Từ đề bai ta có

\(\frac{1a\left(y+z\right)}{abc}=\frac{b\left(z+x\right)}{abc}=\frac{c\left(x+y\right)}{abc}\)

\(\Rightarrow\frac{y+z}{1bc}=\frac{z+x}{ca}=\frac{x+y}{ab}=\frac{x+y-z-x}{1ab-ca}=\frac{y-z}{a\left(b-c\right)}\)

Tương tự ta cũng tìm được cái dãy tỷ số đó 

\(=\frac{1z-x}{b\left(c-a\right)}=\frac{x-y}{c\left(a-b\right)}\)

Từ đây ta có điều phải chứng minh

Ta có:

\(a\left(y+z\right)=b\left(z+x\right)=c\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a\left(y+z\right)}{abc}=\frac{b\left(z+x\right)}{abc}=\frac{c\left(x+y\right)}{abc}\)

\(\Rightarrow\frac{\left(y+z\right)}{bc}=\frac{\left(z+x\right)}{ac}=\frac{\left(x+y\right)}{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{x+y-z-x}{ab-ac}=\frac{y+z-x-y}{bc-ab}=\frac{z+x-y-z}{ac-bc}\)

\(\Rightarrow\frac{y-z}{a\left(b-c\right)}=\frac{z-x}{b\left(c-a\right)}=\frac{x-y}{c\left(a-b\right)}\)

không phải mà bài làm của bài đó

Gọi S có n số hạng sao cho S = 1+ 2+ 3 + ...+ n = aaa ( a là chữ số)

=> (n + 1).n : 2 = a.111

=> n(n + 1) = a.222

=> n(n + 1) = a.2.3.37

a là chữ số mà n; n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên a = 6

=> n(n + 1) = 36.37

=> n = 36

Vậy cần 36 số hạng 

cho mình nha

Ta có  \(\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\x^3+y^3=a^3+b^3\end{cases}\left(1\right)}\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\\left(x+y\right)^3-3xy\left(x+y\right)=\left(a+b\right)^3-3ab\left(a+b\right)\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\xy\left(a+b\right)=ab\left(a+b\right)\end{cases}\left(2\right)}\)

Nếu \(a+b\ne0\)thì \(\left(2\right)\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=a+b\\xy=ab\end{cases}}\)

=> x,y là 2 nghiệm của phương trình \(X^2-\left(a+b\right)X+ab=0\)

Giải ra ta có \(\hept{\begin{cases}x=b\\y=a\end{cases};\hept{\begin{cases}x=a\\y=b\end{cases}}}\)\(\Rightarrow x^{2011}+y^{2011}=a^{2011}+b^{2011}\)(3)

Nếu \(a+b=0\Rightarrow a=-b\)

Ta có hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\x^3+y^3=0\end{cases}\Rightarrow x=-y}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x^{2011}+y^{2011}=0\\a^{2011}+y^{2011}=0\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^{2011}+y^{2011}=a^{2011}+b^{2011}\)(4)

Từ (3) và (4) => đpcm

\(\left(\Sigma\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\right)\left(2abc+\Sigma a^2\left(b+c\right)\right)=\Sigma\frac{a\left(b+c\right)^2+\left(a^2+bc\right)\left(b+c\right)}{\left(b+c\right)^2}=\Sigma a+\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\)

Mặt khác ta có :

\(\left(\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\right)\left(\Sigma a\right)=\Sigma\frac{a^3+abc}{b+c}+\Sigma\left(a^2+bc\right)\)   ( nhân vào xong tách )

\(=\Sigma\frac{a^3+abc}{b+c}-\Sigma a^2+\Sigma\left(2a^2+bc\right)=\Sigma\frac{a\left(a-b\right)\left(a-c\right)}{b+c}+\Sigma\left(2a^2+bc\right)\)  ( * )

Theo BĐT Vornicu Schur chứng minh được  ( * ) không âm.

do đó : \(\Sigma\frac{a^2+bc}{b+c}\ge\frac{\Sigma\left(2a^2+bc\right)}{\Sigma a}\)

Theo đề bài , cần chứng minh : \(\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma\frac{1}{\left(a+b\right)^2}\right)\ge\frac{9}{4}\)

Kết hợp với dòng đầu tiên t cần c/m :

\(\left(\Sigma ab\right)\left(\Sigma a+\frac{\Sigma\left(2a^2+bc\right)}{\Sigma a}\right)\ge\frac{9}{4}\left(2abc+\Sigma a^2\left(b+c\right)\right)\)

