Ta thấy 145¹⁴⁶ là số lẻ nên suy ra\(145^{146}-1=2k\left(k\inℕ\right)\)

Ta có:\(1999^{145^{146}}=1999^{145^{146}-1}\cdot1999\)

                \(=1999^{2k}\cdot1999=\left(1999^2\right)^k\cdot1999\)

                \(=\left(...1\right)^k\cdot1999=\left(...1\right)\cdot1999=...9\)

Tương tự ta có:\(464^{299^{398}}=...4\)

9¹=9 ; 9²=81 ; 9³=729 . Vậy : 9ⁿ;n là số lẻ thì số tận cùng là 9 ; n là số chẵn thì số tận cùng là 1 mà 145¹⁴⁶ luôn là số lẻ suy ra số tận cùng của câu 1 đó là 9.           4¹=4 ; 4²=16 ; 4³=64 . Vậy nếu 4ⁿ ; n là số chẵn thì số tận cùng là 4 và nếu n là số lẻ thì số tận cùng là 6 mà 299³⁹⁸ luôn là số lẻ suy ra số tận cùng của câu 2 là 4

p,q là các số nguyên tố khác nhau => (p;q)=1

Áp dụng định lí Fermat nhỏ có: \(p^{q-1}\equiv1\)(mod q). Mà \(q^{p-1}\equiv0\)(mod q) 

=>\(p^{q-1}+q^{p-1}\equiv1-0\equiv1\) (mod q) =>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\equiv1-1\equiv0\) (mod q) 

=>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\) chia hết cho q (1)

Lại áp dụng định lí Fermat nhỏ có: \(q^{p-1}\equiv1\)(mod q). Mà \(q^{p-1}\equiv0\) (mod q)

=>\(p^{q-1}+q^{p-1}\equiv1-0\equiv1\)(mod q) =>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\equiv1-1\equiv0\) (mod q) 

=>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\) chia hết cho q (2)

Từ (1),(2) và (p;q)=1 => \(p^{q-1}+q^{p-1}-1\) chia hết cho pq (đpcm)

Bài này mà sử dụng đồng dư thì đơn giản kinh khủng :)

Đặt \(A=p^{q-1}+q^{p-1}-1\)

Vì p,q là các số nguyên tố khác nhau nên \(\left(p;q\right)=1\)

Áp dụng định lý Fecma nhỏ có \(p^{q-1}\text{≡}1\left(modq\right)\)

Mà \(q^{p-1}\text{≡}0\left(modq\right)\)

\(\Rightarrow p^{q-1}+q^{p-1}-1\text{≡}1+0-1\text{≡}0\left(modq\right)\)

\(\Rightarrow A\text{⋮}q\)

Tương tự, vẫn áp dụng định lý Fecma nhỏ có \(q^{p-1}\text{≡}1\left(modp\right)\)

Mà \(p^{q-1}\text{≡}0\left(modp\right)\)

\(\Rightarrow p^{q-1}+q^{p-1}-1\text{≡}0+1-1\text{≡}0\left(modp\right)\)

\(\Rightarrow A\text{⋮}p\)

Có \(A\text{⋮}p\)và \(A\text{⋮}q\); mà \(\left(p;q\right)=1\) nên \(A\text{⋮}p.q\)

Vậy ...

Bạn có thể hiểu thêm về định lý Fecma : nếu a , b nguyên tố cùng nhau thì \(a^{b-1}\text{≡}1\left(modb\right)\)cũng như \(b^{a-1}\text{≡}1\left(moda\right)\)

B= \(\frac{2\cdot2018}{1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+2018}}\)

Ta có: 

\(1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+2018}\)

\(=1+\frac{1}{\frac{3.2}{2}}+\frac{1}{\frac{3.4}{2}}+\frac{1}{\frac{4.5}{2}}+...+\frac{1}{\frac{2018.2019}{2}}\)

\(=1+\frac{2}{2.3}+\frac{2}{3.4}+\frac{2}{4.5}+...+\frac{2}{2018.2019}\)

