\(T=\frac{\left(3+\sqrt{5}\right)^{2019}+\left(3-\sqrt{5}\right)^{2019}}{2^{2019}}\)

Ta có \(3+\sqrt{5}=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{2}\)

          \(3-\sqrt{5}=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow T=\frac{\left[\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^2}{2}\right]^{2019}+\left[\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\right]^{2019}}{2^{2019}}\)

           \(=\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^{4038}+\left(\sqrt{5}-1\right)^{4038}}{2^{4038}}\)

        Lại có \(\left(\sqrt{5}+1\right)^{4038}=\left[\left(\sqrt{5}+1\right)^3\right]^{1346}⋮\left(\sqrt{5}+1\right)^3\)

Tương tự \(\left(\sqrt{5}-1\right)^{4038}⋮\left(\sqrt{5}-1\right)^3\)

\(\Rightarrow T⋮\frac{\left(\sqrt{5}+1\right)^3+\left(\sqrt{5}-1\right)^3}{2^{4038}}=\frac{\left(2\sqrt{5}\right)\left[\left(\sqrt{5}+1\right)^2-\left(\sqrt{5}+1\right)\left(\sqrt{5}-1\right)+\left(\sqrt{5}-1\right)^2\right]}{2^{2038}}\)

\(\Rightarrow T⋮2\sqrt{5}\Rightarrow T⋮5\)

Vậy T chia cho 5 dư 0

P/s : Không biết làm đúng không nữa :)

Giải bài toán tổng quát luôn nha.

Chứng minh: 

\(T=\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}+\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right)^{2n+1}\equiv3\left(mod5\right)\) với n không âm

Đặt \(\hept{\begin{cases}\frac{3+\sqrt{5}}{2}=a\\\frac{3-\sqrt{5}}{2}=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow T=a^{2n+1}+b^{2n+1};a+b=3;ab=1;a^2+b^2=7\)

Dùng phương pháp quy nạp chứng minh:

Ta thấy với \(\hept{\begin{cases}n=0\Rightarrow T=3\equiv3\left(mod5\right)\\n=1\Rightarrow T=18\equiv3\left(mod5\right)\end{cases}}\)

Giả sử nó đúng đến \(n=k\)hay

\(\hept{\begin{cases}a^{2k-1}+b^{2k-1}\equiv3\left(mod5\right)\\a^{2k+1}+b^{2k+1}\equiv3\left(mod5\right)\end{cases}}\)

Ta cần chứng minh nó đúng với \(n=k+1\)

Ta có:

\(T_{k+1}=a^{2k+3}+b^{2k+3}\)

\(=\left(a^2+b^2\right)\left(a^{2k+1}+b^{2k+1}\right)-a^2b^2\left(a^{2k-1}+b^{2k-1}\right)\equiv7.3-1.3\equiv3\left(mod5\right)\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

Áp dụng vào bài toán ta thấy \(2019\)có đạng \(2n+1\)

Vậy nên bài toán ban đầu sẽ có số dư là 3 khi chia cho 5

Tổng 3 số đã biết là:

       1989 + 2003 + 2034 = 6026

A lớn hơn trung bình cộng của 4 số (trong đó có cả A) là 4 đơn vị

=> Ta có sơ đồ:

TBC A Tổng 3 số = 6026 4

Nhìn vào sơ đồ ta có: TBC = (6026 + 4) : 3 = 2010

=> A = TBC + 4 = 2010 + 4 = 2014

Tổng 3 số đã biết là:

       1989 + 2003 + 2034 = 6026

A lớn hơn trung bình cộng của 4 số (trong đó có cả A) là 4 đơn vị

=> Ta có sơ đồ:

TBCATổng 3 số = 60264

Nhìn vào sơ đồ ta có: TBC = (6026 + 4) : 3 = 2010

=> A = TBC + 4 = 2010 + 4 = 2014

Gọi lần lượt các cạch hình vuông A;B;C;...;H là a;b;c;...;h

Nhìn hình ta thấy:\(b=32:4=8\)

\(g+h=b;b+h=c;c+h=d;b+g=a\)

\(\Rightarrow a+b+c=2b-h+b+b+h=4b=32\)

\(f+a=c+d+e\)(tính chất HCN)

\(\Leftrightarrow2b-h+e+i=b+h+b+2h+e\)

\(\Leftrightarrow i-h=3h\)

\(\Leftrightarrow i=4h\)

Mà \(a+b+c=f+e\)

\(\Leftrightarrow32=2e+i=2e+4h=4b\)

