Điểm D ???

không biết

Bài 1:

Ta có: -3²¹<-3²⁰=-(3²)¹⁰=-9¹⁰

=>-3²¹<-9¹⁰(1)

-2³¹<-2³⁰=-(2³)¹⁰=-8¹⁰

=>-2³¹<-8¹⁰(2)

mà 9>8 nên -9¹⁰<-8¹⁰ (3)

từ (1) ; (2) và (3) ta được:

-3²¹<-2³¹

Bài 2:

Ta có: 3333⁴⁴⁴⁴=(3.1111)⁴⁴⁴⁴=3⁴⁴⁴⁴.1111⁴⁴⁴⁴=(3⁴)¹¹¹¹.1111⁴⁴⁴⁴=81¹¹¹¹.1111⁴⁴⁴⁴

4444³³³³=(4.1111)³³³³=4³³³³.1111³³³³=(4³)¹¹¹¹.1111³³³³=64¹¹¹¹.1111³³³³

Vì 81>64 và 4444>3333 nên 81¹¹¹¹.1111⁴⁴⁴⁴>64¹¹¹¹.1111³³³³

hay 3333⁴⁴⁴⁴>4444³³³³

Quá dễ mà !       

Đặt \(d=\left(m,n\right)\)

Ta có :\(\hept{\begin{cases}m=ad\\n=bd\end{cases}}\)với \(\left(a,b\right)=1\)

Lúc đó

\(\frac{m+1}{n}+\frac{n+1}{m}=\frac{ad+1}{bd}+\frac{bd+1}{ad}=\frac{\left(a^2+b^2\right)d+a+b}{abd}\)là số nguyên

Suy ra \(a+b⋮d\Rightarrow d\le a+b\Rightarrow d\le\sqrt{d\left(a+b\right)}=\sqrt{m+n}\)

Vậy \(\left(m,n\right)\le\sqrt{m+n}\)(đpcm)

M A B C I D N O H K

a) CM: \(\widehat{OBM}=\widehat{ODC}\)

 \(\widehat{OBM}+\widehat{OBC}=180^o\)( kề bù)

\(\widehat{ODC}+\widehat{OBC}=180^o\)( tứ giác ODCB nội tiếp )

=> \(\widehat{OBM}=\widehat{ODC}\)

b) 

+)Xét tam giác MCN có CO là tia phân giác đồng thời là đường cao

=> Tam giác CMN cân tại C (1)

=> \(\widehat{BMA}=\widehat{DNA}=\widehat{BAM}\)( CD//BA => DN//BA)

=> Tam giác BMA cân tại B

=> BM=BA=CD ( ABCD là hình bình hành) (2)

+) CO là phân giác \(\widehat{BCD}\)

=> \(\widebat{BO}=\widebat{DO}\)

=> BO=DO (3)

+) Xét tam giác BOM và tam giác DOC có:

\(\widehat{OBM}=\widehat{ODC}\)( theo a)

BM=CD ( theo 2)

BO=DO (theo 3)

=> \(\Delta BOM=\Delta DOC\)

+) OM=OC

Và từ (1) => CO là đường trung trực của MN

=> OM=ON

Vậy OM=ON=OC

=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN

c)  GỌi H là giao của IO và BD

=> IH vuông BD và H là trung điể m BD

Ta có: \(KD^2=\left(HD-HK\right)^2=HD^2+HK^2-2.HD.HK=ID^2-IH^2+IK^2-IH^2-2HD\left(HD-KD\right)\)

\(=ID^2+IK^2-2\left(IH^2+HD^2\right)+2HD.KD=ID^2+IK^2-2ID^2+2HD.KD\)

\(=IK^2-ID^2+2HD.KD\)

=> \(IB^2-IK^2=ID^2-IK^2=2HD.KD-KD^2\)

=> \(\frac{IB^2-IK^2}{KD^2}=\frac{2HD-KD}{KD}=\frac{BD-KD}{KD}=\frac{BK}{KD}\)(4)