\(=\frac{2}{2}+2\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{2018.2019}\right)\)

\(=2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}\right)\)

\(=2\left(1-\frac{1}{2019}\right)=\frac{2.2018}{2019}\)

=> B= \(\frac{2\cdot2018}{1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+...+\frac{1}{1+2+3+...+2018}}=\frac{2.2018}{\frac{2.2018}{2019}}=2019\)

ĐK: \(\hept{\begin{cases}x^2-x+2\ge0\\2x^2+4x\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x\ge0\\x\le-2\end{cases}}\)

Ta có: \(VP=2\sqrt{x^2-x+2}-\sqrt{2x^2+4x}=\frac{2\left(x-2\right)^2}{2\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+4x}}\ge0\)

=> \(VP=x-2\ge0\Rightarrow x\ge2\)

phương trình tương đương:

 \(2x-2\sqrt{x^2-x+2}+\sqrt{2x^2+4x+2}-x-2=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\left(x-2\right)}{2x+2\sqrt{x^2-x+2}}+\frac{x^2-4}{\sqrt{2x^2+4x+2}+x+2}=0\)

\(\text{​​}\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left[\frac{2}{2x+2\sqrt{x^2-x+2}}+\frac{x+2}{\sqrt{2x^2+4x+2}+x+2}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x-2=0\\\frac{2}{2x+2\sqrt{x^2-x+2}}+\frac{x+2}{\sqrt{2x^2+4x+2}+x+2}\end{cases}=0}\left(1\right)\)

(1) vô nghiệm vì x >=2 

Vậy pt <=> x=2

Gọi các chữ số phải tìm là a, b, c trong đó a>b>c>0. 

Hai số lớn nhất lập bởi cả ba chữ số trên là abc¯+acb¯=1444.

So sánh các cột đơn vị và cột hàng chục, ta thấy phép cộng c+b không có nhớ.

Vậy c+b=4, mà b>c>0 nên b=3,c=1.

Xét cột hàng trăm : a+a=14 nên a=7. 

Ba chữ số phải tìm là 7, 3, 1.

Ta gọi các chữ số phải tìm là a , b , c trong đó a > b > c > 0. Hai số lớn nhất đc lập bởi ba chữ số trên là abc và acb

Ta có : abc + acb =1444

so sánh cột đơn vị và cột hàng chục, ta thấy phép cộng của c và b không có nhớ. Vậy c + b = 4 mà b > c > 0 nên  b = 3, c = 1

ta xét cột hàng trăm : a + a = 14 nên a = 7. 

Vậy a = 7, b = 3, c = 1.

Đặt 5²⁵ = a thì

\(A=\frac{a^5-1}{a-1}=\frac{\left(a-1\right)\left(a^4+a^3+a^2+a+1\right)}{a-1}=a^4+a^3+a^2+a+1\)

\(=\left(a^2+3a+1\right)^2-5a\left(a+1\right)^2\)

\(=\left(a^2+3a+1\right)^2-5^{26}\left(a+1\right)^2\)

\(=\)[a² + 3a + 1 + 5¹³ (a + 1)][a² + 3a + 1 - 5¹³ (a + 1)]

Đây là tích hai số khác 1 nên A là hợp số

\(A=\frac{5^{25.5}-1}{5^{25}-1}\)=\(\frac{a^5-1}{a-1}\) =\(\frac{\left(a-1\right)\left(a^4+a^3+a^2+a^1+1\right)}{a-1}\)=\(\left(a^4+a^3+a^2+a^1+1\right)\)

voi a=5^{^25}

^{=> A co tan cung =4  luon chia het cho2 => A la hop so}

Ta có:   \(\hept{\begin{cases}x^2+a_1x+b_1=0\left(1\right)\\x^2+a_2x+b_2=0\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\Delta_1=a_1^2-4b_1\\\Delta_2=a_2^2-4b_2\end{cases}}\) 
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a_1^2+a_2^2-4\left(b_1+b_2\right)\ge2a_1a_2-4\left(b_1+b_2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow a_1a_2-2\left(b_1+b_2\right)\ge0\)
Vì \(\Delta_1+\Delta_2\ge0\) 

nên có ít nhất 1 trong 2 cái \(\Delta\) không âm .
\(\Rightarrow\)Có ít nhất 1 trong hai phương trình có nghiệm .

