Theo giả thiết suy ra \(\frac{a\left(y+z\right)}{abc}=\frac{b\left(z+x\right)}{abc}=\frac{c\left(x+y\right)}{abc}\)\(\Rightarrow\)\(\frac{y+z}{bc}=\frac{z+x}{ac}=\frac{x+y}{ab}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{y+z}{bc}=\frac{z+x}{ac}=\frac{x+y}{ab}=\frac{z+x-\left(y+z\right)}{ac-bc}=\frac{x-y}{c\left(a-b\right)}\) (1)

\(\frac{y+z}{bc}=\frac{z+x}{ac}=\frac{x+y}{ab}=\frac{y+z-\left(x+y\right)}{bc-ab}=\frac{z-x}{b\left(c-a\right)}\) (2)

\(\frac{y+z}{bc}=\frac{z+x}{ac}=\frac{x+y}{ab}=\frac{x+y-\left(z+x\right)}{ab-ac}=\frac{y-z}{a\left(b-c\right)}\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(\frac{y-z}{a\left(b-c\right)}=\frac{z-x}{b\left(c-a\right)}=\frac{x-y}{c\left(a-b\right)}\) (đpcm).

(đpcm) Tức là : đá phải con mèo

\(\hept{\begin{cases}2x^2+2xy+2x+6=0\left(1\right)\\\left(x+1\right)^2+3\left(y+1\right)+2\left(xy-\sqrt{x^2y+2y}\right)=0\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\left(1\right)-\left(2\right)\Leftrightarrow x^2+2-3y+2\sqrt{y\left(x^2+2\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{y}\right)^2-4y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{y}-2\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x^2+2}+\sqrt{y}+2\sqrt{y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+2}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x^2+2}+3\sqrt{y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+2}-\sqrt{y}=0\)

\(\Leftrightarrow y=x^2+2\)

Làm nốt

\(ĐK y⩾0\)

Hệ đã cho tương đương với 

          {2x2+2xy+2x+6=0(x+1)2+3(y+1)+2xy=2√y(x2+2){2x2+2xy+2x+6=0(x+1)2+3(y+1)+2xy=2y(x2+2)

Trừ từng vế 22 phương trình ta được

          x2+2+2√y(x2+2)−3y=0x2+2+2y(x2+2)−3y=0

 ⇔(√x2+2−√y)(√x2+2+3√y)=0⇔(x2+2−y)(x2+2+3y)=0

 ⇔x2+2=y

Ta đặt \(\hept{\begin{cases}x+z=a\\y+z=b\end{cases}\Rightarrow ab=1}\)

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge4\)

Ta có

\(\frac{1}{\left(a-b\right)^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+a^2+\frac{1}{a^2}\)

\(=\frac{1}{\left(a-\frac{1}{a}\right)^2}+\left(a-\frac{1}{a}\right)^2+2\)

\(\ge2+2=4\)

bạn chưa chỉ ra dấu bằng xảy ra khi nào

P=\(n^4+4=n^4+4n^2+4-4n^2=\left(n^2+2\right)-4n^2=\left(n^2-2n+2\right)\left(n^2+2n+2\right)\)

Để P là số nguyên tố thì:

TH1:\(\hept{\begin{cases}n^2-2n+2=1\\n^2+2n+2=n^4+4\end{cases}}\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}n\left(n-2\right)=-1\left(1\right)\\n^2+2n+2=n^4+4\left(2\right)\end{cases}}\).Giải phương trình (1)  ta được n=1 thay vào phương trình 2 cũng thỏa mãn.Vậy x=1 thỏa mãn

TH2:\(\hept{\begin{cases}n^2+2n+2=1\\n^2-2n+2=n^4+4\end{cases}}\).Tương tự TH1 thì ta cũng có x=-1 thỏa  mãn

Vậy...........................

