pt<=> \(x^4+2x^2+1-2x+2x^3=\left(x^2+1\right)\sqrt{x-x^3}\)

<=> \(\left(x^2+1\right)^2-2\left(x-x^3\right)=\left(x^2+1\right)\sqrt{x-x^3}\)

đặt \(x^2+1=a\left(a\ge1\right)\) và \(\sqrt{x-x^3}=b\left(b\ge0\right)\) thì ta có pt

\(a^2-2b^2=ab\)

<=> \(a^2-ab-2b^2=0\)

<=> \(a^2+ab-2ab-2b^2=0\)

<=> \(a\left(a+b\right)-2b\left(a+b\right)=0\)

<=> \(\left(a-2b\right)\left(a+b\right)=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}a=2b\\a+b=0\end{cases}}\)

TH1: \(a\ge1;b\ge0=>a+b\ne0\)

TH2: \(a=2b\)

<=>\(x^2+1=2\sqrt{x-x^3}\)

<=> \(x^4+2x^2+1=4x-4x^3\)

<=> \(x^4+4x^3+2x^2-4x+1=0\)

đây là pt đối xứng nên ta thấy x=0 ko là nghiệm của pt nên chia 2 vế cho x^2 ta có 

\(x^2+4x+2-\frac{4}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)

đặt \(x-\frac{1}{x}=y\)thì \(x^2+\frac{1}{x^2}=y^2+2\)

khi đó pt trên trở thành 

\(y^2+2+4y+2=0\)

<=> \(y^2+4y+4=0\)

<=>\(\left(y+2\right)^2=0\)

<=> \(y=-2\)

đến đây bạn tự thay vào giải nốt tìm x nha 

t

thánh biết

Đặt: \(\sqrt[3]{25-x^3}=t\Leftrightarrow t^3+x^3=25\Leftrightarrow\left(t+x\right)^3-3tx\left(t+x\right)=25\)(1)

pt trở thành: 

\(xt\left(x+t\right)=30\) Thế vào (1) ta có:

\(\left(t+x\right)^3-3.30=25\)

<=> \(t+x=\sqrt[3]{115}\)

=> \(xt=\frac{30}{\sqrt[3]{115}}\)

x, t là nghiệm của phương trình bậc 2:

 \(X^2-\sqrt[3]{115}X+\frac{30}{\sqrt[3]{115}}=0\)(1)

Đen ta <0 

=> Phương trình (1) vô nghiệm.

=> Không tồn tại x

Vậy phương trình ban đầu vô nghiệm.

55 phut co phai ko tuyet

55 phút               

a)\(2x^4+2016=x^4\sqrt{x+3}+2016x\)

a)\(pt\Leftrightarrow2x^4-2016x+2014=x^4\sqrt{x+3}-2\)

\(\Leftrightarrow2x^4-2016x+2014=x^4\sqrt{x+3}-2\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-1007\right)=\frac{x^8\left(x+3\right)-4}{x^4\sqrt{x+3}+2}\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-1\right)\left(x^3+x^2+x-1007\right)-\frac{\left(x-1\right)\left(x^8+4x^7+4x^6+4x^5+4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\right)}{x^4\sqrt{x+3}+}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(2\left(x^3+x^2+x-1007\right)-\frac{\left(x^8+4x^7+4x^6+4x^5+4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\right)}{x^4\sqrt{x+3}+}\right)=0\)

\(\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)

b)\(\sqrt[3]{81x-8}=x^3-2x^2+\frac{4}{3}x-2\)

bài này nghiệm khủng :vko liên hp dc, với sợ bị nhai lại nên đưa link tham khảo nhé :v

 Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình - Diễn đàn Toán học

c)\(\sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=4-x-\frac{1}{x}\)

\(pt\Leftrightarrow\sqrt{2-x^2}-1+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}-1=2-x-\frac{1}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2-x^2-1}{\sqrt{2-x^2}+1}+\frac{2-\frac{1}{x^2}-1}{\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}+1}=-\frac{x^2-2x+1}{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1-x^2}{\sqrt{2-x^2}+1}+\frac{\frac{x^2-1}{x^2}}{\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}+1}+\frac{x^2-2x+1}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\sqrt{2-x^2}+1}+\frac{\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{x^2}}{\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}+1}+\frac{\left(x-1\right)^2}{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(\frac{-\left(x+1\right)}{\sqrt{2-x^2}+1}+\frac{\frac{x+1}{x^2}}{\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}+1}+\frac{x-1}{x}\right)=0\)

\(\Rightarrow x-1=0\Rightarrow x=1\)

1. 

Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{pq}\)

<=> \(pq\left(x+y\right)=xy\)

Đặt: \(x=ta;y=tb\) với (a; b)=1

Ta có: \(pq.\left(a+b\right)=tab\)

<=> \(pq=\frac{t}{a+b}.ab\left(1\right)\)

 vì (a; b) =1 => a, b, a+b đôi một nguyên tố cùng nhau. (2)

(1); (2) => \(t⋮a+b\)

=> \(pq⋮ab\Rightarrow pq⋮a\)vì p; q là hai số nguyên tố nên \(a\in\left\{1;p;q;pq\right\}\)

 TH1: a=1 => \(pq⋮b\Rightarrow b\in\left\{1;p;q;pq\right\}\)

+) Khả năng 1: b=1 

(1) => \(t=2pq\)=> \(x=y=2pq\)( thỏa mãn)

+) Khả năng 2:  b=p

(1) => \(pq=\frac{t}{1+p}.p\Leftrightarrow t=\left(1+p\right)q=q+pq\)

=> \(x=at=q+pq;\)

\(y=at=pq+p^2q\)(tm)

+) Khả năng 3: b=q 

tương tự như trên

(1) => \(t=p\left(1+q\right)=p+pq\)

=> \(x=at=p+pq\)

\(y=bt=q\left(p+pq\right)=pq+pq^2\)

+) Khả năng 4: \(b=pq\)

(1) =>\(t=1+pq\)

=> \(x=1+pq;y=pq\left(1+pq\right)=1+p^2q^2\) 

 TH2: \(a=p\)

=> \(q⋮b\Rightarrow\orbr{\begin{cases}b=1\\b=q\end{cases}}\)

+) KN1: \(b=1\)

Em làm tiếp nhé! Khá là dài

2. \(x^4+4=p.y^4\)

+) Với x chẵn 

Đặt x=2m ( m thuộc Z)

=> \(16m^2+4=py^4\)

=> \(py^4⋮4\Rightarrow y^4⋮4\Rightarrow y^2⋮2\Rightarrow y⋮2\)=> Đặt y=2n ;n thuộc Z

Khi đó ta có:

\(16m^2+4=p.16n^2\Leftrightarrow4m^2+1=p.4n^2⋮4\)=> \(1⋮4\)( vô lí)

=> X chẵn loại

+) Với x lẻ

pt <=> \(x^4+4=py^4\)

<=> \(\left(x^2+2x+2\right)\left(x^2-2x+2\right)=py^4\)(i)

Gọi  \(\left(x^2+2x+2;x^2-2x+2\right)=d\)(1)

=> \(x^2+2x+2⋮d\)

    \(x^2-2x+2⋮d\)

=.> \(\left(x^2+2x+2\right)-\left(x^2-2x+2\right)=4x⋮d\)

Vì x lẻ => d lẻ 

=> \(x⋮d\)

=> \(2⋮d\Rightarrow d=1\)

Do đó: \(\left(2x^2+2x+2;2x^2-2x+2\right)=1\)(ii)

Từ (i) và (ii) có thể đặt: với \(ab=y^2\)sao cho:

 \(x^2+2x+2=pa^2;\)

\(x^2-2x+2=b^2\)<=> \(\left(x-1\right)^2+1=b^2\)\(\Leftrightarrow\left(x-1-b\right)\left(x-1+b\right)=-1\)

<=> x=b=1 hoặc x=1; b=-1

Với x=1 => a^2.p=5 => p=5  

\(S=\frac{38}{25}+\frac{9}{10}-\frac{11}{15}+\cdot\cdot\cdot+\frac{197}{4851}-\frac{199}{4950}\)

