Do UCLN(n,6) = 1 nên n không chia hết cho 2 và 3.

n không chia hết cho 2 nên n phải là số lẻ, n không chia hết cho 3 nên n chỉ có thể có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2

Nếu n = 3k + 1 thì k phải là số chẵn. Đặt k = 2j, ta có n = 3.2j + 1 = 6j + 1

Khi đó \(n^2-1=\left(6j+1\right)^2-1=36j^2+12j=12j\left(3j+1\right)\)

Nếu j chẵn, \(j=2t\Rightarrow n^2-1=12.2t\left(6t+1\right)=24t\left(6t+1\right)⋮24\)

Nếu j lẻ, \(j=2t+1\Rightarrow n^2-1=12.\left(2t+1\right)\left(6t+4\right)=24\left(2t+1\right)\left(3t+2\right)⋮24\)

Vậy \(n^2-1⋮24\)

Nếu \(n=3k+2\) thì k là số lẻ. Đặt \(k=2j+1\Rightarrow n=3\left(2j+1\right)+2=6j+5\)

\(n^2-1=\left(6j+5\right)^2-1=36j^2+60j+24=12j\left(3j+5\right)+24\)

Nếu j chẵn, \(j=2t\Rightarrow n^2-1=12.2t\left(6t+5\right)=24t\left(6t+5\right)⋮24\)

Nếu j lẻ, \(j=2t+1\Rightarrow n^2-1=12.\left(2t+1\right)\left(6t+8\right)=24\left(2t+1\right)\left(3t+4\right)⋮24\)

Vậy \(n^2-1⋮24\)

Tóm lại , khi UCLN(n ; 6) = 1 thì \(n^2-1⋮6\)

có bạn nào giải hộ mik nhé!

Ta có tính chất: Hiệu của một số với tổng các chữ số của nó chia hết cho 9

( xem cách chứng minh tại link Câu hỏi của Nguyễn Phương Chi - Toán lớp 6 - Học toán với OnlineMath )

Do đó ta có:

 \(A-S\left(A\right)⋮9\)

\(S\left(A\right)-S\left(S\left(A\right)\right)⋮9\)

\(S\left(S\left(A\right)\right)-S\left(S\left(S\left(A\right)\right)\right)⋮9\)

=> Cộng lại và triệt tiêu ta có: \(A-S\left(S\left(S\left(A\right)\right)\right)⋮9\)(1)

Ta có: \(A=2^{100}=2.2^{99}=2.8^{33}\)=> Số chữ số của A < 34

=> \(S\left(A\right)< 34.9=306\)

=> \(S\left(S\left(A\right)\right)< 3.9=27\)

=> \(S\left(S\left(S\left(A\right)\right)\right)< 2.9=18\) (2)

Mặt khác \(A=2^{100}=2.2^{99}=2.8^{33}\equiv2\left(-1\right)^{33}\equiv-2\equiv7\left(mod9\right)\)

=> \(A-7⋮9\)(3)

Từ (1); (2); (3) => S(S(S(A))) có thể bằng 7 hoặc 16

=> S(S(S(S(A)))) = 7

:)))) . Bài này thú vị quá! <3

A B C D H I J K

+) Ta có: \(\widehat{BAI}=\widehat{DAI}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}\)( AI là phân giác \(\widehat{BAD}\))

\(\widehat{ADI}=\widehat{CDI}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}\)(1)

=> \(\widehat{ADI}+\widehat{DAI}=\frac{1}{2}\widehat{ADC}+\frac{1}{2}\widehat{BAD}=\frac{1}{2}\left(\widehat{ADC}+\widehat{BAD}\right)=\frac{1}{2}.180^o=90^o\)

Xét \(\Delta\)AID có: \(\widehat{ADI}+\widehat{DAI}=90^o\)=> \(\widehat{AID}=90^o\)

=> \(\Delta\) AID vuông tại I; có H là trung điểm AD => \(HI=\frac{1}{2}AD=AI=ID\Rightarrow HI=\frac{10}{2}=5cm\)

Tương tự ta chứng minh được: 

\(\Delta\)BJC vuông tại J; có K là trung điểm BC => \(JK=\frac{1}{2}AC=BK=KC\Rightarrow JK=\frac{12}{2}=6cm\)

+) Xét hình thang ABCD có: HK là đường trung bình

=> HK//DC  (i)

và \(HK=\frac{1}{2}\left(AB+DC\right)=15\left(cm\right)\)

+) Xét tam giác HDI có HD=HI => Tam giác HDI cân tại H => ^HDI=^HDI  (2)

Từ (1) , (2) => ^HID =^CDI mà hai góc ở vị trí so le trong => HI//DC   (ii)

Tương tự chứng minh được KJ//DC  (iii)

Từ (i); (ii); (iii) => H; I; J; K thẳng hàng => \(IJ=HK-HI-JK=15-5-6=4\left(cm\right)\)

Dạ :3 Con cảm ơn cô ạ :)

