hai vế lên ta được 1 phương trình bậc hai theo tham số a.
Dùng điều kiện \(\Delta=0\)ta sẽ tìm được a.