\(\Rightarrow2\left(c+d+e\right)=a+f+c+d+e\)

                         \(=2b-h+i+e+b+h+b+2h+e\)

                         \(=4b+i+2h+2e=4b+2h+4b=8b+2h\)

\(\Rightarrow c+d+e=4b+h\Leftrightarrow b+h+b+2h+b+6h=4b+h\)

                                                \(\Leftrightarrow3b+9h=4b+h\)

                                                \(\Leftrightarrow8h=b\)

\(\Rightarrow c+d+e=3b+9h=3b+b+\frac{1}{8}b=33\)

Vậy diện tích HCN đó bằng:

\(\left(a+b+c\right)\left(c+d+e\right)=32\cdot33=1056\left(cm^2\right)\)

Gọi x là cạnh cái hình vuông H có chút xíu 

Tìm đc cạnh của hình vuông B là 8

-Cạnh hình vuông C: x+8

-Cạnh hình vuông G: 8-x 

-Cạnh hình vuông D: 2x+8

-Cạnh hình vuông A: 16-x

-Cạnh hình vuông I: Cạnh hình vuông D-G+x = 4x

-Cạnh hình vuông E: 6x+8

-Cạnh hình vuông F: 10x+8

Bình phương ba cái cạnh lên rồi sau đó công lại: 

Gọi \(v_A\)là vận tốc Tiến Dũng

Gọi \(v_B\)là vận tốc Văn Lâm

và x là chu vi sân =>AB=x/2

Chặn 1: Gặp tại C: \(\frac{83}{v_A}=\frac{\frac{x}{2}-83}{v_B}=\frac{1}{2}\cdot\frac{x}{v_A+v_B}\)

Chặn 2: Gặp tại D: \(\frac{S_{CD\left(A\right)}}{v_A}=\frac{S_{CD\left(B\right)}}{v_B}\Rightarrow\frac{BC+BD}{v_A}=\frac{AC+AD}{v_B}\Rightarrow\frac{\frac{x}{2}-83+76}{v_A}=\frac{\frac{x}{2}+83-76}{v_B}=\frac{x}{v_A+v_B}\)

Từ đây liên hệ đc đại lương 2 chặn

Giải đc: x=346 m

Đặt chu vi sân vận động là \(x.\)

Vì hai người chạy với vận tốc không đổi nên:

Tỉ số quãng đường chạy được sau lần đầu gặp nhau của Tiến Dũng và Văn Lâm: \(\frac{83}{\frac{1}{2}x-83}\)

Tỉ số quãng đường chạy được sau lần thứ hai gặp nhau của Tiến Dũng và Văn Lâm: \(\frac{\left(\frac{1}{2}x-83\right)+76}{83+\left(\frac{1}{2}x-76\right)}=\frac{\frac{1}{2}x-7}{\frac{1}{2}x+7}\)

\(\Rightarrow\frac{83}{\frac{1}{2}x-83}=\frac{\frac{1}{2}x-7}{\frac{1}{2}x+7}\)

\(\Rightarrow83\left(\frac{1}{2}x+7\right)=\left(\frac{1}{2}x-83\right)\left(\frac{1}{2}x-7\right)\)

\(\Rightarrow83\frac{1}{2}x+83\cdot7=\frac{\left(x-83\cdot2\right)}{2}\cdot\frac{\left(x-7\cdot2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow41.5x+581=\frac{\left(x-166\right)\left(x-14\right)}{4}\)

\(\Rightarrow4\left(41.5x+581\right)=\left(x-166\right)\left(x-14\right)\)

\(\Rightarrow4\cdot41.5x+4\cdot581=-166x+x^2-14x+14\cdot166\)

\(\Rightarrow166x+2324=\left(-166x-14x\right)+x^2+2324\)

\(\Rightarrow166x=-180x+x^2\)

\(\Rightarrow x^2=166x+180x\)

\(\Rightarrow x^2=346x\)

\(\Rightarrow x=346\)

Mình làm vậy đúng không nhỉ?

theo mình làm là bằng 4489

Cách giải

Cạnh hình vuông là

335:5=67

Diện tích hình vuông là

67x67=4489
 

\(A=\left(b+c\right)^2+b^2+c^2=2b^2+2c^2+2bc=2\left(b^2+bc+c^2\right)\) (tự hiểu nhé)

Mà \(a^2=2\left(a+c+1\right)\left(a+b-1\right)=2a^2+2\left(ab+bc+ca\right)+2\left(b-c\right)-2\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(b+c\right)+2bc-2=0\) (*)

\(\Leftrightarrow2bc=2-a^2-2a\left(b+c\right)=2-\left(b+c\right)^2+2\left(b+c\right)^2\) (mấy cái này là từ a + b + c =0 suy ra a = -(b+c) suy ra a² = [-(b+c)]² = (b+c)² thôi!)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2-2bc=-2\)

hay c² + b² = -2?? hay là mình làm sai nhì?