BS đề bài : n thuộc N*

P = n⁴+4 = n⁴ + 4n² + 4 - 4n²

= (n² + 2)² - (2n)²

= (n² - 2n +2)(n² + 2n + 2)

Mà n² + 2n +2 > n² - 2n +2 ( vì n thuộc N*)

\(\Rightarrow\)Để P là số nguyên tố thì n² - 2n + 2 = 1

\(\Rightarrow\)n² - 2n +1 = 0

\(\Rightarrow\)(n - 1)² = 0 

\(\Rightarrow\)n - 1 = 0 

\(\Rightarrow\)n = 1 ( thỏa mãn điều kiện )

Thử lại  : Với n=1 thì P = 1⁴ +4 = 5 là số nguyên tố ( chọn )

Vậy n = 1

Ta có: x+16=x+1+15 mà x+16 chia hết cho x+1 nên 15 chia hết cho x+1.

suy ra: x+1 =-1 hoặc x+1=1 hoặc x+1= -3 hoặc x+1=3 hoặc x+1=-5 hoặc x+1=5 hoặc x+1=-15 hoặc x+1=15. 

Từ đó suy ra các giá trị tương ứng của x cần tìm là:

x= -2 hoặc x=0 hoặc x=-4 hoặc x=2  hoặc x=-6 hoặc x=4 hoặc x= -16 hoặc x=14

Kết quả là 2

Vì:16+2=18

    1+2=3

Mà:18 chia hết cho 3

Nên KQuả là 2

\(\sqrt{3x^2-6x-6}=3\sqrt{\left(2-x\right)^5}+\left(7x-19\right)\sqrt{2-x}\)

Điều kiện: \(\hept{\begin{cases}3x^2-6x-6\ge0\\2-x\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x\le1-\sqrt{3}\)

Ta có:

\(\frac{\sqrt{3x^2-6x-6}}{\sqrt{2-x}}=3\left(2-x\right)^2+\left(7x-19\right)\) (điều kiện \(x\le\frac{5}{6}-\frac{\sqrt{109}}{6}\))

\(\Leftrightarrow\frac{3x^2-6x-6}{2-x}=9x^4-30x^3-17x^2+70x+49\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(3x-8\right)\left(3x^3-11x^2+4+13\right)=0\)

(Kết hợp với điều kiện ta suy ra) 

\(\Leftrightarrow x=-1\)

x = 1 nha bạn

Cách giải y hệt bạn alibaba nguyễn. Các bạn làm theo nha

Đúng 100%

Đúng 100%

Ta đặt: \(\frac{1}{x}=a;\frac{1}{y}=b;\frac{1}{z}=c;\frac{1}{t}=d\)  ( a, b, c, d >0 )

Khi đó ta cần chứng minh:

 \(\frac{a^3}{\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{db}}+\frac{b^3}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}}+\frac{c^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{da}}+\frac{d^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+d\right)\)

\(VT=\frac{a^3}{\frac{b+c+d}{bcd}}+\frac{b^3}{\frac{a+c+d}{acd}}+\frac{c^3}{\frac{a+b+d}{abd}}+\frac{d^3}{\frac{a+b+c}{abc}}\)

\(=\frac{a^3}{\frac{a\left(b+c+d\right)}{abcd}}+\frac{b^3}{\frac{b\left(a+c+d\right)}{abcd}}+\frac{c^3}{\frac{c\left(a+b+d\right)}{abcd}}+\frac{d^3}{\frac{d\left(a+b+c\right)}{abcd}}\)

\(=\frac{a^2}{b+c+d}+\frac{b^2}{a+c+d}+\frac{c^2}{a+b+d}+\frac{d^2}{a+b+c}\)

\(\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{3\left(a+b+c+d\right)}=\frac{a+b+c+d}{3}=VP\)

Vậy ta đã chứng minh được

\(\frac{a^3}{\frac{1}{bc}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{db}}+\frac{b^3}{\frac{1}{ac}+\frac{1}{cd}+\frac{1}{da}}+\frac{c^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bd}+\frac{1}{da}}+\frac{d^3}{\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}}\ge\frac{1}{3}\left(a+b+c+d\right)\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d 

Vậy : 

\(\frac{1}{x^3\left(yz+zt+ty\right)}+\frac{1}{y^3\left(xz+zt+tx\right)}+\frac{1}{z^3\left(xy+yt+tx\right)}+\frac{1}{t^3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{1}{3}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{t}\right)\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = t = 1

nguowch đề :))

\(ab^2+b+7⋮a^2b+a+b\Leftrightarrow a\left(ab^2+b+7\right)-b\left(a^2b+a+b\right)⋮a^2b+a+b\Leftrightarrow7a-b^2⋮a^2b+a+b\left(1\right)\)

