a, b, c là 3 cạnh của tam giác vuông => a, b, c>0 

Chứng minh  \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)  (1)  quy nạp theo n.

+) Với n=1 \(a^2+b^2=c^2\)  ( đúng)

+) Với n=2 \(a^4+b^4=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2=c^4-2a^2b^2< c^4\)

=> (1) đúng với n=2

+) G/s: (1) đúng với n  . Nghĩa là: \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)

Ta chứng minh (1) đúng với n+1

Thật vậy ta có:

\(a^{2\left(n+1\right)}+b^{2\left(n+1\right)}=a^{2n+2}+b^{2n+2}=a^{2n}.a^2+b^{2n}.b^2^{ }\)

\(=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^2+b^2\right)-a^2.b^{2n}-a^{2n}.b^2\le c^{2n}.c^2-a^2b^{2n}-a^{2n}.b^2< c^{2n}.c^2=c^{2\left(n+1\right)}\)

=> (1) đúng với n+1

Vậy (1) đúng với mọi n>0

'Vậy \(a^{2n}+b^{2n}\le c^{2n}\)

MA^2+MB^2=K^2

=(A^2+B^2)×M=k^2

Vì n là số tự nhiên lớn hơn 1 nên sảy ra hai trường hợp

Th1: n là số chắn  => n⁴ + 4ⁿ  là , hợp số.

Th2: n số lẻ  => n = 2k + 1

Thì n⁴ + 4ⁿ  = n⁴ + 4^{2k + 1} = (n² + 2^{2k + 1})² - n².2^{2k + 2} = (n² + 2^{2k + 1} + n.2^{k + 1} )  (n² + 2^{2k + 1} - n.2^{k + 1} ) 

Ta có : n² + 2^{2k + 1 \(\ge2.n.2\frac{2k+1}{2}=n.2^{k+1}\)}

Mà n là số lẻ và lờn hơn 1 nên n² + 2^{2k + 1} - n.2^{k + 1} > 1

Vậy n⁴ + 4ⁿ là hợp số 

Có 2 trường hợp:

Th 1: \(n\)chẵn suy ra đương nhiên \(n^4+n^4\)là hợp số 

Th 2: \(n\)lẻ suy ra \(n=2k+1\)

Suy ra:

\(n^4+n^4=n^4+n^{2n}=n^4+2.2^n+2^{2n}-2.2^n=\left(n^2+2^n\right)^2-2.2^{2k+1}=\left(n^2+2^n\right)^2-\left(2^k+1\right)^2\)

\(=\left(n^2+2^n-2^{k+1}\right)\left(n^2+2^n+2^{k+1}\right)\)

Suy ra là tích của 2 số nên nó là hợp số
 

Nguyễn Linh Ch Thanks cô ạ,e thiếu + 2:(( ko hiểu sao dạo này e hay nhầm ạ:(

\(\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)

Đặt \(a=\frac{1}{x^2y^2}=\frac{1}{\left(xy\right)^2}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}=16\)

Ta có:

\(P=a+\frac{1}{a}+2=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{256}\right)+\frac{255a}{256}+2\)

Theo BĐT Cô-si ta có:

\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{256}}+\frac{255\cdot16}{256}+2=\frac{289}{16}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=6\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

\(P=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)\)

\(=x^2y^2+2+\frac{1}{x^2y^2}\)

Đặt \(\frac{1}{x^2y^2}=a\)

Ta có:\(a=\frac{1}{x^2y^2}=\frac{1}{\left(xy\right)^2}\ge\frac{1}{\frac{\left(x+y\right)^4}{16}}\ge16\)

Khi đó:

\(P=a+\frac{1}{a}+2=\left(\frac{1}{a}+\frac{a}{256}\right)+\frac{255a}{256}\)

Theo BĐT Cô si ( từ nay bỏ AM-GM,thấy quê quê sao á ) ta có:

\(P\ge2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{a}{256}}+\frac{255\cdot16}{256}=\frac{27}{16}\)

Dấu "=" xảy ra tại \(x=y=\frac{1}{2}\)

b)Ta có:  \(a^{2000}+b^{2000}=a^{2001}+b^{2001}\)

\(\Rightarrow a^{2001}+b^{2001}\)\(-a^{2000}-b^{2000}=0\)

\(\Rightarrow a^{2000}\left(a-1\right)+b^{2000}\left(b-1\right)=0\)(1)

và \(a^{2001}+b^{2001}=a^{2002}+b^{2002}\)

\(\Rightarrow a^{2002}+b^{2002}\)\(-a^{2001}-b^{2001}=0\)

\(\Rightarrow a^{2001}\left(a-1\right)+b^{2001}\left(b-1\right)=0\)(2)