\(a^2=2\left(a+c+1\right)\left(a+b-1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2=\left(b-1\right)\left(c+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(b-1\right)^2+\left(c+1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow a=0,b=1,c=-1\)

\(\Rightarrow A=2\)

Ta có \(xy+yz+xz=\frac{2^2-18}{2}=-7\)

 \(x+y+z=2\)=> \(z-1=-x-y+1\)

=> \(\frac{1}{xy+z-1}=\frac{1}{xy-x-y+1}=\frac{1}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)}\)

Tương tự \(\frac{1}{yz+x-1}=\frac{1}{\left(y-1\right)\left(z-1\right)};\frac{1}{xz+y-1}=\frac{1}{\left(z-1\right)\left(x-1\right)}\)

=> \(S=\frac{x+y+z-3}{\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)}=-\frac{1}{xyz-\left(yz+xy+xz\right)+\left(x+y+z\right)-1}\)

                                                                 \(=\frac{-1}{-1+7+2-1}=-\frac{1}{7}\)

Vậy \(S=-\frac{1}{7}\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+\left(a+b+c\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a+b+c=0\left(1\right)\)

Lại có:\(\hept{\begin{cases}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a^2-b^2=-a\\b^2-c^2=-b\\c^2-a^2=-c\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right).\left(a+b\right)=-a\\\left(b-c\right).\left(b+c\right)=-b\\\left(c-a\right).\left(c+a\right)=-c\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)=-\frac{a}{a+b}\\\left(b-c\right)=-\frac{b}{b+c}\\\left(c-a\right)=-\frac{c}{a+c}\end{cases}}\)

Từ (1) \(\Rightarrow\left(a-b\right).\left(b-c\right).\left(c-a\right)=-\left(\frac{a}{a+b}\cdot\frac{b}{b+c}\cdot\frac{c}{a+c}\right)=\frac{-abc}{-c.\left(-a\right).\left(-b\right)}=1\)

Nhân 2 vế của 2 ĐT đề bài ta có

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)=\frac{47}{10}\)

<=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}+\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)+\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\left(\frac{c}{a+c}+\frac{a}{a+c}\right)=\frac{47}{10}\)

=>\(P=\frac{17}{10}\)

Vậy \(P=\frac{17}{10}\)

\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\)

\(\Rightarrow a^{101}-a^{100}+b^{101}-b^{100}=0\)

\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\left(1\right)\)

• Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:

\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)>0\) không đúng với (1)

• Nếu a và b cùng nhỏ hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều âm nên:

\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)< 0\) không đúng với (1)

• Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a\ge1;b\le1\)

Ta có:

\(a^{100}\left(a-1\right)+b^{100}\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)=b^{100}\left(b-1\right)\left(2\right)\)

Lại có:

\(a^{101}+b^{101}=a^{102}+b^{102}\)

\(\Rightarrow a^{102}-a^{101}+b^{102}-b^{101}=0\)

\(\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)+b^{101}\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)+b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot b^{100}\left(b-1\right)=0\)

\(\Rightarrow a\cdot a^{100}\left(a-1\right)-b\cdot a^{100}\left(a-1\right)=0\)(theo (2))

\(\Rightarrow a^{100}\left(a-1\right)\left(a-b\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}a-1=0\\a-b=0\end{cases}}\)(do a>0)

\(\Rightarrow a=b=1\)\(\Rightarrow P=1^{2007}+1^{2007}=2\)

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>a≥1;b≤1

Ta có:

a100(a−1)+b100(b−1)=0

⇒a100(a−1)=b100(b−1)(2)

Lại có:

a101+b101=a102+b102

⇒a102−a101+b102−b101=0

<br class="Apple-interchange-newline"><div id="inner-editor"></div>⇒a100(a−1)+b100(b−1)=0(1)

• Nếu a và b cùng lớn hơn 1 thì: a-1 và b-1 đều dương nên:

a100(a−1)+b100(b−1)<0 không đúng với (1)

• Nếu a và b có 1 số lớn hơn hoặc bằng 1 và 1 số nhỏ hơn hoặc bằng 1

Không mất tính tổng quát, giả sử