Ta có denta 1 + denta 2 = a_1²  -4b₁ + a_2²  - 4b₂ >= 2a₁ a₂ - 4(b₁ + 4b₂) >= 4(b₁ + 4b₂) - 4(b₁ + 4b₂) = 0

Vậy có ít nhất 1 trong 2 denta >= 0 nên có ít nhất 1 phương trình có nghiệm

không biết

Đường tròn c: Đường tròn qua B với tâm O Đoạn thẳng h: Đoạn thẳng [C, D] Đoạn thẳng i: Đoạn thẳng [A, B] Đoạn thẳng j: Đoạn thẳng [C, E] Đoạn thẳng k: Đoạn thẳng [D, E] Đoạn thẳng l: Đoạn thẳng [E, A] Đoạn thẳng m: Đoạn thẳng [E, B] Đoạn thẳng n: Đoạn thẳng [B, C] O = (4.35, -6.12) O = (4.35, -6.12) O = (4.35, -6.12) B = (12.58, -6.03) B = (12.58, -6.03) B = (12.58, -6.03) Điểm C: Giao điểm đường của c, g Điểm C: Giao điểm đường của c, g Điểm C: Giao điểm đường của c, g Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm A: Giao điểm đường của c, f Điểm D: Giao điểm đường của c, g Điểm D: Giao điểm đường của c, g Điểm D: Giao điểm đường của c, g Điểm E: Điểm trên c Điểm E: Điểm trên c Điểm E: Điểm trên c Điểm M: Giao điểm đường của i, j Điểm M: Giao điểm đường của i, j Điểm M: Giao điểm đường của i, j

a) Do E thuộc đường tròn tâm O nên \(\widehat{CED}=90^o\)

Xét tứ giác MEDO có \(\widehat{MED}=\widehat{MOD}=90^o\) nên MEDO là tứ giác nội tiếp hay 4 điểm E, M, O , D cùng thuộc một đường tròn.

b) Ta có \(\widehat{AEB}=\widehat{CED}=90^o\) nên \(EA^2+EB^2=AB^2;EC^2+ED^2=CD^2\)

Vậy thì \(EA^2+EB^2+EC^2+ED^2=CD^2+AB^2=4R^2+4R^2=8R^2\)

c) Ta có ngay \(\Delta CMO\sim\Delta CDE\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{CM}{CD}=\frac{CO}{CE}\)

Vậy thì \(CM.CE=CO.CD=R.2R=2R^2\)

d) Ta thấy \(\widehat{AOC}=\widehat{COB}=90^o\Rightarrow\widebat{AC}=\widebat{CB}\)

Vậy thì \(\widehat{AEC}=\widehat{CEB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

hay EC là phân giác góc \(\widehat{AEB}.\)

e) Ta thấy \(\widehat{MCB}=\widehat{MAE}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)

Vậy nên \(\Delta MCB\sim\Delta MAE\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{MC}{MA}=\frac{MB}{ME}\Rightarrow MA.MB=MC.ME\)

Đặt: f(a;b;c) =\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

Vai trò của a, b, c là như nhau có thể giả sử: \(a=max\left\{a,b,c\right\}\)

Ta có: \(f\left(a;b;\sqrt{ab}\right)=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}+a}\)

\(=\frac{a}{a+b}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}+\sqrt{a}}=\frac{a}{a+b}+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

Ta chứng minh:

\(f\left(a;b;c\right)\ge f\left(a;b;\sqrt{ab}\right)\ge\frac{7}{5}\)