\(+,7a=b^2\Rightarrow\left(a;b\right)=\left(7k^2;7k\right)\left(k\text{ nguyên dương}\right)\)

\(+,7a>b^2\text{ từ 1}\Rightarrow7a-b^2\ge a^2b+a+b\Leftrightarrow6a\ge a^2b+b+b^2\text{ mà: b là số nguyên dương}\Rightarrow b< 3\Leftrightarrow b\in\left\{1;2\right\}\)

làm tiếp

\(+,7a< b^2\text{ từ (1)}\Rightarrow b^2-7a\ge a^2b+a+b\Leftrightarrow voli\text{ :)}.Tự\text{ kết luận}\)

Từ giả thiết \(1\le a\le2\),suy ra 

\(\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow a^2-3a+2\le0\)

Tương tự \(b^2-3b+2\le0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2-3\left(a+b\right)+4\le0\)

Do đó 

\(P=a^2+b^2-3\left(a+b\right)+4-\left(a+\frac{1}{a}\right)-\left(\frac{b}{4}+\frac{1}{b}\right)\)

\(P=\left[a^2+b^2-3\left(a+b\right)+4\right]-\left(\sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{b}}{2}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2-3\le-3\)

Đẳng thức xảy ra khi\(\hept{\begin{cases}\sqrt{a}=\frac{1}{\sqrt{a}}\\\frac{\sqrt{b}}{2}=\frac{1}{\sqrt{b}}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a=1\\b=2\end{cases}}\)

Vậy \(max_P=-3\Leftrightarrow a=1;b=2\)

P/ s : Các bạn tham khảo nha

từ giả thiết 1< (hoặc =)< (hoặc =) 2 

=>(a-1) (a-2) <(hoặc=)0

<=>a^2-3a+2<( hoặc=)0

Nhớ cho mình nha

A B C E D H F

Đoạn thẳng f: Đoạn thẳng [B, A] Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [A, C] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [B, C] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [B, E] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [B, D] Đoạn thẳng p: Đoạn thẳng [A, H] Đoạn thẳng q: Đoạn thẳng [D, K] Đoạn thẳng r: Đoạn thẳng [H, K] Đoạn thẳng s: Đoạn thẳng [B, K] Đoạn thẳng t: Đoạn thẳng [E, K] B = (-1.92, 8.16) B = (-1.92, 8.16) B = (-1.92, 8.16) A = (-1.88, 2.6) A = (-1.88, 2.6) A = (-1.88, 2.6) Điểm D: Giao điểm đường của c, g Điểm D: Giao điểm đường của c, g Điểm D: Giao điểm đường của c, g Điểm C: Điểm trên u' Điểm C: Điểm trên u' Điểm C: Điểm trên u' Điểm E: Trung điểm của D, C Điểm E: Trung điểm của D, C Điểm E: Trung điểm của D, C Điểm H: Giao điểm đường của d, l Điểm H: Giao điểm đường của d, l Điểm H: Giao điểm đường của d, l Điểm K: Giao điểm đường của m, n Điểm K: Giao điểm đường của m, n Điểm K: Giao điểm đường của m, n

Chúng ta dùng kiến thức lớp 7 để chứng minh bài này như sau:

Trên tia BA lấy điểm H sao cho BH = AC. Sau đó vẽ hình chữ nhật AHKD. Nối BK, EK.

Ta thấy AH = 2AB; AE = 2AB nên AH = AE.

Vậy ta thấy ngay \(\Delta BAE=\Delta EDK\left(c-g-c\right)\Rightarrow BE=EK;\widehat{BEA}=\widehat{EKD}\)

hay \(\widehat{BEK}=90^o\) và EB = EK. Vậy tam giác BEK là tam giác vuông cân tại E. Suy ra \(\widehat{BKE}=45^o\)

Ta cũng có \(\Delta BHK=\Delta CBA\left(c-g-c\right)\Rightarrow\widehat{HBK}=\widehat{BCA}\)

Do AHKD là hình chữ nhật nên HB // DK, suy ra \(\widehat{HBK}=\widehat{BKD}\) (So le trong)

Vậy nên \(\widehat{ACB}+\widehat{BEA}=\widehat{HBK}+\widehat{EKD}=\widehat{BKD}+\widehat{EKD}=\widehat{BKE}=45^o\) (đpcm)