Ta có :

\(A=2^{3.2019}=8^{2019}< 10^{2019}\)

=> A có tổng số các chữ số nhiều nhất là: 2019

B là tổng các các chữ số của A

=> \(B\le2019.9=18171\)

C là tổng các chữ số của B

=> \(C\le1+8+1+7+1=18\)

D là tổng các chữ số của D

=> \(D\le1+8=9\)

Mặt khác ta có: \(A=\left(2^3\right)^{2019}\equiv\left(-1\right)^{2019}\equiv-1\left(mod9\right)\)=> \(D\equiv-1\equiv8\left(mod9\right)\)

=> D=8 

Ta Có:

A=2^3.2019=8²⁰¹⁹<10²⁰¹⁹

=> A có tổng số các chữ số nhiều nhất là: 2019

B là tổng các các chữ số của A

=>B≤2019.9=18171

C là tổng các chữ số của B

=> 1+8+1+7+1=18

D là tổng các chữ số của DD≤1+8=9

Mặt khác ta có:

A=(2³)²⁰¹⁹≡(−1)²⁰¹⁹≡−1(mod9)

=>D≡−1≡8(mod9)

=> D=8 

p=2 thì p^4+2 là hợp số

p=3 =>p^4+2=83 là số nguyên tố

với p>3 thì p có dang 3k+1 và 3k+2 thay vào chúng đều là hợp số

vậy p=3

giả sử x = 2n + 2003, y = 3n + 1005 là các số chính phương

Đặt  2n + 2003 = k²        (1)      và  3n + 2005 = m²              (2)   (k, m \(\in\) N)

trừ theo từng vế của (1), (2) ta có: 

 n + 2 = m² - k²

khử n từ (1) và (2)  =>  3k²  - 2m² = 1999            (3)

từ (1)   =>  k là số lẻ . Đặt k = 2a + 1 ( a Z) . Khi đó : (3) <=> 3 (2a -1) ²  - 2m² = 1999 

<=> 2m² = 12a² + 12a - 1996 <=> m² = 6a² + 6a - 998 <=> m² = 6a (a+1) - 1000 + 2             (4)

vì a(a+1) chia hết cho 2 nên 6a (a+1) chia hết cho 4, 1000 chia hết cho 4 , vì thế từ (4) =>  m² chia 4 dư 2, vô lý

vậy ko tồn tại các số nguyên dương n thỏa mãn bài toán

Gọi lần lượt các cạch hình vuông A;B;C;...;H là a;b;c;...;h

Nhìn hình ta thấy:\(b=32:4=8\)

\(g+h=b;b+h=c;c+h=d;b+g=a\)

\(\Rightarrow a+b+c=2b-h+b+b+h=4b=32\)

\(f+a=c+d+e\)(tính chất HCN)

\(\Leftrightarrow2b-h+e+i=b+h+b+2h+e\)

\(\Leftrightarrow i-h=3h\)

\(\Leftrightarrow i=4h\)

Mà \(a+b+c=f+e\)

\(\Leftrightarrow32=2e+i=2e+4h=4b\)

\(\Rightarrow2\left(c+d+e\right)=a+f+c+d+e\)

                         \(=2b-h+i+e+b+h+b+2h+e\)

                         \(=4b+i+2h+2e=4b+2h+4b=8b+2h\)

\(\Rightarrow c+d+e=4b+h\Leftrightarrow b+h+b+2h+b+6h=4b+h\)

                                                \(\Leftrightarrow3b+9h=4b+h\)

                                                \(\Leftrightarrow8h=b\)

\(\Rightarrow c+d+e=3b+9h=3b+b+\frac{1}{8}b=33\)

Vậy diện tích HCN đó bằng:

\(\left(a+b+c\right)\left(c+d+e\right)=32\cdot33=1056\left(cm^2\right)\)

Gọi x là cạnh cái hình vuông H có chút xíu 

Tìm đc cạnh của hình vuông B là 8

-Cạnh hình vuông C: x+8

-Cạnh hình vuông G: 8-x 

-Cạnh hình vuông D: 2x+8

-Cạnh hình vuông A: 16-x

-Cạnh hình vuông I: Cạnh hình vuông D-G+x = 4x

-Cạnh hình vuông E: 6x+8

-Cạnh hình vuông F: 10x+8

Bình phương ba cái cạnh lên rồi sau đó công lại: 

Gọi \(v_A\)là vận tốc Tiến Dũng

Gọi \(v_B\)là vận tốc Văn Lâm

và x là chu vi sân =>AB=x/2

Chặn 1: Gặp tại C: \(\frac{83}{v_A}=\frac{\frac{x}{2}-83}{v_B}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{v_A+v_B}\)

Chặn 2: Gặp tại D: \(\frac{S_{CD\left(A\right)}}{v_A}=\frac{S_{CD\left(B\right)}}{v_B}\Rightarrow\frac{BC+BD}{v_A}=\frac{AC+AD}{v_B}\Rightarrow\frac{\frac{x}{2}-83+76}{v_A}=\frac{\frac{x}{2}+83-76}{v_B}=\frac{x}{v_A+v_B}\)