Quy đồng lên, ta được :

\(\Sigma a^3\left(b+c\right)\ge2\Sigma\left(ab\right)^2\Leftrightarrow\Sigma ab\left(a-b\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\)đpcm

Sử dụng dồn biến chứ k phải vậy

cách max dài và hại não

cần C/m : \(\Sigma\sqrt{a^2-a+1}\ge\Sigma a\) \(\Leftrightarrow3+2\sqrt{\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)}\ge2\Sigma ab+\Sigma a\)( * )

Ta có \(\left(a^2-a+1\right)\left(b^2-b+1\right)=\left(\frac{3}{4}\left(a-1\right)^2+\frac{1}{4}\left(a+1\right)^2\right)\left(\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2+\frac{1}{4}\left(b+1\right)^2\right)\)

\(\ge\frac{3}{4}\left|a-1\right|\left|b-1\right|+\frac{1}{4}\left(a+1\right)\left(b+1\right)\)( BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski ) 

\(\ge\frac{3}{4}\left(a-1\right)\left(b-1\right)+\frac{1}{4}\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{-1}{2}ab+a+b-\frac{1}{2}\)

Do đó : VT ( * ) \(\ge4\Sigma a-\Sigma ab\). BĐT đúng nếu : \(\Sigma a\ge\Sigma ab\)

Điều này đúng khi trong a,b,c có 1 số \(\le\)1 và 1 số khác  \(\ge\)1

Ta xét trong a,b,c có 2 số \(\ge\)1 , giả sử là b và c  . Khi đó BĐT đã cho trở thành : 

\(\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{1-b}{\sqrt{b^2-b+1}+b}+\frac{1-c}{\sqrt{c^2-c+1}+c}\ge0\)( ** )

b,c \(\ge\)1 \(\Rightarrow1-b,1-c\le0\)

Ta có : \(\sqrt{b^2-b+1}\ge\frac{b+1}{2}\)và \(\sqrt{c^2-c+1}\ge\frac{c+1}{2}\)

Do đó : VT ( ** ) \(\ge\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{2\left(1-b\right)}{3b+1}+\frac{2\left(1-c\right)}{3c+1}\)

\(=\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{8}{3}\left(\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\right)-\frac{4}{3}\)

bổ đề  \(\sqrt{bc}\ge1\)thì \(\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\ge\frac{2}{3\sqrt{bc}+1}\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)^2\left(9\sqrt{bc}-1\right)\ge0\)

vì vậy : VT (**) \(\ge\frac{1-a}{\sqrt{a^2-a+1}+a}+\frac{16}{3\left(3\sqrt{bc}+1\right)}-\frac{4}{3}\)

\(=\sqrt{a^2-a+1}-a+\frac{16\sqrt{a}}{3\left(3+\sqrt{a}\right)}-\frac{4}{3}\)

đặt \(\sqrt{a}=t\le1\), cần chứng minh : \(\sqrt{t^4-t^2+1}-t^2+\frac{16t}{3\left(3+t\right)}\ge\frac{4}{3}\)( BĐT đúng nếu t > 0,28 )

Xét \(a\le t^2=0,0784\Rightarrow a\in\left[0;0,0784\right]\)

Lại có :  \(\sqrt{b^2-b+1}>b-\frac{1}{2};\sqrt{c^2-c+1}>c-\frac{1}{2}\)

Do đó : \(\frac{1-b}{\sqrt{b^2-b+1}+b}+\frac{1-c}{\sqrt{c^2-c+1}+c}\ge\frac{1-b}{2b-\frac{1}{2}}+\frac{1-c}{2c-\frac{1}{2}}\)

\(\frac{1}{2}\left[\frac{\frac{3}{2}-\left(2b-\frac{1}{2}\right)}{2b-\frac{1}{2}}+\frac{\frac{3}{2}-\left(2c-\frac{1}{2}\right)}{2c-\frac{1}{2}}\right]=\frac{3}{4}\left(\frac{1}{2b-\frac{1}{2}}+\frac{1}{2c-\frac{1}{2}}\right)-1\)

\(\ge\frac{3}{\frac{1}{\sqrt{bc}}-1}=\frac{3\sqrt{a}}{4-\sqrt{a}}-1\)

do đó : VT ( ** ) \(\ge\sqrt{t^4-t^2+1}-t^2+\frac{3t}{4-t}-1\)\(\ge0\)