Ta lại có: CK là phân giác trong của tam giác CBD

=> \(\frac{BK}{KD}=\frac{CB}{CD}\)

Và MB=DC ( theo cm câu a) , CM=CN ( Tam giác CMN cân)

=> CB=DN

=> \(\frac{BK}{KD}=\frac{DN}{MB}\)(5)

Từ (4), (5)

=> ĐPCM

Sửa đề: chứng minh:\(\frac{a^2}{\sqrt{12b^2+11bc+2c^2}}+\frac{b^2}{\sqrt{12c^2+11ca+2a^2}}+\frac{c^2}{\sqrt{12a^2+11ca+2b^2}}\ge\frac{3}{5}\)

Ta có: \(12b^2+11bc+2c^2=\frac{1}{4}\left(7b+3c\right)^2-\frac{1}{4}\left(b-c\right)^2\le\frac{1}{4}\left(7b+3c\right)^2\)

Do đó: \(\frac{a^2}{\sqrt{12b^2+11bc+2c^2}}\ge\frac{2a^2}{7b+3c}\).Tương tự hai BĐT còn lại rồi cộng theo vế thu được:

\(VT\ge\frac{2a^2}{7b+3c}+\frac{2b^2}{7c+3a}+\frac{2c^2}{7a+3b}\)

\(=2\left(\frac{a^2}{7b+3c}+\frac{b^2}{7c+3a}+\frac{c^2}{7a+3b}\right)\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{10\left(a+b+c\right)}=\frac{3}{5}\)(áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel)

Ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

P/s: Is that true? Thấy đề nó là lạ nên sửa thôi chứ ko chắc rằng mình sửa đúng..

@Cool Kid: Cách của mình"

Đầu tiên ta xét hiệu: \(12b^2+11bc+2c^2-x\left(b-c\right)^2\). Ta chọn x để biểu thức sau khi phân tích có dạng một số chính phương.

\(=\left(12-x\right)b^2+\left(11+2x\right)bc+\left(2-x\right)c^2\)

\(=\left(12-x\right)\left(b+\frac{\left(11+2x\right)c}{2\left(12-x\right)}\right)^2+\left(2-x\right)c^2-\frac{\left(11+2x\right)^2c^2}{4\left(12-x\right)}\)

\(=\left(12-x\right)\left(b+\frac{\left(11+2x\right)c}{2\left(12-x\right)}\right)^2+c^2\left[\left(2-x\right)-\frac{\left(11+2x\right)^2}{4\left(12-x\right)}\right]\)

Đến đây thì ý tưởng đã rõ, ta chọn x sao cho 12 - x > 0 và:

\(\left(2-x\right)-\frac{\left(11+2x\right)^2}{4\left(12-x\right)}=0\). Bấm máy tính ta suy ra \(x=-\frac{1}{4}\)

Từ đó có thể dễ dàng suy ra cách phân tích bên trên

\(\frac{a^4+b^4}{2}\ge ab^3+a^3b-a^2b^2\)

\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2ab^3-2a^3b+2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^3\left(a-2b\right)-b^3\left(a-2b\right)+2a^2b^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-2b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)+2a^2b^2\ge0\left(1\right)\)

Do BĐT trên đối xứng,ko mất tính tổng quát giả sử \(a\le b\)

Khi đó \(\left(a-2b\right)\left(a-b\right)\left(a^2+2ab+b^2\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left(1\right)\ge0\left(true\right)\)

P/S:E ko bt chỗ giả sử có đúng ko nx:(((

\(\left(a-b\right)\left(a-2b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\) ạ.em viết nhầm:(((

Ta đặt: \(\frac{a}{b}=a-b=m\) Vì a, b là só nguyên => a, b khác 0 và m là số nguyên khác 0

=> a = b.m

=> \(b.m-b=m\)

=> \(b=\frac{m}{m-1}=\frac{m-1+1}{m-1}=1+\frac{1}{m-1}\)

Để b là số nguyên => \(m-1=\pm1\)

+) m - 1 =-1 ( loại )

+) m-1 = =1 => m=2 , b=2 => a = 2.2 = 4.

vẬY a=4; b=2.