Bài 1 : \(\frac{2}{3}< \left[\frac{1}{6}+\frac{2}{15}+\frac{3}{40}+\frac{4}{96}\right]:5\times x< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{2}{3}< \left[\frac{1}{6}+\frac{2}{15}+\frac{3}{40}+\frac{1}{24}\right]:5\cdot x< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{2}{3}< \left[\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{2}{15}+\frac{3}{40}\right]:5\cdot x< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{2}{3}< \frac{5}{12}:5\cdot x< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{2}{3}< \frac{1}{12}\cdot x< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{2}{3}< \frac{x}{12}< \frac{5}{6}\)

=> \(\frac{8}{12}< \frac{x}{12}< \frac{10}{12}\)

=> x = 9

Bài 2 : \(\frac{\left[\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\right]}{x}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{132}\)

=> \(\frac{\left[1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16}\right]}{x}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{11\cdot12}\)

=> \(\frac{\left[1-\frac{1}{16}\right]}{x}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}\)

=> \(\frac{15}{\frac{16}{x}}=1-\frac{1}{12}\)

=> \(\frac{15}{\frac{16}{x}}=\frac{11}{12}\)

=> \(\frac{15}{16}:x=\frac{11}{12}\)

=> \(x=\frac{45}{44}\)

Bài 3 : \(\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{10}+...+\frac{1}{x\times(x+1):2}=\frac{399}{400}\)

=> \(\frac{2}{6}+\frac{2}{12}+\frac{2}{20}+...+\frac{2}{x\times(x+1)}=\frac{399}{400}\)

=> \(2\left[\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{x\times(x+1)}\right]=\frac{399}{400}\)

=> \(2\left[\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\frac{1}{4\cdot5}+...+\frac{1}{x\times(x+1)}\right]=\frac{399}{400}\)

=> \(\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right]=\frac{399}{800}\)

=> \(\frac{1}{2}-\frac{1}{x+1}=\frac{399}{800}\)

=> \(\frac{1}{x+1}=\frac{1}{800}\)

=> x = 799

Bài 2 :

\(\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\right):x=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{132}\) (*)

Ta có : \(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{8}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}+\frac{1}{16}=\frac{8+4+2+1}{16}=\frac{15}{16}\) (1)

Lại có : \(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+...+\frac{1}{132}\)

\(=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{11.12}\)

\(=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{11}-\frac{1}{12}\)

\(=1\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)+\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)+...+\left(-\frac{1}{11}+\frac{1}{11}\right)-\frac{1}{12}\)

\(=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}\) (2)

Thay (1) và (2) vào biểu thức (*) ta được :

\(\frac{15}{16}:x=\frac{11}{12}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{15}{16}:\frac{11}{12}\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{45}{44}\)

Vậy : \(x=\frac{45}{44}\)

\(3\left(x^2-2x-xy\right)+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow3x^2-6x-3xy+y^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)-2x^2-6x-xy=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2-2\left(x^2+2x+1\right)-x-2-xy=0\)

Đến đây thì .....

Em thử nha, ko chắc:v

PT \(\Leftrightarrow3x^2-3x\left(2+y\right)+y^2=0\)

\(\Delta=\left[-3\left(2+y\right)\right]^2-12y^2=-3y^2+36y+36\)

\(\Leftrightarrow6-4\sqrt{3}\le y\le6+4\sqrt{3}\). Mà \(y\inℤ\) nên\(0\le y\le12\)

Rồi thay từng số y vào giải pt bậc 2 biến x. 

P/s: Em làm đúng ko ta?

A B C I K

+) \(\Delta\)ABC cân => \(\hept{\begin{cases}AB=AC\left(1\right)\\\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\end{cases}}\)

Ta có:  \(\widehat{BAC}=100^o\)=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180^o-\widehat{BAC}}{2}=40^o\)

\(\widehat{IBC}=\widehat{ABC}-\widehat{ABI}=40^o-10^o=30^o\)

\(\widehat{ACI}=\widehat{BCI}=\frac{\widehat{ACB}}{2}=\frac{40^o}{2}=20^o\)(i)

+) Trên nửa mặt phẳng bờ AC  chứa B lấy điểm K sao cho \(\Delta\)AKC đều => \(\hept{\begin{cases}\widehat{KAC}=\widehat{ACK}=\widehat{AKC}=60^o\\AK=KC=AC\left(2\right)\end{cases}}\)

=> \(\widehat{BAK}=\widehat{BAC}-\widehat{KAC}=100^o-60^o=40^o\)

Từ (1); (2) => AB=AK => \(\Delta\)ABK cân tại A => \(\widehat{ABK}=\widehat{AKB}=\frac{180^o-\widehat{BAK}}{2}=70^o\)

=> \(\widehat{KBC}=\widehat{ABK}-\widehat{ABC}=70^o-40^o=30^o\)

\(\widehat{KCB}=\widehat{KCA}-\widehat{ACB}=60^o-40^o=20^o\)

+) Xét \(\Delta\)BIC và \(\Delta\)BKC có:

\(\widehat{IBC}=\widehat{KBC}\left(=30^o\right)\)

BC chung

\(\widehat{ICB}=\widehat{KCB}\left(=20^o\right)\)

=>  \(\Delta\)BIC = \(\Delta\)BKC 

=> CK =CI (3)

(2); (3) => CI =CA =>  \(\Delta\)ACI cân tại C

b)   \(\Delta\)ACI cân tại C có: \(\widehat{ACI}=20^o\) (theo (i) )

=> \(\widehat{CIA}=\widehat{CAI}=\frac{180^o-\widehat{ACI}}{2}=80^o\)

=> \(\widehat{BAI}=\widehat{BAC}-\widehat{CAI}=100^o-80^o=20^o\)

Vẫn thiếu: r là số dư của a chia cho 42 hay r<42.