\(\Leftrightarrow3t\left(\frac{1}{4-t}+\frac{t}{\sqrt{t^4-t^2+1}+t^2+1}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow3t.\frac{\sqrt{t^4-t^2+1}+2t^2-4t+1}{\left(4-t\right)\left(\sqrt{t^4-t^2+1}+t^2+1\right)}\ge0\)

BĐT cuối đúng \(\forall\)t < 0,25 < 0,28

\(\Rightarrow\)đpcm

P/s : bài này mình tham khảo nha. cách rất dài, khó

Thực hiện phép chia ta có:

Ta có: \(x^3-2x^2+7x-7=\left(x^2+3\right)\left(x-2\right)+4x-1\)

\(x^3-2x^2+7x-7\) chia hết cho \(x^2+3\)

=> \(4x-1⋮x^2+3\) (1)

=> \(4x^2-x=x\left(4x-1\right)⋮x^2+3\)

Mà: \(4x^2+12=4\left(x^2+3\right)⋮x^2+3\)

=> \(\left(4x^2-x\right)-\left(4x^2+12\right)⋮x^2+3\)

=> \(-x-12⋮x^2+3\)

=> \(x+12⋮x^2+3\)

=> \(4x+48⋮x^2+3\) (2)

Từ (1); (2) => \(\left(4x+48\right)-\left(4x-1\right)⋮x^2+3\)

=> \(49⋮x^2+3\)

=> \(x^2+3\in\left\{\pm1;\pm7;\pm49\right\}\) vì \(x^2+3\ge3\) với mọi x

=> \(\begin{cases}x^2+3=7\\x^2+3=49\end{cases}\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2=4\\x^2=46\left(loại\right)\end{cases}}\)

Với \(x^2=4\Rightarrow x=\pm2\) thử vào bài toán x=-2 loại. x=2 thỏa mãn

Vậy x=2

Em cảm ơn cô

+ Xét tg OMN có IM=IO và KN=KO => IK là đường trung bình của tg OMN => IK//MN

+ Xét hình thang IKNM có PI=PM và QK=QN => PQ là đường trung bình của hình thang IKNM => PQ//IK//MN

+ Xét tg IMN có PI=PM; PH//MN => PH là đường trung bình của tg IMN => PH=MN/2

+ Xét tg KMN chứng minh tương tự cũng có QJ=MN/2

=> PH+QJ=(PJ+JH)+(QH+JH)=PJ+QH+2JH=MN (*)

+ Xét tg MIK có PI=PM; PJ//IK => PJ là đường trung bình của tg MIK => PJ=IK/2

+ Xét tg NIK chững minh tương tự cũng có QH=IK/2

Thay PJ=QH=IK/2 vào (*)

=> PJ+QH+2JH=IK/2+IK/2+2JH=MN => IK+2JH=MN => JH=(MN-IK)/2

Do xyz = 1, ta có thể đặt \(a=\frac{x}{x-1},\)\(b=\frac{y}{y-1},\)\(c=\frac{z}{z-1}\)

Ta có \(abc=\frac{x}{x-1}.\frac{y}{y-1}.\frac{z}{z-1}=\frac{xyz}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\) (1)

Mặt khác \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)=\left(\frac{x}{x-1}-1\right).\left(\frac{y}{y-1}-1\right).\left(\frac{z}{z-1}-1\right)\)

            \(=\frac{x-x+1}{x-1}.\frac{y-y+1}{y-1}.\frac{z-z+1}{z-1}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}\)(2)

So sánh (1) và (2) ta có \(abc=\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)\)\(\Leftrightarrow\)\(abc=abc-ab-bc-ca+a+b+c-1\)\(\Leftrightarrow\)\(ab+bc+ca-a-b-c+1=0\) (3)

Mà với mọi a, b, c ta luôn có \(\left(a+b+c-1\right)^2\ge0\)

Hay \(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca-a-b-c+1\right)-1\ge0\) (4)

Thay (3) vào (4) ta được \(a^2+b^2+c^2\ge1\) hay \(\frac{x^2}{\left(x-1\right)^2}+\frac{y^2}{\left(y-1\right)^2}+\frac{z^2}{\left(z-1\right)^2}\ge1\)