\(\Rightarrow S=\frac{38}{25}+\frac{18}{20}-\frac{22}{30}+\cdot\cdot\cdot+\frac{394}{9702}-\frac{398}{9900}\)

\(\Rightarrow S=\frac{38}{25}+2\cdot\left(\frac{9}{20}-\frac{11}{30}+\cdot\cdot\cdot+\frac{197}{9702}-\frac{199}{9900}\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{38}{25}+2\cdot\left(\frac{9}{4\cdot5}-\frac{11}{5\cdot6}+\cdot\cdot\cdot+\frac{197}{98\cdot99}-\frac{199}{99\cdot100}\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{38}{25}+2\cdot\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdot\cdot\cdot-\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{38}{25}+2\cdot\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{100}\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{38}{25}+2\cdot\left(\frac{25}{100}-\frac{1}{100}\right)\)

\(\Rightarrow S=\frac{38}{25}+2\cdot\frac{24}{100}\)

\(\Rightarrow S=\frac{38}{25}+2\cdot\frac{6}{25}\)

\(\Rightarrow S=\frac{38}{25}+\frac{12}{25}\)

\(\Rightarrow S=\frac{50}{25}=2\)

S = 1² + 2² + 3² + ... + 100²

S = 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + 100.100 

S = 1.(2 - 1 ) + 2. (3 - 1 ) + ... + 100. ( 101 - 1 )

S = 1.2 - 1 + 2. 3 - 2 + ... + 100 . 101 - 100 

S = ( 1.2 + 2.3 + ... + 100 .101 ) - ( 1 + 2 + 3 + .. + 100 ) 

Đặt A = 1.2 + 2.3 + ... 100.101 

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + ... + 100.101.3 

3A = 1.2.( 3 - 0 ) + 2.3.( 4 - 1 ) + ... + 100. 101 . ( 102 - 99 ) 

3A = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + ... + 100.101.102 - 99.100.101 

3A = 100.101.102 

A = 100.101.102 : 3 = 343400 

Vậy A = 343400 

Đặt B = 1 + 2 + 3 + ... + 100

Số số hạng của B là : ( 100 - 1 ) : 1 + 1 = 100 ssh 

B = ( 100 + 1 ) . 100 : 2 = 5050

Vậy B = 5050 

=> S = A - B 

S = 343400 - 5050 

S = 338350

Vậy S = 338350 

Học tốt

Đặt \(\sqrt{c.\left(a-c\right)}+\sqrt{c.\left(b-c\right)}\)  = A

Ta có A^2 = \(\left(\sqrt{\left(a-c\right).c}+\sqrt{c.\left(b-c\right)}\right)^2\)

Áp dụng bđt bunhiacopxki ta có A^2 <= \(\left(\sqrt{a-c}^2+\sqrt{c^2}\right).\left(\sqrt{c^2}+\sqrt{b-c^2}\right)\)

                                                       = (a-c+c).(c+b-c) = ab

<=> A<= \(\sqrt{ab}\)=> ĐPCM

Dấu"=" <=> a-c = c và c = b-c

<=> a=b=2c>0

Ta có bất đẳng thức bunhicopxki

\(\sqrt{ax}+\sqrt{by}\le\sqrt{\left(a+x\right)\left(b+y\right)}\)

Áp dụng vào ta có:

\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{c\left(b-c\right)}\le\sqrt{\left(a-c+c\right)\left(b-c+c\right)}\le\sqrt{ab}\)

Dấu bằng xảy ra khi a-c = b-c

\(5^a+25\)

\(+,a=0\Rightarrow5^a+25=26\left(l\right)\)

\(+,a=1\Rightarrow5^a+25=30\left(l\right)\)

\(+,a=2\Rightarrow5^a+25=50\left(l\right)\)

\(+,a=3\Rightarrow5^a+25=150\left(l\right)\)

\(+,a\ge4\Rightarrow5^a=\left(....25\right)+25=\left(....50\right)\Rightarrow\hept{\begin{cases}5^a+25⋮2\\5^a+25⋮4̸\end{cases}}\left(l\right)\)

shitbo ơi, TH cuối 5^n không chia hết cho 4 đúng không