Từ đây liên hệ đc đại lương 2 chặn

Giải đc: x=346 m

Đặt chu vi sân vận động là \(x.\)

Vì hai người chạy với vận tốc không đổi nên:

Tỉ số quãng đường chạy được sau lần đầu gặp nhau của Tiến Dũng và Văn Lâm: \(\frac{83}{\frac{1}{2}x-83}\)

Tỉ số quãng đường chạy được sau lần thứ hai gặp nhau của Tiến Dũng và Văn Lâm: \(\frac{\left(\frac{1}{2}x-83\right)+76}{83+\left(\frac{1}{2}x-76\right)}=\frac{\frac{1}{2}x-7}{\frac{1}{2}x+7}\)

\(\Rightarrow\frac{83}{\frac{1}{2}x-83}=\frac{\frac{1}{2}x-7}{\frac{1}{2}x+7}\)

\(\Rightarrow83\left(\frac{1}{2}x+7\right)=\left(\frac{1}{2}x-83\right)\left(\frac{1}{2}x-7\right)\)

\(\Rightarrow83\frac{1}{2}x+83\cdot7=\frac{\left(x-83\cdot2\right)}{2}\cdot\frac{\left(x-7\cdot2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow41.5x+581=\frac{\left(x-166\right)\left(x-14\right)}{4}\)

\(\Rightarrow4\left(41.5x+581\right)=\left(x-166\right)\left(x-14\right)\)

\(\Rightarrow4\cdot41.5x+4\cdot581=-166x+x^2-14x+14\cdot166\)

\(\Rightarrow166x+2324=\left(-166x-14x\right)+x^2+2324\)

\(\Rightarrow166x=-180x+x^2\)

\(\Rightarrow x^2=166x+180x\)

\(\Rightarrow x^2=346x\)

\(\Rightarrow x=346\)

Mình làm vậy đúng không nhỉ?

Thử vài trường hợp đầu:

      16= 4²

      1156 = 34²

      111556 = 334²

Như vậy có thể gợi ý:

    11...1155..56 = 33..34²  (ở đây có n+1 chữ số 1, n chữ số 5 và n chữ số 3)

Ta có nhận xét:

      11..11 11..11        (2n + 2 chữ số 1)

+              44..44       (n + 1  chữ số 4)

                        1

     11..11155..56     (n+1 chữ số 1, n chữ số 5 và 1 chữ số 6)

Vậy 11..11155..56 = 111...1 + 44..44 + 1

= \(\frac{99..99}{9}+4\frac{9..9}{9}+1\)

= \(\frac{10^{2n+2}}{9}+4\frac{10^{n+1}}{9}+1\)

= \(\frac{10^{2n+2}-1}{9}+4\frac{10^{n+1}-1}{9}+1\)

= \(\frac{10^{2n+2}+4.10^{n+1}+4}{9}\)

=\(\frac{\left(10^{n+1}\right)^2+4.10^{n+1}+2^2}{9}\)

= \(\frac{\left(10^{n+1}+2\right)^2}{9}\)

=\(\left(\frac{10^{n+1}+2}{3}\right)^2\)

= \(\left(\frac{100..02}{3}\right)^2\)

= 333...34²

khó ha? có ai thấy dễ ko?

Ta có : 

\(S=\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{4-1}{4}+\frac{9-1}{9}+\frac{16-1}{16}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{2^2-1}{2^2}+\frac{3^2-1}{3^2}+\frac{4^2-1}{4^2}+...+\frac{n^2-1}{n^2}\)

\(S=\frac{2^2}{2^2}-\frac{1}{2^2}+\frac{3^2}{3^2}-\frac{1}{3^2}+\frac{4^2}{4^2}-\frac{1}{4^2}+...+\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2}\)

\(S=1-\frac{1}{2^2}+1-\frac{1}{3^2}+1-\frac{1}{4^2}+...+1-\frac{1}{n^2}\)

\(S=\left(1+1+1+...+1\right)-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)\)

Vì từ \(2\) đến \(n\) có \(n-2+1=n-1\) số \(1\) nên : 
\(S=n-1-\left(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\right)< n-1\) \(\left(1\right)\)

Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}\) ta lại có : 

\(A< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

\(A< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\)

\(A< 1-\frac{1}{n}< 1\)

\(\Rightarrow\)\(S=n-1-A>n-1-1=n-2\) 

\(\Rightarrow\)\(S>n-2\) \(\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra : 

\(n-2< S< n-1\)

Vì \(n>3\) nên \(S\) không là số tự nhiên 

Vậy \(S\) không là số tự nhiên 

Chúc bạn học tốt ~ 

Với n = 0 thì n²⁰⁰⁵ + 2005ⁿ + 2005n = 0²⁰⁰⁵ + 2005⁰ + 2005.0 = 1 + 1 + 0 = 2 không chia hết cho 3, loại.