bạn viết gì mà mik chẳng hiểu gì cả

?o?n th?ng c: ?o?n th?ng [A, B] c?a H�nh tam gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng a: ?o?n th?ng [B, C] c?a H�nh tam gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng b: ?o?n th?ng [C, A] c?a H�nh tam gi�c TenDaGiac1 ?o?n th?ng h: ?o?n th?ng [B, D] ?o?n th?ng i: ?o?n th?ng [C, E] ?o?n th?ng m: ?o?n th?ng [B, I] ?o?n th?ng n: ?o?n th?ng [K, C] ?o?n th?ng p: ?o?n th?ng [I, K] ?o?n th?ng q: ?o?n th?ng [J, O] ?o?n th?ng r: ?o?n th?ng [D, O] ?o?n th?ng s: ?o?n th?ng [E, O] A = (2.65, 5.97) A = (2.65, 5.97) A = (2.65, 5.97) B = (-6.4, -9.49) B = (-6.4, -9.49) B = (-6.4, -9.49) C = (19.32, -10.71) C = (19.32, -10.71) C = (19.32, -10.71) ?i?m E: Giao ?i?m c?a f, c ?i?m E: Giao ?i?m c?a f, c ?i?m E: Giao ?i?m c?a f, c ?i?m D: Giao ?i?m c?a g, b ?i?m D: Giao ?i?m c?a g, b ?i?m D: Giao ?i?m c?a g, b ?i?m I: Giao ?i?m c?a j, k ?i?m I: Giao ?i?m c?a j, k ?i?m I: Giao ?i?m c?a j, k ?i?m K: Giao ?i?m c?a j, l ?i?m K: Giao ?i?m c?a j, l ?i?m K: Giao ?i?m c?a j, l ?i?m O: Trung ?i?m c?a a ?i?m O: Trung ?i?m c?a a ?i?m O: Trung ?i?m c?a a ?i?m J: Trung ?i?m c?a E, D ?i?m J: Trung ?i?m c?a E, D ?i?m J: Trung ?i?m c?a E, D

Gọi O là trung điểm BC, J là trung điểm DE. Do tam giác BEC vuông tại E mà EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên OE = OB = OC. Tương tự OD = OB = OC. Từ đó ta có OE = OD hay tam tam giác OED cân tại O.

Lại có J là trung điểm DE nên \(OJ\perp DE\). Vậy thì OJ // BI // CK. Mà O là trung điểm BC nên OJ là đường trung bình hình thang CBKI. Vậy thì JI = JK.

Ta có \(JI=JK\Rightarrow JI-JE=JK-JD\Rightarrow EI=DK\left(đpcm\right)\)

khó thế !

a) Đặt A=(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)-24 
= (x+2)(x+5)(x+3)(x+4)-24 
= (x^2+7x+10)(x^2+7x+12)-24 
Đặt x^2+7x+11 = a thay vào A ta được : 
A=(a-1)(a+1)=a^2-25 = a^2 - 5^2 = (a-5)(a+5) ( 2) 
Thế a vào (2) ta được : 
A=(x^2+7x+11-5)(x^2+7x+11+5) 
= (x^2+7x+6)(x^2+7x+16) 

b)  = (x²+8x+7)(x²+8x+15)+15

        Đặt X=x²+8x+11

   f(x) = (X-4)(X+4)+15

         = X²-16+15

         = X²-1²

         = (X-1)(X+1)

=> f(x)= (x²+8x+11-1)(x²+8x+11+1)

     f(x) = (x²+8x+10)(x²+8x+12)

Đến đây là vẫn còn phân tích được nhưng không dùng phương pháp đặt biến phụ:

     f(x) = (x²+8x+10)(x²+8x+12)

           = (x²+8x+10)[(x²+2x)+(6x+12)]

           = (x²+8x+10)[x(x+2)+6(x+2)]

           = (x+2)(x+6)(x²+8x+10)

   d)  2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8 = (x - 2)(2x³ + x² - 5x - 4)

Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - 4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có một nhân tử là x+1  nên 2x³ + x² - 5x - 4 = (x+1)(2x²-x-4)

Vậy 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + 8  = (x-2)(x+1)(2x²-x-4)

  a) \(\left(x+2\right)\left(x+3\right)\left(x+4\right)\left(x+5\right)-24\)

 \(=\left[\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right].\left[x\left(x+1\right)\right]=24\)

 \(=\left(x^2+2x-x-2\right)\left(x^2+x\right)=24\)

 \(=\left(x^2+x-2\right)\left(x^2+x\right)=24\)

 \(=\left[\left(x^2+x-1\right)-1\right].\left[\left(x^2+x-1\right)+1\right]=24\)

 \(=\left(x^2+x-1\right)^2-1=24\)

 \(=\left(x^2+x-1\right)^2=25\)

   xin lỗi mk chỉ làm được đến đây thôi cậu làm tiếp nhé