Ta có \(\left(x+y\right)^5=120y+3< 120\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\left(x+y\right)^4< 120< 4^4\)

\(\Rightarrow x+y< 4\)

Cho mình hỏi đề bài tìm nghiệm nguyên dương chứ nhỉ

Đề bài chỉ nói tìm nghiệm nguyên thôi

Nửa chu vi của hình chữ nhật đó là :

72 : 2 = 36 (m)

Nếu giảm 1/5 chiều dài và tăng 1/4 chiều rộng thì được 1 hình chữ nhật mới có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật cũ

=> 5/4 chiều rộng =chiều dài hay 4/5 chiều dài = chiều rộng

Ta có sơ đồ :

Chiều dài :     l-----l-----l-----l-----l-----l

                                                       Tổng : 36m

Chiều rộng :   l-----l-----l-----l-----l

Chiều rộng là : 36:(5+4)x4=16(m)

Chiều dài là:36-16=20 (m)

Diện tích của hình chữ nhật đó là :

20x16 =320 (m2)

Đáp số :320m2

320 m2 chắc luôn

Đặt n = 2k , ta có                      ( đk k >= 1 do n là một số chẵn lớn hơn 4)

\(\left(2k\right)^4-4\times\left(2k\right)^3-4\times\left(2k\right)^2+16\times2k\)

\(=16k^4-32k^3-16k^2+32k\)

\(=16k^2\left(k^2-1\right)-32k\left(k^2-1\right)\)

\(=16k\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)-32\times k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\)

Nhận xét \(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\)  là 3 số tự nhiên liên tiếp nên 

\(\left(k-1\right)k\left(k+1\right)\) chia hết cho 3

Suy ra điều cần chứng minh

câu 1:

a, giả sử 2 số chẵn liên tiếp là 2k và (2k+2) ta có:

2k(2k+2) = 4k²+4k = 4k(k+1) chia hết cho 8 vì 4k chia hết cho 4, k(k+1) chia hết cho 2

b, giả sử 3 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2 với mọi a thuộc Z

• a,a+1,a+2 là 3 số nguyên liên tiếp nên tồn tại duy nhất một số chẵn hoặc có 2 số chẵn nên tích của chúng sẽ chia hết cho 2.

mặt khác vì là 3 số tự nhiên liên tiếp nên sẽ chia hết cho 3.

vậy tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 6.

c, giả sử 5 số nguyên liên tiếp là a,a+1,a+2, a+3,a+4 với mọi a thuộc Z

• vì là 5 số nguyên liên tiếp nên sẽ tồn tại 2 số chẵn liên tiếp nên theo ý a tích của chúng choa hết cho 8.
• tích của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 3.
• tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 5.

vậy tích của 5 số nguyên liên tiếp chia hết cho 120.

câu 2:

a, a³ + 11a = a[(a² - 1)+12] = (a - 1)a(a+1) + 12a

• (a - 1)a(a+1) chia hết cho 6 ( theo ý b câu 1)
• 12a chia hết cho 6.

vậy a³ + 11a chia hết cho 6.

b, ta có a³ - a = a(a² - 1) = (a-1)a(a+1) chia hết cho 3 (1) 

mn(m²-n²) = m³n - mn³ = m³n - mn + mn - mn³ = n( m³ - m) - m(n³ -n)

theo (1) mn(m²-n²) chia hết cho 3.

c, ta có: a(a+1)(2a+10 = a(a+1)(a -1+ a +2) = [a(a+1)(a - 1) + a(a+1)(a+2)] chia hết cho 6.( théo ý b bài 1)