Với n = 1 thì n²⁰⁰⁵ + 2005ⁿ  + 2005n = 1²⁰⁰⁵ + 2005¹ + 2005.1 = 1 + 2005 + 2005 = 4011 chia hết cho 3.

Với n > 1 thì đều ra trường hợp không chia hết cho 3.

             Vậy n = 1

vi 2005 chia cho 3 du 1 nen 2005ⁿ=3k+1

ta chia 3TH:

TH₁:n=3k

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=(3k+1+3k+3k) chia cho 3 du 1(loại)

TH₂:n=3k+1

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=3k+1+3k+1+3k+1=3(3k+1)chia het cho 3

TH₃:n=3k+2

=>2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n=3k+1+3k+2+3k+2=3.3k+5chia cho 3 du 1(loai)

vậy n có dang 3k+1 thi 2005ⁿ+n²⁰⁰⁵+2005n chia het cho 3

Đặt abcd ta có ab-cd và k  N, 32 bé hơn hoặc bằng k < 100

Suy ra : 101cd = k² – 100 = (k – 10)(k + 10) =>k + 10chia hết 101 hoặc k – 10 chia hết101

Mà (k – 10; 101) = 1  => k + 10chia hết 101

Vì 32 bé hơn hoặc bằng k < 100 nên 42 bé hơn hoặc bằng k + 10 < 110 => k + 10 = 101 => k = 91

suy ra abcd= 91² = 8281

đặt k = gì ghi rõ ra đi

Vì \(p^2;q^2\)là số chính phương 

=> \(p^2;q^2\)chia 5 luôn dư 0,1,4

Mà 886 chia 5 dư 1

=> p^2 chia hết cho 5 , q^2 chia 5 dư 1 và ngược lại

Mà p là số nguyên tố

nên \(p=5\)=> \(q=29\)thỏa mãn q là số nguyên tố 

Vậy \(\left(p,q\right)=\left(5;29\right),\left(29;5\right)\)

Ta có \(p^2+q^2=866\)

=> \(p^2;q^2\) cùng lẻ hoặc cùng chẵn

Vì p, q là hai số nguyên tố

=> \(p^2;q^2\)cùng lẻ

Ta lại có:  \(p^2+q^2=866\)có chữ số tận cùng là 6

Không mất tính tổng quát : G/s chữ số tận cùng của \(p^2\) lớn hơn hoặc bằng chữ số tận cùng của \(q^2\)

TH1: \(q^2\) có chữ số tận cùng là 1 ; \(p^2\) có chữ số tận cùng là 5

=> \(p^2\) chia hết cho 5 => \(p⋮5\)

=> p=5 => \(p^2=25\Rightarrow25+q^2=866\Rightarrow q^2=841=29^2\Rightarrow q=29\)

=> \(p=5;q=29\) thỏa mãn

TH2:  \(q^2\) có chữ số tận cùng là 3 ; \(p^2\) có chữ số tận cùng là 3 

Trường hợp này loại vì tận cùng của một số chính phương không thể là số 3

TH3:  \(q^2\) có chữ số tận cùng là 7; \(p^2\) có chữ số tận cùng là 9

Trường hợp này loại vì tận cùng của một số chính phương không thể là số 7

Kết luận : p=5; q=29 hoặc p=29;q=5 

                                                                                                                                                                                                                   Bác Tiện không làm thợ sơn. Bác Tiện là em rể của bác thợ hàn nên bác Tiện không làm thợ hàn --> Bác Tiện chỉ có thể là thợ da hoặc thợ điện.

Nếu bác Tiện làm thợ da thì bác Da là thợ điện. Như vậy bác Tiện vừa là em rể của bác thợ tiện vừa là em rể của bác thợ hàn mà vợ bác Tiện chỉ có 2 anh em. Điều

này vô lí.

--> Bác Tiện là thợ điện

Bác Da và bác thợ sơn là 2 anh em cùng họ nên bác Da không phải là thợ sơn. Theo lập luận trên bác Da không là thợ tiện --> Bác Da là thợ hàn.

Bác Tiện không làm thợ sơn. Bác Tiện là em rể của bác thợ hàn nên bác Tiện không làm thợ hàn --> Bác Tiện chỉ có thể là thợ da hoặc thợ điện. 
Nếu bác Tiện làm thợ da thì bác Da là thợ điện. Như vậy bác Tiện vừa là em rể của bác thợ tiện vừa là em rể của bác thợ hàn mà vợ bác Tiện chỉ có 2 anh em. Điều này vô lí. 
--> Bác Tiện là thợ điện 
Bác Da và bác thợ sơn là 2 anh em cùng họ nên bác Da không phải là thợ sơn. Theo lập luận trên bác Da không là thợ tiện --> Bác Da là thợ hàn.