Lấy (2) - (1), ta được: \(a^{2000}\left(a-1\right)^2+b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\)(3)

Mà \(a^{2000}\left(a-1\right)^2\ge0\forall a\)và \(b^{2000}\left(b-1\right)^2\ge0\forall b\)

nên (3) xảy ra\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^{2000}\left(a-1\right)^2=0\\b^{2000}\left(b-1\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1hoaca=0\\b=1hoacb=0\end{cases}}\)

Mà a,b dương nên a = 1 và b = 1

a) Áp dụng BĐT Svac - xơ:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\))

Áp dụng BĐT Cô -si cho 3 số không âm là a+ 2b, 3,3, ta được:

\(\sqrt[3]{a+2b}=\frac{1}{\sqrt[3]{9}}\sqrt[3]{3.3\left(a+2b\right)}\le\frac{1}{\sqrt[3]{9}}.\frac{3+3+\left(a+2b\right)}{3}\)

\(=\frac{6+a+2b}{3\sqrt[3]{9}}\)

Tương tự ta có: \(\sqrt[3]{b+2c}\le\frac{6+b+2c}{3\sqrt[3]{9}}\); \(\sqrt[3]{c+2a}\le\frac{6+c+2a}{3\sqrt[3]{9}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{a+2b}+\sqrt[3]{b+2c}+\sqrt[3]{c+2a}\le\frac{18+3\left(a+b+c\right)}{3\sqrt[3]{9}}\)

\(=\frac{27}{3\sqrt[3]{9}}=3\sqrt[3]{3}\)

(Dấu "="\(\Leftrightarrow a=b=c=1\))

a, Trong hình vuông ABCD dựng tam giác EMB đều.
MBA^=ABC^−CBE^−EBM^=90o−15o−60o=15oMBA^=ABC^−CBE^−EBM^=90o−15o−60o=15o
Dễ dàng c/m đc:
ΔΔ CEB=ΔΔ BMA (c.g.c)
\RightarrowBMA^=BEC^=150oBMA^=BEC^=150o
\RightarrowBMA^=EMA^=150oBMA^=EMA^=150o
\Rightarrow

ΔΔ EMA=ΔΔ BMA (c.g.c)
\Rightarrow AE=AB
Tương tự c/m đc DE=DC
\Rightarrow DE=AE(1)
Dễ dàng c/m đc DAE^=60o(2)DAE^=60o(2)
Từ (1) và (2) \Rightarrow Tam giác AED đều.

Đội sản xuất của 1 nông trường nhập về 567 bao ngô giống, mỗi bao có 30kg ngô. Người ta chia đều ngô giống đó cho 378 gia đình đẻ trồng ngô vào vụ mùa tới. Hỏi mỗi gia đình nhận được bao nhiêu ki - lô - gam ngô giống?

( help me ! )

Ta có  \(\left(\sqrt{a^4+a+1}-a^2\right)\left(\sqrt{a^4+a+1}+a^2\right)=a^4+a+1-a^4=a+1\) nên 

                                                        \(P=\sqrt{a^4+a+1}+a^2\)

Từ giả thiết   \(4a^2+\sqrt{2}a-\sqrt{2}=0\) suy ra \(a^2=\frac{-\sqrt{2}}{4}\left(a-1\right)\), do đó  \(a^4=\frac{1}{8}\left(a^2-2a+1\right)\) và

                   \(a^4+a+1=\frac{1}{8}\left(a^2-2a+1\right)+a+1=\frac{\left(a+3\right)^2}{8}\).

Lại do giả thiết \(a>0\) suy ra   \(\sqrt{a^4+a+1}=\sqrt{\frac{\left(a+3\right)^2}{8}}=\frac{a+3}{2\sqrt{2}}\).

Từ đó    \(P=\sqrt{a^4+a+1}+a^2=\frac{a+3}{2\sqrt{2}}+\frac{-\sqrt{2}\left(a-1\right)}{4}=\frac{\sqrt{2}\left(a+3\right)-\sqrt{2}\left(a-1\right)}{4}=\sqrt{2}\)

Ta có : STN + STP = 1994,34

STP X 100 = STN - 748

STN = STP X 100 + 748 

STP X 100 + 748 + STP = 1994,34

STP X 101 + 748 = 1994,34

STP X 101 = 1994,34 - 748

STP X 101 = 1246,34

STP = 1246,34 : 101 

STP = 12,34 

=> Số thập phân đó bằng 12,34

Ta có : STN + STP = 1994,34

STP X 100 = STN - 748

STN = STP X 100 + 748 

STP X 100 + 748 + STP = 1994,34

STP X 101 + 748 = 1994,34

STP X 101 = 1994,34 - 748

STP X 101 = 1246,34

STP = 1246,34 : 101 

STP = 12,34 

 Vậy nó là 12,34