+) Chứng minh: \(f\left(a;b;c\right)\ge f\left(a;b;\sqrt{ab}\right)\)

Xét : \(f\left(a;b;c\right)-f\left(a;b;\sqrt{ab}\right)=\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}-\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\)

\(=\frac{b\left(a+c\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)+c\left(b+c\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-2\sqrt{b}\left(b+c\right)\left(a+c\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}\)

\(=\frac{ab\sqrt{a}-ab\sqrt{b}+2bc\sqrt{a}-2ac\sqrt{b}+c^2\sqrt{a}-c^2\sqrt{b}}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\)

\(=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{ab}-c\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)}\ge0\)vì a=max{a,b,c} => \(a\ge b\)

=> \(f\left(a;b;c\right)\ge f\left(a;b;\sqrt{ab}\right)\)(1)

+) Chứng minh:\(f\left(a;b;\sqrt{ab}\right)\ge\frac{7}{5}\)

Xét: \(f\left(a;b;\sqrt{ab}\right)-\frac{7}{5}=\frac{a}{a+b}+\frac{2\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{7}{5}\)\(=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{a}{b}+1}+\frac{2}{\sqrt{\frac{a}{b}}+1}-\frac{7}{5}\)(2)

Đặt \(\sqrt{\frac{a}{b}}=x\left(đk:x\le3\right)\)Ta có: 

(2)=\(\frac{x^2}{x^2+1}+\frac{2}{x+1}-\frac{7}{5}\)\(=\frac{5x^3+5x^2+10x^2+10-7x^3-7x^2-7x-7}{5\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}\)

\(=\frac{-2x^3+8x^2-7x+3}{5\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}=\frac{\left(3-x\right)\left(2x^2-2x+1\right)}{5\left(x^2+1\right)\left(x+1\right)}\ge0\)

=> \(f\left(a;b;\sqrt{ab}\right)\ge\frac{7}{5}\)(3)

Từ (1); (3) => \(f\left(a;b;c\right)\ge f\left(a;b;\sqrt{ab}\right)\ge\frac{7}{5}\)

"=" xảy ra <=> a=3; b=1/3; c=1 và các hoán vị

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+y^2=\frac{1}{5}\left(1\right)\\8x^2+6x+6xy+2y=\frac{114}{25}\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow9x^2+6x+6xy+2y+y^2+1=\frac{114}{25}+\frac{1}{5}+1\)

\(\Leftrightarrow\left(3x\right)^2+6x\left(y+1\right)+\left(y+1\right)^2=\frac{144}{25}\)\(\Leftrightarrow\left(3x+y+1\right)^2=\frac{144}{25}\)

=>\(\hept{\begin{cases}3x+y+1=\frac{12}{5}\\3x+y+1=-\frac{12}{5}\end{cases}}\)\(\hept{\begin{cases}3x+y=\frac{7}{5}\\3x+y=-\frac{17}{5}\end{cases}}\)\(\hept{\begin{cases}y=\frac{7}{5}-3x\left(2\right)\\y=-\frac{17}{5}-3x\left(3\right)\end{cases}}\)

Thay (2) vào (1) ta có:\(x^2+\left(\frac{7}{5}-3x\right)^2=\frac{1}{5}\)\(\Rightarrow x^2+\frac{49}{25}-8,4x+9x^2-\frac{1}{5}=0\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{11}{25}\\x=0,4\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}y=5,68\\y=6,6\end{cases}}}\)

Thay (3) vào (1) ta giải được (LƯỜI GIẢI) sorry nha :))

P/s:Chỉ khó lúc biến đổi đầu thôi, còn lại bạn tự giải nha

Ai cha!!! Giải y sai rồi lúc cuối sửa lại dùm mình:: \(\hept{\begin{cases}y=\frac{2}{25}\\y=0,4\end{cases}}\)

Vậy đó, mình thích biến đổi hơn, Giải mấy cái dễ thì hay sai linh tinh lắm