Ta có:  \(a=42x+r=2.3.7x+r\)

Vì a là số nguyên tố

=> r không thể chia hết cho các số 2; 3; 7

Mặt khác r là hợp số ( r không phải là số nguyên tố; r khác 1)

Các số không chia hết cho 2 và là hợp số là: 9; 15; 21;25;27;33;35;39  loại đi các số không chia hết cho 3 , 7

=> r =25

Như vậy a=42.x+25 <200

Nếu x\(\ge\)5 => 42.x+25 \(42.5+25\ge235>200\)( loại)

Do đó x<5

+) x = 0 

=> a = r=25 loại

+) x=1

=> a=42.1+25=67 ( là số nguyên tố) => a=67 thỏa mãn

+) x=2

=> a=42.2+25=109  ( tm)

+) x=3 

=> a=42.3+25=151 (tm)

+) x=4

=> a=42.2+25 =193 ( tm)

Vậy \(a\in\left\{67;109;151;193\right\}\)

Gọi \(I\)là giao điểm của \(BC\)và \(AM\)còn \(H\)và \(K\)theo thứ tự là hình chiếu của \(B\)và \(C\)trên \(AM\)

Ta có: \(BI\ge BH\)và \(CI\ge CH\)( quan hệ đường xiên - đường vuông góc )

Đẳng thức xảy ra khi \(AM\perp BC\)

Suy ra:

           \(MA.BC=MA.\left(BI+BC\right)\ge MA.\left(BH+CK\right)\)

       \(\Leftrightarrow MA.BC\ge MA.BH+MA.CK\)

      \(\Leftrightarrow MA.BC\ge2S_{MAB}+2S_{MCA}\)                                                      \(\left(1\right)\)

Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\Leftrightarrow MA.BC\ge2S_{MAB}+2S_{MCA}\)         \(\left(2\right)\)

( Đẳng thức xảy ra khi \(MB\perp CA\))

      \(MC.AB\ge2S_{MCA}+2S_{MBC}\)                                                            \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế với ba bất đẳng thức \(\left(1\right)\)và \(\left(2\right)\)và \(\left(3\right)\)ta được:

\(MA.BC+MB.CA+MC.AB\ge4.\left(S_{MAB}+S_{MCA}+S_{ABC}\right)\)

Đặt \(S=S_{ABC}\)thì \(S\)không đổi và \(T\ge4S\)

Vậy: \(T_{min}=4S\)khi \(M\)là trực tâm \(\Delta ABC\)

A B C M N

Dựng hình bình hành AMBN. Lúc đó \(MA.BC=BN.BC\ge2S_{BCN};MB.CA\ge2S_{CAN}\)

Suy ra \(MA.BC+MB.CA\ge2\left(S_{BCN}+S_{CAN}\right)=2\left(S_{ABC}+S_{AMB}\right)\) (Vì tứ giác AMBN là hình bình hành)

Tương tự: \(MB.CA+MC.AB\ge2\left(S_{ABC}+S_{BMC}\right);MC.AB+MA.BC\ge2\left(S_{ABC}+S_{CMA}\right)\)

Do vậy \(2\left(MA.BC+MB.CA+MC.AB\right)\ge2\left(3S_{ABC}+S_{AMB}+S_{BMC}+S_{CMA}\right)=8S_{ABC}\)

Suy ra \(2T\ge8S_{ABC}\Rightarrow T\ge4S_{ABC}.\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi BN vuông góc BC, AN vuông góc AC <=> M là trực tâm \(\Delta\)ABC.

11 là số nguyên tố, (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11 => có ít nhất một thừa số chia hết cho 11, không giãm tính tính tổng quát, giả sử (16a+17b) chia hết cho 11
ta cm (17a+16b) cũng chia hết cho 11, thật vậy:
16a + 17b chia hết cho 11 => 2(16a + 17b) chia hết cho 11
=> 33(a+b) + b -a chia hết cho 11 => b-a chia hết cho 11
=> a-b chia hết cho 11

Ta có: 2(17a+16b) = 33(a+b) + a-b chia hết cho 11
do 2 và 11 là hai số nguyên tố => 17a+16b chia hết cho 11

Vậy (16a+17b)(17a+16b) chia hết cho 11.11 = 121 = 11^2 là scp => đpcm

Đề cho là (16a+17b) + (16b+17a) chia hết cho 11 chứ đâu phải là (16a+17b) . (16b+17a) chia hết cho 11